Cho số thực \(a > 0\). Căn bậc hai số học của \(a\) là \(x\) khi và chỉ khi
Với số dương \(a\), số \(x\) được gọi là căn bậc hai số học của \(a\) khi và chỉ khi \(\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)
Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số \(a = 2,25\)
Căn bậc hai số học của \(a = 2,25\) là \(\sqrt {2,25} = 1,5\).
Khẳng định nào sau đây là sai?
- Với hai số \(a,b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b \) nên C đúng.
- Với hai số \(a,b\) không âm ta có \(a > b \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt a > \sqrt b \) nên D sai.
- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\) nên A, B đúng.
Biểu thức \(\sqrt {10 + 100x} \) có nghĩa khi
Ta có: \(\sqrt {10 + 100x} \) có nghĩa khi \(10 + 100x \ge 0 \Leftrightarrow 100x \ge - 10 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{1}{{10}}\).
Giá trị của biểu thức \(\dfrac{2}{7}\sqrt {49} + \dfrac{{26}}{{3}}\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} - \sqrt {625} \) là:
Ta có: \(\sqrt {49} = \sqrt {{7^2}} = \left| 7 \right| = 7\), \(\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{9}{{13}}} \right)}^2}} = \left| {\dfrac{9}{{13}}} \right| = \dfrac{9}{{13}}\), \(\sqrt {625} = \sqrt {{{25}^2}} = \left| {25} \right| = 25\)
Nên \(\dfrac{2}{7}\sqrt {49} + \dfrac{{26}}{{3}}\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} - \sqrt {625} \)\( = \dfrac{2}{7}. 7 + \dfrac{{26}}{3}.\dfrac{9}{{13}} - 25 = 2 + 6 - 25 = - 17\)
Tìm các số \(x\) không âm thỏa mãn \(\sqrt {5x} < 10\)
Điều kiện: \(5x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)
Vì \(10 = \sqrt {100} \) nên \(\sqrt {5x} < 10\)\( \Leftrightarrow \sqrt {5x} < \sqrt {100} \Leftrightarrow 5x < 100 \Leftrightarrow x < 20\)
Kết hợp điều kiện \(x \ge 0\) ta có \(0 \le x < 20\) .
Vậy \(0 \le x < 20\).
Tìm giá trị của \(x\) không âm biết \(5\sqrt {2x} - 125 = 0\).
Điều kiện: \(2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)
Ta có: \(5\sqrt {2x} - 125 = 0 \Leftrightarrow 5\sqrt {2x} = 125 \Leftrightarrow \sqrt {2x} = 25\) mà \(25 > 0\) nên
\(\sqrt {2x} = 25 \Leftrightarrow 2x = {25^2} \Leftrightarrow 2x = 625 \Leftrightarrow x = \dfrac{{625}}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = \dfrac{{625}}{2}\).
Rút gọn biểu thức sau \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}} \).
Ta có: \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {11} } \right)}^2}} = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {3 - \sqrt {11} } \right|\)
Mà
+) \(5 = \sqrt {25} > \sqrt {11} \Rightarrow 5 - \sqrt {11} > 0 \Leftrightarrow \left| {5 - \sqrt {11} } \right| = 5 - \sqrt {11} \)
+) \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {11} \Rightarrow 3 - \sqrt {11} < 0 \Leftrightarrow \left| {3 - \sqrt {11} } \right| = \sqrt {11} - 3\)
Nên \(\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {11} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {11} - 3} \right)}^2}} = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {\sqrt {11} - 3} \right|\)\( = 5 - \sqrt {11} + \sqrt {11} - 3 = 2\).
Tính giá trị biểu thức \(9\sqrt {{{\left( { - \dfrac{8}{3}} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( { - 0,8} \right)}^2}} \).
Ta có: \(\sqrt {{{\left( { - \dfrac{8}{3}} \right)}^2}} = \left| { - \dfrac{8}{3}} \right| = \dfrac{8}{3}\) và \(\sqrt {{{\left( { - 0,8} \right)}^2}} = \left| { - 0,8} \right| = 0,8\)
Nên \(9\sqrt {{{\left( { - \dfrac{8}{3}} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( { - 0,8} \right)}^2}} \)\( = 9.\dfrac{8}{3} + 0,8 = 24 + 0,8 = 24,8\)
Tính giá trị biểu thức \(\sqrt {19 + 8\sqrt 3 } + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } \).
Ta có: \(\sqrt {19 + 8\sqrt 3 } = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 3 + 3} = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {4 + \sqrt 3 } \right| = 4 + \sqrt 3 \)
Và \(\sqrt {19 - 8\sqrt 3 } = \sqrt {{4^2} - 2.4.\sqrt 3 + 3} = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {4 - \sqrt 3 } \right| = 4 - \sqrt 3 \) (vì \(4 = \sqrt {16} > \sqrt 3 \Rightarrow 4 - \sqrt 3 > 0\))
Nên \(\sqrt {19 + 8\sqrt 3 } + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } \)\( = 4 + \sqrt 3 + 4 - \sqrt 3 = 8\)
Tìm điều kiện xác định của\(\sqrt {125 - 5x} \).
