Giá trị của biểu thức \(\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \) là:
Ta có:
\(5 - 2\sqrt 6 = 2 - 2\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3\)\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2 .\sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)\( = {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)^2}\)
\(7 - 4\sqrt 3 = 4 - 2.2.\sqrt 3 + 3\)\( = {2^2} - 2.2.\sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)\( = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\)
\( \Rightarrow \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\\,\,\, = \left| {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right| + \left| {2 - \sqrt 3 } \right|\)\( = \sqrt 3 - \sqrt 2 + 2 - \sqrt 3 \) \(\left( {do\,\,\,\sqrt 2 - \sqrt 3 < 0,\,\,\,2 - \sqrt 3 > 0} \right)\)
\( = 2 - \sqrt 2\)
Rút gọn \(A = \dfrac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\) với \(x > 3\)
Với \(x > 3\) thì biểu thức đã cho đã xác định.
\(A = \dfrac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {x - 2 - 2\sqrt {x - 2} + 1} }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\)\( = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\)\( = \dfrac{{\left| {\sqrt {x - 2} - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2} - 1}}\)
Với \(x > 3 \Rightarrow \sqrt {x - 2} - 1 > 0\)\( \Rightarrow \left| {\sqrt {x - 2} - 1} \right| = \sqrt {x - 2} - 1.\)
\( \Rightarrow A = \dfrac{{\left| {\sqrt {x - 2} - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2} - 1}} = \dfrac{{\sqrt {x - 2} - 1}}{{\sqrt {x - 2} - 1}} = 1.\)
Rút gọn biểu thức sau \(\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} - 3\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {{b^2}} \) với \(a < 0 < b\)
\(\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} - 3\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {{b^2}} = \left| {a - b} \right| - 3\left| a \right| + 2\left| b \right|\)
Vì \(a < 0 < b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b < 0\\a < 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a - b} \right| = b - a\\\left| a \right| = - a\\\left| b \right| = b\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {a - b} \right| - 3\left| a \right| + 2\left| b \right| = b - a - 3\left( { - a} \right) + 2b\\ = b - a + 3a + 2b\\ = b - a + 3a + 2b\\ = 2a + 3b.\end{array}\)
Cho số thực $a > 0$. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của $a$ ?
Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.
Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số $a = 0,36.$
Căn bậc hai số học của $a = 0,36$ là $\sqrt {0,36} = 0,6$.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
- Với $A,B$ không âm ta có $A < B \Leftrightarrow \sqrt A < \sqrt B $ nên C đúng, D sai.
- Ta có hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$ nên A, B sai.
Biểu thức $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi
Ta có $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$.
So sánh hai số $2$ và $1 + \sqrt 2 $.
Tách $2 = 1 + 1 = 1 + \sqrt 1 $.
Vì $1 < 2 \Leftrightarrow \sqrt 1 < \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow 1 < \sqrt 2 \Leftrightarrow 1 + 1 < 1 + \sqrt 2 $
$\Leftrightarrow 2 < 1 + \sqrt 2 $.
Tìm các số $x$ không âm thỏa mãn $\sqrt x \ge 3$
Vì $3 = \sqrt 9 $ nên $\sqrt x \ge 3$ được viết là $\sqrt x \ge \sqrt 9 $. Vì $x$ không âm nên $\sqrt x \ge \sqrt 9 $$ \Rightarrow x \ge 9$.
Tính giá trị biểu thức $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$
Ta có $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 3 } \right|$ mà $2 = \sqrt 4 > \sqrt 3 $ (vì $4 > 3$) nên $2 - \sqrt 3 > 0$. Từ đó $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 $.
Ta có $\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {1 - \sqrt 3 } \right|$ mà $1 = \sqrt 1 < \sqrt 3 $ (vì $1 < 3$) nên $1 - \sqrt 3 < 0$. Từ đó
$\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {1 - \sqrt 3 } \right|$$ = \sqrt 3 - 1$.
Nên $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} $$ = 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 - 1 = 1$.
Tính giá trị biểu thức $6\sqrt {{{\left( { - 2,5} \right)}^2}} - 8\sqrt {{{\left( { - 0,5} \right)}^2}} $.
Ta có $\sqrt {{{\left( { - 2,5} \right)}^2}} = \left| { - 2,5} \right| = 2,5$ và $\sqrt {{{\left( { - 0,5} \right)}^2}} = \left| { - 0,5} \right| = 0,5$
Nên $6\sqrt {{{\left( { - 2,5} \right)}^2}} - 8\sqrt {{{\left( { - 0,5} \right)}^2}} $$ = 6.2,5 - 8.0,5 = 15 - 4 = 11.$
Tìm điều kiện xác định của $\sqrt {5 - 3x} $.
