Căn thức bậc hai

Ta có:

$5 - 2\sqrt 6  = 2 - 2\sqrt 2 .\sqrt 3  + 3$$= {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2 .\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}$$= {\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2}$

$7 - 4\sqrt 3  = 4 - 2.2.\sqrt 3  + 3$$= {2^2} - 2.2.\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}$$= {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt {5 - 2\sqrt 6 }  + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }$$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\\,\,\, = \left| {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right| + \left| {2 - \sqrt 3 } \right|$$= \sqrt 3  - \sqrt 2  + 2 - \sqrt 3$  $\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - \sqrt 3  < 0,\,\,\,2 - \sqrt 3  > 0} \right)$

$= 2 - \sqrt 2$

Với $x > 3$ thì biểu thức đã cho đã xác định.

$A = \dfrac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}$ $= \dfrac{{\sqrt {x - 2 - 2\sqrt {x - 2}  + 1} }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}$$= \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2}  - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}$$= \dfrac{{\left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}$

Với $x > 3 \Rightarrow \sqrt {x - 2}  - 1 > 0$$\Rightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right| = \sqrt {x - 2}  - 1.$

$\Rightarrow A = \dfrac{{\left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}} = \dfrac{{\sqrt {x - 2}  - 1}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}} = 1.$

$\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}}  - 3\sqrt {{a^2}}  + 2\sqrt {{b^2}}  = \left| {a - b} \right| - 3\left| a \right| + 2\left| b \right|$

Vì $a < 0 < b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b < 0\\a < 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a - b} \right| = b - a\\\left| a \right| =  - a\\\left| b \right| = b\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {a - b} \right| - 3\left| a \right| + 2\left| b \right| = b - a - 3\left( { - a} \right) + 2b\\ = b - a + 3a + 2b\\ = b - a + 3a + 2b\\ = 2a + 3b.\end{array}$

Với số dương $a$, số $\sqrt a$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Căn bậc hai số học của $a = 0,36$ là $\sqrt {0,36}  = 0,6$.

- Với $A,B$ không âm ta có $A < B \Leftrightarrow \sqrt A  < \sqrt B$ nên C đúng, D sai.

- Ta có hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$ nên A, B sai.

Ta có  $\sqrt {x - 3}$ có nghĩa khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$.

Tách $2 = 1 + 1 = 1 + \sqrt 1$.

Vì $1 < 2 \Leftrightarrow \sqrt 1  < \sqrt 2$

$\Leftrightarrow 1 < \sqrt 2  \Leftrightarrow 1 + 1 < 1 + \sqrt 2$

$\Leftrightarrow 2 < 1 + \sqrt 2$.

Vì $3 = \sqrt 9$ nên $\sqrt x  \ge 3$ được viết là $\sqrt x  \ge \sqrt 9$. Vì $x$ không âm nên $\sqrt x  \ge \sqrt 9$$\Rightarrow x \ge 9$.

Ta có $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right|$ mà $2 = \sqrt 4  > \sqrt 3$ (vì $4 > 3$) nên $2 - \sqrt 3  > 0$. Từ đó $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3$.

Ta có $\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {1 - \sqrt 3 } \right|$ mà $1 = \sqrt 1  < \sqrt 3$ (vì $1 < 3$) nên $1 - \sqrt 3  < 0$. Từ đó

$\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {1 - \sqrt 3 } \right|$$= \sqrt 3  - 1$.

Nên $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$$= 2 - \sqrt 3  + \sqrt 3  - 1 = 1$.

Ta có $\sqrt {{{\left( { - 2,5} \right)}^2}}  = \left| { - 2,5} \right| = 2,5$ và $\sqrt {{{\left( { - 0,5} \right)}^2}}  = \left| { - 0,5} \right| = 0,5$

Nên $6\sqrt {{{\left( { - 2,5} \right)}^2}}  - 8\sqrt {{{\left( { - 0,5} \right)}^2}}$$= 6.2,5 - 8.0,5 = 15 - 4 = 11.$

Ta có  $\sqrt {5 - 3x}$ có nghĩa khi $5 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow 3x \le 5 \Leftrightarrow x \le \dfrac{5}{3}$.

