Căn thức bậc hai

Với số dương $a$, số $x$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$ khi và chỉ khi $\sqrt a  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$

Căn bậc hai số học của $a = 2,25$ là $\sqrt {2,25}  = 1,5$.

- Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b$ nên C đúng.

- Với hai số $a,b$ không âm ta có $a > b \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > \sqrt b$  nên D sai.

- Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$ nên A, B đúng.

Ta có: $\sqrt {10 + 100x}$ có nghĩa khi $10 + 100x \ge 0 \Leftrightarrow 100x \ge  - 10 \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{{10}}$.

Ta có: $\sqrt {49}  = \sqrt {{7^2}}  = \left| 7 \right| = 7$, $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{9}{{13}}} \right)}^2}}  = \left| {\dfrac{9}{{13}}} \right| = \dfrac{9}{{13}}$, $\sqrt {625}  = \sqrt {{{25}^2}}  = \left| {25} \right| = 25$

Nên $\dfrac{2}{7}\sqrt {49}  + \dfrac{{26}}{{3}}\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}  - \sqrt {625}$$= \dfrac{2}{7}. 7 + \dfrac{{26}}{3}.\dfrac{9}{{13}} - 25 = 2 + 6 - 25 =  - 17$

Điều kiện: $5x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$

Vì $10 = \sqrt {100}$ nên $\sqrt {5x}  < 10$$\Leftrightarrow \sqrt {5x}  < \sqrt {100}  \Leftrightarrow 5x < 100 \Leftrightarrow x < 20$

Kết hợp điều kiện $x \ge 0$ ta có $0 \le x < 20$ .

Vậy $0 \le x < 20$.

Điều kiện: $2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$

Ta có: $5\sqrt {2x}  - 125 = 0 \Leftrightarrow 5\sqrt {2x}  = 125 \Leftrightarrow \sqrt {2x}  = 25$ mà $25 > 0$ nên

$\sqrt {2x}  = 25 \Leftrightarrow 2x = {25^2} \Leftrightarrow 2x = 625 \Leftrightarrow x = \dfrac{{625}}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $x = \dfrac{{625}}{2}$.

Ta có: $\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {3 - \sqrt {11} } \right|$

Mà

+) $5 = \sqrt {25}  > \sqrt {11}  \Rightarrow 5 - \sqrt {11}  > 0 \Leftrightarrow \left| {5 - \sqrt {11} } \right| = 5 - \sqrt {11}$

+)  $3 = \sqrt 9  < \sqrt {11}  \Rightarrow 3 - \sqrt {11}  < 0 \Leftrightarrow \left| {3 - \sqrt {11} } \right| = \sqrt {11}  - 3$

Nên $\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {11}  - 3} \right)}^2}}  = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {\sqrt {11}  - 3} \right|$$= 5 - \sqrt {11}  + \sqrt {11}  - 3 = 2$.

Ta có: $\sqrt {{{\left( { - \dfrac{8}{3}} \right)}^2}}  = \left| { - \dfrac{8}{3}} \right| = \dfrac{8}{3}$ và $\sqrt {{{\left( { - 0,8} \right)}^2}}  = \left| { - 0,8} \right| = 0,8$

Nên $9\sqrt {{{\left( { - \dfrac{8}{3}} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 0,8} \right)}^2}}$$= 9.\dfrac{8}{3} + 0,8 = 24 + 0,8 = 24,8$

Ta có: $\sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {4 + \sqrt 3 } \right| = 4 + \sqrt 3$

Và $\sqrt {19 - 8\sqrt 3 }  = \sqrt {{4^2} - 2.4.\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {4 - \sqrt 3 } \right| = 4 - \sqrt 3$ (vì $4 = \sqrt {16}  > \sqrt 3  \Rightarrow 4 - \sqrt 3  > 0$)

Nên $\sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 }$$= 4 + \sqrt 3  + 4 - \sqrt 3  = 8$

Ta có: $\sqrt {125 - 5x}$ có nghĩa khi $125 - 5x \ge 0 \Leftrightarrow 5x \le 125 \Leftrightarrow x \le 25$.