Ta có $\sqrt {5 - 3x} $ có nghĩa khi $5 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow 3x \le 5 \Leftrightarrow x \le \dfrac{5}{3}$.
Rút gọn biểu thức $A = \sqrt {36{a^2}} + 3a$ với $a > 0$.
Ta có $\sqrt {36{a^2}} = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2}} = \left| {6a} \right|$ mà $a > 0 \Rightarrow 6a > 0$ nên $\left| {6a} \right| = 6a$ hay $\sqrt {36{a^2}} = 6a$.
Từ đó $A = \sqrt {36{a^2}} + 3a = 6a + 3a = 9a$
Tìm $x$ để $\sqrt {\dfrac{{ - 2}}{{3x - 1}}} $ có nghĩa
Ta có $\sqrt {\dfrac{{ - 2}}{{3x - 1}}} $có nghĩa khi $\dfrac{{ - 2}}{{3x - 1}} \ge 0$ mà $ - 2 < 0$
$ \Rightarrow 3x - 1 < 0 $
$\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}$.
Giá trị của biểu thức \(\dfrac{2}{5}\sqrt {25} - \dfrac{9}{2}\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} \) là
Ta có $\sqrt {25} = \sqrt {{5^2}} = \left| 5 \right| = 5$, $\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)}^2}} = \left| {\dfrac{4}{9}} \right| = \dfrac{4}{9}$, $\sqrt {169} = \sqrt {{{13}^2}} = \left| {13} \right| = 13$
Nên \(\dfrac{2}{5}\sqrt {25} - \dfrac{9}{2}\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} \)$ = \dfrac{2}{5}.5 - \dfrac{9}{2}.\dfrac{4}{9} + 13 = 2 - 2 + 13 = 13$
Tìm giá trị của $x$ không âm biết $2\sqrt x - 30 = 0$.
Với $x$ không âm ta có
$2\sqrt x - 30 = 0 $
$\Leftrightarrow 2\sqrt x = 30 $
$\Leftrightarrow \sqrt x = 15$ mà $15 > 0$ nên $\sqrt x = 15 $
$\Leftrightarrow x = {15^2} $
$\Leftrightarrow x = 225$ (thỏa mãn).
Vậy $x = 225$.
Tính giá trị biểu thức $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } - \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } $.
Ta có $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } = \sqrt {{3^2} + 2.3.\sqrt 6 + 6} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}^2}}$
$ = \left| {3 + \sqrt 6 } \right| = 3 + \sqrt 6 $
Và $\sqrt {15 - 6\sqrt 6 } = \sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 6 + 6} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} $
$= \left| {3 - \sqrt 6 } \right|= 3 - \sqrt 6 $
(vì $3 = \sqrt 9 > \sqrt 6 \Rightarrow 3 - \sqrt 6 > 0$)
Nên $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } - \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } $
$ = 3 + \sqrt 6 - \left( {3 - \sqrt 6 } \right) $
$= 3 + \sqrt 6 - 3 + \sqrt 6 = 2\sqrt 6 $
Rút gọn biểu thức
$\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} - 8a + 16} $ với $ - 4 \le a \le 4$ ta được
Ta có $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} = \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2}} = \left| {a + 4} \right|$.
Mà $ - 4 \le a \le 4 \Rightarrow a + 4 \ge 0$
$\Rightarrow \left| {a + 4} \right| = a + 4$
Hay $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} = a + 4$ với $ - 4 \le a \le 4$
Ta có $\sqrt {{a^2} - 8a + 16} = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2}} $
$= \left| {a - 4} \right|$.
Mà $ - 4 \le a \le 4 \Rightarrow a - 4 \le 0 $
$\Rightarrow \left| {a - 4} \right| = 4 - a$
Hay $\sqrt {{a^2} - 8a + 16} = 4 - a$ với $ - 4 \le a \le 4$
Khi đó $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} - 8a + 16} $
$= a + 4 + 4 - a = 8$.
Tìm $x$ thỏa mãn phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 6} = \sqrt {x - 3} \)
ĐK: $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$
Với điều kiện trên, ta có \(\sqrt {{x^2} - x - 6} = \sqrt {x - 3} \)
$ \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = x - 3$
$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 $
$\Leftrightarrow {x^2} - 3x + x - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0 $
$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\left( N \right)\\x = - 1\,(L)\end{array} \right.$.
Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 2} = 3x - 1\) là
ĐK: $3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}$
Với điều kiện trên ta có: \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 2} = 3x - 1\)$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = {\left( {3x - 1} \right)^2} $
$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = 9{x^2} - 6x + 1 $
$\Leftrightarrow 7{x^2} - 6x - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow 7{x^2} - 7x + x - 1 = 0 $
$\Leftrightarrow 7x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0$
$\Leftrightarrow \left( {7x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{7}\left( L \right)\\x = 1\,\left( N \right)\end{array} \right.$.