Ta có  $\sqrt {36{a^2}}  = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2}}  = \left| {6a} \right|$ mà $a > 0 \Rightarrow 6a > 0$ nên $\left| {6a} \right| = 6a$ hay $\sqrt {36{a^2}}  = 6a$.

Từ đó $A = \sqrt {36{a^2}}  + 3a = 6a + 3a = 9a$

Ta có  $\sqrt {\dfrac{{ - 2}}{{3x - 1}}}$có nghĩa khi $\dfrac{{ - 2}}{{3x - 1}} \ge 0$ mà $- 2 < 0$

$\Rightarrow 3x - 1 < 0$

$\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}$.

Ta có  $\sqrt {25}  = \sqrt {{5^2}}  = \left| 5 \right| = 5$, $\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)}^2}}  = \left| {\dfrac{4}{9}} \right| = \dfrac{4}{9}$, $\sqrt {169}  = \sqrt {{{13}^2}}  = \left| {13} \right| = 13$

Nên $\dfrac{2}{5}\sqrt {25}  - \dfrac{9}{2}\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}}  + \sqrt {169}$$= \dfrac{2}{5}.5 - \dfrac{9}{2}.\dfrac{4}{9} + 13 = 2 - 2 + 13 = 13$

Với $x$ không âm ta có

$2\sqrt x  - 30 = 0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt x  = 30$

$\Leftrightarrow \sqrt x  = 15$ mà $15 > 0$ nên $\sqrt x  = 15$

$\Leftrightarrow x = {15^2}$

$\Leftrightarrow x = 225$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 225$.

Ta có $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 }  = \sqrt {{3^2} + 2.3.\sqrt 6  + 6}  = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}^2}}$

$= \left| {3 + \sqrt 6 } \right| = 3 + \sqrt 6$

Và $\sqrt {15 - 6\sqrt 6 }  = \sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 6  + 6}  = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}}$

$= \left| {3 - \sqrt 6 } \right|= 3 - \sqrt 6$

(vì $3 = \sqrt 9  > \sqrt 6  \Rightarrow 3 - \sqrt 6  > 0$)

Nên $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 }  - \sqrt {15 - 6\sqrt 6 }$

$= 3 + \sqrt 6  - \left( {3 - \sqrt 6 } \right)$

$= 3 + \sqrt 6  - 3 + \sqrt 6  = 2\sqrt 6$

Ta có $\sqrt {{a^2} + 8a + 16}  = \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2}}  = \left| {a + 4} \right|$.

Mà $- 4 \le a \le 4 \Rightarrow a + 4 \ge 0$

$\Rightarrow \left| {a + 4} \right| = a + 4$

Hay $\sqrt {{a^2} + 8a + 16}  = a + 4$ với $- 4 \le a \le 4$

Ta có $\sqrt {{a^2} - 8a + 16}  = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2}}$

$= \left| {a - 4} \right|$.

Mà $- 4 \le a \le 4 \Rightarrow a - 4 \le 0$

$\Rightarrow \left| {a - 4} \right| = 4 - a$

Hay $\sqrt {{a^2} - 8a + 16}  = 4 - a$ với $- 4 \le a \le 4$

Khi đó $\sqrt {{a^2} + 8a + 16}  + \sqrt {{a^2} - 8a + 16}$

$= a + 4 + 4 - a = 8$.

ĐK: $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Với điều kiện trên, ta có $\sqrt {{x^2} - x - 6}  = \sqrt {x - 3}$

$\Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = x - 3$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x + x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\left( N \right)\\x =  - 1\,(L)\end{array} \right.$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.

ĐK: $3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}$

Với điều kiện trên ta có: $\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 2}  = 3x - 1$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = {\left( {3x - 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = 9{x^2} - 6x + 1$

$\Leftrightarrow 7{x^2} - 6x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 7{x^2} - 7x + x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 7x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {7x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{7}\left( L \right)\\x = 1\,\left( N \right)\end{array} \right.$.