Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2

Cho hàm số $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}\,\,(a \ne 0)$.

a) Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến $x < 0$ khi và đồng biến khi $x > 0$.

b) Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

Thay ${x_0} =  - 5$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = \dfrac{4}{5}{x^2}$  ta được $f\left( { - 5} \right) = \dfrac{4}{5}.{\left( { - 5} \right)^2} = 20$

Thay tọa độ điểm $B\left( { - 3;5} \right)$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = \dfrac{{2m - 3}}{3}{x^2}$  ta được

$\dfrac{{2m - 3}}{3}.{\left( { - 3} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow 3\left( {2m - 3} \right) = 5 \Leftrightarrow 6m - 9 = 5 \Leftrightarrow 6m = 14 \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{3}$

Vậy $m = \dfrac{7}{3}$ là giá trị cần tìm.

Ta có $f\left( a \right) = 3 + \sqrt 5$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{a^2} = 3 + \sqrt 5$$\Leftrightarrow {a^2} = 6 + 2\sqrt 5$$\Leftrightarrow {a^2} =5+2\sqrt 5.1+1$$\Leftrightarrow {a^2} =(\sqrt 5)^2+2\sqrt 5.1+1^2$$\Leftrightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \sqrt 5  + 1\\a =  - \sqrt 5  - 1\end{array} \right.$

Vậy tổng các giá trị của $a$ là $\left( {\sqrt 5  + 1} \right) + \left( { - \sqrt 5  - 1} \right) = 0$

Ta có $f\left( b \right) \le  - 5b + 2$ $\Leftrightarrow  - 2{b^2} \le  - 5b + 2 \Leftrightarrow 2{b^2} - 5b + 2 \ge 0$$\Leftrightarrow 2{b^2} - 4b - b + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 2b\left( {b - 2} \right) - \left( {b - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {2b - 1} \right)\left( {b - 2} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2b - 1 \ge 0\\b - 2 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2b - 1 \le 0\\b - 2 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b \ge \dfrac{1}{2}\\b \ge 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b \le \dfrac{1}{2}\\b \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b \ge 2\\b \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}b \le \dfrac{1}{2}\\b \ge 2\end{array} \right.$ là giá trị cần tìm.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y =  - 2\\x - 2y =  - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\4\left( {2y - 3} \right) - 3y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\5y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow A\left( {1;2} \right)$

Thay $x = 1;y = 2$ vào hàm số $y = \left( { - 3m + 1} \right){x^2}$ ta được

$2 = \left( { - 3m + 1} \right){.1^2} \Leftrightarrow  - 3m + 1 = 2 \Leftrightarrow  - 3m = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{3}$

Vậy $m =  - \dfrac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.

Để  hàm số nghịch biến với mọi $x < 0$ thì $a > 0$ nên $\dfrac{{m - 7}}{{ - 3}} > 0$

$\Leftrightarrow m - 7 < 0$ (do $-3<0)$

$\Leftrightarrow m < 7$.

Vậy $m < 7$ thỏa mãn điều kiện đề bài

Để  hàm số đồng biến với mọi $x < 0$ thì $a < 0$ nên $\dfrac{2}{{5 - 2m}} < 0$

$\Leftrightarrow 5 - 2m < 0$ (do $2>0)$

$\Leftrightarrow 2m > 5 \Leftrightarrow m > \dfrac{5}{2}$.

Vậy $m > \dfrac{5}{2}$ thỏa mãn điều kiện đề bài

Ta thấy hàm số $y = \left( {4{m^2} + 12m + 11} \right){x^2}$ có

$a = 4{m^2} + 12m + 11 = \left( {4{m^2} + 12m + 9} \right) + 2 \\= {\left( {2m + 3} \right)^2} + 2 \ge 2 > 0,\,\,\forall m$

Nên hàm số đồng biến khi $x > 0$ và nghịch biến khi $x < 0$. Suy  ra C sai, D đúng.

Và đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị đi qua điểm có tọa độ $\left( {3;3} \right)$, ta thay $x = 3;y = 3$ vào từng hàm số ở các đáp án ta được:

+ Đáp án A: $y = {x^2} \Leftrightarrow 3 = {3^2} \Leftrightarrow 3 = 9$ (vô lý) nên loại A.

+ Đáp án B: $y = \dfrac{1}{2}{x^2} \Leftrightarrow 3 = \dfrac{1}{2}{3^2} \Leftrightarrow 3 = \dfrac{9}{2}$ (vô lý) nên loại B.

+ Đáp án C: $y = 3{x^2} \Leftrightarrow 3 = {3.3^2} \Leftrightarrow 3 = 27$ (vô lý) nên loại C.

+ Đáp án D: $y = \dfrac{1}{3}{x^2} \Leftrightarrow 3 = \dfrac{1}{3}{.3^2} \Leftrightarrow 3 = 3$ (luôn đúng) nên chọn D.

Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm. Vì $M$ có tung độ gấp ba lần hoành độ nên $M\left( {x;3x} \right)$.

Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta được

$3x =  - \dfrac{2}{5}{x^2} \Leftrightarrow \dfrac{2}{5}{x^2} + 3x = 0 \\\Leftrightarrow x\left( {\dfrac{2}{5}x + 3} \right) = 0\left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x =  - \dfrac{{15}}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 45}}{2}\end{array} \right.$

Hay điểm khác gốc tọa độ thỏa mãn điều kiện là $M\left( {\dfrac{{ - 15}}{2};\dfrac{{ - 45}}{2}} \right)$.

+) Thay tọa độ điểm $A\left( {5;5} \right)$ vào hàm số $y =   \dfrac{1}{5}{x^2}$ ta được $5 = \dfrac{1}{5}{.5^2} \Leftrightarrow 5 = 5$ (luôn đúng) nên $A \in \left( P \right)$

+) Thay tọa độ điểm $B\left( { - 5; - 5} \right)$ vào hàm số $y = \dfrac{1}{5}{x^2}$ ta được $- 5 = \dfrac{1}{5}{\left( { - 5} \right)^2} \Leftrightarrow  - 5 = 5$ ( vô lý) nên $B \notin \left( P \right)$

+) Thay tọa độ điểm $D\left( {\sqrt {10} ;2} \right)$ vào hàm số $y = \dfrac{1}{5}{x^2}$ ta được $2 = \dfrac{1}{5}.{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \Leftrightarrow 2 = 2$ ( luôn đúng) nên $D \in \left( P \right)$

+) Thay tọa độ điểm $C\left( {10;20} \right)$ vào hàm số $y = \dfrac{1}{5}{x^2}$ ta được $20 = \dfrac{1}{5}{.10^2} \Leftrightarrow 20 = 20$ (luôn đúng) nên $B \in \left( P \right)$.

Vậy có 1 điểm không thuộc $\left( P \right):y = \dfrac{1}{5}{x^2}$  là điểm $B\left( { - 5; - 5} \right)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol $\left( P \right)$ và đường thẳng $(d):$ $3{x^2} =  - 4x - 1$$\Leftrightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \\\Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + x + 1 = 0 \\\Leftrightarrow 3x\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 0$$\Leftrightarrow \left( {3x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow y = 3{x^2} = \dfrac{1}{3}\\x =  - 1 \Rightarrow y = 3{x^2} = 3\end{array} \right.$

Nên tọa độ giao điểm cần tìm là $\left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right);\left( { - 1;3} \right)$.

Thay $x = m\sqrt 5 ;y =  - 2\sqrt 5$ vào hàm số $y =  - \sqrt 5 {x^2}$ ta được $- 2\sqrt 5  =  - \sqrt 5 .{\left( {m\sqrt 5 } \right)^2} \\\Leftrightarrow  5m^2\sqrt 5  = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow m ^2= \dfrac{2}{5}$

Vậy $m =\pm \dfrac{\sqrt 10}{5}.$

ĐK: $m > \dfrac{{ - 1}}{5}$

Thay $y = 9$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $9 = 5x + 4 \Leftrightarrow x = 1$

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là $\left( {1;9} \right)$

Thay $x = 1;y = 9$ vào hàm số $y = \sqrt {5m + 1} .{x^2}$ ta được

$\sqrt {5m + 1} {.1^2} = 9 \Leftrightarrow \sqrt {5m + 1}  = 9 \Leftrightarrow 5m + 1 = 81 \Leftrightarrow 5m = 80 \Leftrightarrow m = 16\left( {TM} \right)$

Vậy $m = 16$ là giá trị cần tìm.

Thay $y = 1$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $3x - 5 = 1 \Leftrightarrow x = 2$

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là $\left( {2;1} \right)$

Thay $x = 2;y = 1$ vào hàm số $y = \left( {\sqrt {3m + 4}  - \dfrac{7}{4}} \right){x^2}$ ta được

$\left( {\sqrt {3m + 4}  - \dfrac{7}{4}} \right){.2^2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {3m + 4}  - \dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \sqrt {3m + 4}  = 2 \Leftrightarrow 3m + 4 = 4 \Leftrightarrow m = 0$$\Rightarrow \left( P \right):y = \dfrac{1}{4}{x^2}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ :

$\dfrac{1}{4}{x^2} = 3x - 5 \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 20 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 10\end{array} \right.$

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là $x = 10.$

Xét phương trình  ${x^2} - 2m + 4 = 0$ (*) $\Leftrightarrow {x^2} = 2m - 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} = m - 2$

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của parabol $\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng $d:y = m - 2$.

Để (*) có hai nghiệm phân biệt thì $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Với $m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2$ thì $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt hay  phương trình  (*) có hai nghiệm phân biệt khi $m > 2$.

Vì  đồ thị của hàm số $y = a{x^2}$ đi qua điểm $A\left( { - 2;5} \right)$ nên ta có: $5 = a.{\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a = \dfrac{5}{4}$.

Vậy $y = \dfrac{5}{4}{x^2}$.

Thay $x = 3$ vào hàm số $y = 2{x^2}$ ta có: $y = {2.3^2} = 18$.

Vậy giá trị của hàm số $y = 2{x^2}$ tại $x = 3$ là $18$.

Hàm số $y = 3{x^2}$ có $a = 3 > 0$ nên hàm số nghịch biến khi $x < 0$, đồng biến khi $x > 0$.