Ta có: $\sqrt {144{a^2}}  = \sqrt {{{\left( {12a} \right)}^2}}  = \left| {12a} \right|$ mà $a > 0 \Rightarrow 12a > 0$ nên $\left| {12a} \right| = 12a$ hay $\sqrt {144{a^2}}  = 12a$.

Từ đó: $A = \sqrt {144{a^2}}  - 9a = 12a - 9a = 3a.$

Ta có: $\sqrt {\dfrac{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}}{{6 - 3x}}}$ có nghĩa khi $\dfrac{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}}{{6 - 3x}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{6 - 3x}} \ge 0$ mà $25 > 0$$\Rightarrow 6 - 3x > 0 \Leftrightarrow 6 > 3x \Leftrightarrow x < 2$.

Ta có: $\sqrt {4{a^2} + 12a + 9}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2.3.2a + {3^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}  = \left| {2a + 3} \right|$

Ta có: $\sqrt {4{a^2} - 12a + 9}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - 2.3.2a + {3^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}  = \left| {2a - 3} \right|$

Mà: $- \dfrac{3}{2} \le a \le \dfrac{3}{2} \Rightarrow  - 3 \le 2a \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3 \ge 0 \Rightarrow \left| {2a + 3} \right| = 2a + 3\\2a - 3 \le 0 \Rightarrow \left| {2a - 3} \right| = 3 - 2a\end{array} \right.$

Hay: $\sqrt {4{a^2} + 12a + 9}  = 2a + 3$ và $\sqrt {4{a^2} - 12a + 9}  = 3 - 2a$ với $- \dfrac{3}{2} \le a \le \dfrac{3}{2}$

Khi đó: $\sqrt {4{a^2} + 12a + 9}  + \sqrt {4{a^2} - 12a + 9}  = 2a + 3 + 3 - 2a = 6$.

ĐK: $x \ge \dfrac{3}{2}$

Với điều kiện trên, ta có: $\sqrt {2{x^2} - 3x}  = \sqrt {3x - 4}$$\Leftrightarrow 2{x^2} - 3x = 3x - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 4 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\left( L \right)\\x = 2\,(N)\end{array} \right.\end{array}$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$.

Tách $5 = 7 - 2 = \sqrt {49}  - 2$.

Vì $49 < 50 \Leftrightarrow \sqrt {49}  < \sqrt {50}$$\Leftrightarrow 7 < \sqrt {50}  \Leftrightarrow 7 - 2 < \sqrt {50}  - 2$$\Leftrightarrow 5 < \sqrt {50}  - 2$.

ĐK: $x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 4$

Với điều kiện trên ta có:

$\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31}  = x + 4$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {\left( {x + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {x^2} + 8x + 16$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 31 - {x^2} - 8x - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 5x + 15 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( N \right)\\x = 5\left( N \right)\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = 3;x = 5.$

Điều kiện: $3-4x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac {3}{4}$

$\sqrt {4{x^2} + 4x + 1}  = 3 - 4x \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  = 3 - 4x$

$\Leftrightarrow \left| {2x + 1} \right| = 3 - 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 3 - 4x\\2x + 1 = 4x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2\\2x = 4\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3} (tm)\\x = 2 (ktm)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có một nghiệm $x = \dfrac{1}{3}.$

Ta có: $\sqrt {{x^2} + 10x + 25}  = \sqrt {{{\left( {x + 5} \right)}^2}}  = \left| {x + 5} \right| =  - \left( {x + 5} \right)$ (vì $x <  - 5$).

Nên $\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 10x + 25} }}{{ - 5 - x}} = \dfrac{{ - \left( {x + 5} \right)}}{{ - \left( {x + 5} \right)}} = 1$

Ta có: $B = \sqrt {4{a^2} - 4a + 1}  + \sqrt {4{a^2} - 12a + 9}$$= \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}  = \left| {2a - 1} \right| + \left| {2a - 3} \right|$

Ta có: $\left| {2a - 1} \right| + \left| {2a - 3} \right| = \left| {2a - 1} \right| + \left| {3 - 2a} \right| \ge \left| {2a - 1 + 3 - 2a} \right| = 2$

Dấu “=” xảy ra khi $2a - 1 = 3 - 2a \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1$.

Suy ra GTNN của $B$ là $2 \Leftrightarrow a = 1$.