Ta có: \(\sqrt {125 - 5x} \) có nghĩa khi \(125 - 5x \ge 0 \Leftrightarrow 5x \le 125 \Leftrightarrow x \le 25\).
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {144{a^2}} - 9a\) với \(a > 0\).
Ta có: \(\sqrt {144{a^2}} = \sqrt {{{\left( {12a} \right)}^2}} = \left| {12a} \right|\) mà \(a > 0 \Rightarrow 12a > 0\) nên \(\left| {12a} \right| = 12a\) hay \(\sqrt {144{a^2}} = 12a\).
Từ đó: \(A = \sqrt {144{a^2}} - 9a = 12a - 9a = 3a.\)
Tìm \(x\) để \(\sqrt {\dfrac{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}}{{6 - 3x}}} \) có nghĩa
Ta có: \(\sqrt {\dfrac{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}}{{6 - 3x}}} \) có nghĩa khi \(\dfrac{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}}{{6 - 3x}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{6 - 3x}} \ge 0\) mà \(25 > 0\)\( \Rightarrow 6 - 3x > 0 \Leftrightarrow 6 > 3x \Leftrightarrow x < 2\).
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {4{a^2} + 12a + 9} + \sqrt {4{a^2} - 12a + 9} \) với \( - \dfrac{3}{2} \le a \le \dfrac{3}{2}\) ta được:
Ta có: \(\sqrt {4{a^2} + 12a + 9} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2.3.2a + {3^2}} = \sqrt {{{\left( {2a + 3} \right)}^2}} = \left| {2a + 3} \right|\)
Ta có: \(\sqrt {4{a^2} - 12a + 9} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - 2.3.2a + {3^2}} = \sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} = \left| {2a - 3} \right|\)
Mà: \( - \dfrac{3}{2} \le a \le \dfrac{3}{2} \Rightarrow - 3 \le 2a \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3 \ge 0 \Rightarrow \left| {2a + 3} \right| = 2a + 3\\2a - 3 \le 0 \Rightarrow \left| {2a - 3} \right| = 3 - 2a\end{array} \right.\)
Hay: \(\sqrt {4{a^2} + 12a + 9} = 2a + 3\) và \(\sqrt {4{a^2} - 12a + 9} = 3 - 2a\) với \( - \dfrac{3}{2} \le a \le \dfrac{3}{2}\)
Khi đó: \(\sqrt {4{a^2} + 12a + 9} + \sqrt {4{a^2} - 12a + 9} = 2a + 3 + 3 - 2a = 6\).
Tìm \(x\) thỏa mãn phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x} = \sqrt {3x - 4} \)
ĐK: \( x \ge \dfrac{3}{2}\)
Với điều kiện trên, ta có: \(\sqrt {2{x^2} - 3x} = \sqrt {3x - 4} \)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x = 3x - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 4 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\left( L \right)\\x = 2\,(N)\end{array} \right.\end{array}\).
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\).
So sánh hai số \(5\) và \(\sqrt {50} - 2\).
Tách \(5 = 7 - 2 = \sqrt {49} - 2\).
Vì \(49 < 50 \Leftrightarrow \sqrt {49} < \sqrt {50} \)\( \Leftrightarrow 7 < \sqrt {50} \Leftrightarrow 7 - 2 < \sqrt {50} - 2 \)\(\Leftrightarrow 5 < \sqrt {50} - 2\).
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31} = x + 4\) là
ĐK: \(x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 4\)
Với điều kiện trên ta có:
\(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31} = x + 4\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {\left( {x + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {x^2} + 8x + 16\)\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 31 - {x^2} - 8x - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 5x + 15 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( N \right)\\x = 5\left( N \right)\end{array} \right.\) .
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 3;x = 5.\)
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 3 - 4x\) là:
Điều kiện: \(3-4x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac {3}{4}\)
\(\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 3 - 4x \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} = 3 - 4x\)
\( \Leftrightarrow \left| {2x + 1} \right| = 3 - 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 3 - 4x\\2x + 1 = 4x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2\\2x = 4\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3} (tm)\\x = 2 (ktm)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = \dfrac{1}{3}.\)
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 10x + 25} }}{{ - 5 - x}}\) với \(x < - 5\) ta được:
Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 10x + 25} = \sqrt {{{\left( {x + 5} \right)}^2}} = \left| {x + 5} \right| = - \left( {x + 5} \right)\) (vì \(x < - 5\)).
Nên \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 10x + 25} }}{{ - 5 - x}} = \dfrac{{ - \left( {x + 5} \right)}}{{ - \left( {x + 5} \right)}} = 1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = \sqrt {4{a^2} - 4a + 1} + \sqrt {4{a^2} - 12a + 9} \).
Ta có: \(B = \sqrt {4{a^2} - 4a + 1} + \sqrt {4{a^2} - 12a + 9} \)\( = \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} = \left| {2a - 1} \right| + \left| {2a - 3} \right|\)
Ta có: \(\left| {2a - 1} \right| + \left| {2a - 3} \right| = \left| {2a - 1} \right| + \left| {3 - 2a} \right| \ge \left| {2a - 1 + 3 - 2a} \right| = 2\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2a - 1 = 3 - 2a \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1\).
Suy ra GTNN của \(B\) là \(2 \Leftrightarrow a = 1\).
