Cho một số có hai chữ số . Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là $18$. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $66$. Tổng các chữ số của số đó là
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb N},\,a,b \le 9.\)
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)
Ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}\overline {ba} - \overline {ab} = 18\\\overline {ba} + \overline {ab} = 66\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\overline {ab} = 48\\\overline {ba} + \overline {ab} = 66\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overline {ab} = 24\\\overline {ba} = 42\end{array} \right.\,\)(thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là $24$ nên tổng các chữ số là $2 + 4 = 6$.
Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $6$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\dfrac{{13}}{{31}}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*};a,b \le 9\)
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)
Ta có hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 6\\\overline {ba} = \dfrac{{13}}{{31}}\overline {ab} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 6\\b.10 + a = \dfrac{{13}}{{31}}\left( {a.10 + b} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 6\\310b + 31\left( {b + 6} \right) = 130\left( {b + 6} \right) + 13b\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 6\\198b = 594\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = 9\end{array} \right.$(thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là $93$ nên tích các chữ số là $9.3 = 27$.
Một ô tô đi quãng đường $AB$ với vận tốc $52\,\,km/h$ , rồi đi tiếp quãng đường $BC$ với vận tốc $42km/h.$ Biết quãng đường tổng cộng dài $272\,\,km$ và thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là $2$ giờ. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường $BC$.
Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là $x,y$ ($x > 0,y > 2;$ đơn vị : giờ).
Quãng đường AB là \(52x\,(km)\), quãng đường BC là \(42y\,(km)\) mà tổng quãng đường 272km nên ta có phương trình \(52x+42y=272\)
Vì thời gian đi quãng đường AB ít hơn thời gian đi quãng đường BC là 2 giờ nên ta có phương trình $y-x=2$
Từ đó ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}52.x + 42.y = 272\\y - x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\52x + 42\left( {x + 2} \right) = 272\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\94x = 188\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array}(tm) \right.\)
Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $2$ giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường $BC$ là $4$ giờ.
Một xe đạp dự định đi từ \(A\) đến \(B\) trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \(10\,km\) thì đến nơi sớm hơn dự định $1$ giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \(5\,km\) thì đến nơi chậm mất $2$ giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.
Gọi vận tốc lúc đầu của xe là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}};x > 10} \right)$, thời gian theo dự định là $y\,\left( {y > 3} \right)$ (giờ)
Quãng đường xe đi được là: \(x.y\) (km)
Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \(10\,km\) thì đến nơi sớm hơn dự định $1$ giờ nên ta có phương trình
$\left( {x + 10} \right)\left( {y - 1} \right) = xy$
Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \(5\,km\) thì đến nơi chậm mất $2$ giờ nên ta có phương trình
$\left( {x - 5} \right)\left( {y + 2} \right) = xy$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 10} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\\\left( {x - 5} \right)\left( {y + 2} \right) = xy\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy - x + 10y - 10 = xy\\
xy + 2x - 5y - 10 = xy
\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 10y = 10\\2x - 5y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 2\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)
Vậy vận tốc ban đầu là $10\,{\rm{km/h}}$.
Một chiếc canô đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được \(380\,km\) . Một lần khác canô này xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong vòng 30 phút được \(85\,km\) . Hãy tính vận tốc của dòng nước ( vận tốc thật của canô và vận tốc dòng nước ở hai lần là như nhau ).
Gọi vận tốc thực của canô là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > 0} \right)$, vận tốc dòng nước là $y\,\,\left( {{\rm{km/h}},0 < y < x} \right)$
Vận tốc cano khi xuôi dòng là $x + y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$, vận tốc cano khi ngược dòng là $x - y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
Canô đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được \(380\,km\) nên ta có phương trình : $3\left( {x + y} \right) + 4\left( {x - y} \right) = 380$
Canô xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong vòng 30 phút được \(85\,km\)nên ta có phương trình
$x + y + \dfrac{1}{2}\left( {x - y} \right) = 85$
Ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + y} \right) + 4\left( {x - y} \right) = 380\\x + y + \dfrac{1}{2}\left( {x - y} \right) = 85\end{array} \right. $\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 3y - 4x - 4y = 380\\
2x + 2y + x - y = 170
\end{array} \right.\)$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - y = 380\\3x + y = 170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10x = 550\\3x + y = 170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 55\\y = 5\end{array} \right.$ ( thỏa mãn)
Vậy vận tốc dòng nước là $5\,{\rm{km/h}}$
Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tăng \(17c{m^2}\). Nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh 3cm, một cạnh 1cm thì diện tích sẽ giảm \(11c{m^2}\). Cạnh huyền của tam giác là
Bước 1:
Gọi các cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là \(x,y\left( {xm} \right),\left( {x,y > 3} \right)\).
Bước 2:
Vì khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tăng \(17c{m^2}\) nên ta có phương trình:
\(\dfrac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \dfrac{1}{2}xy + 17\left( 1 \right)\)
Vì nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh 3cm, một cạnh 1cm thì diện tích sẽ giảm \(11c{m^2}\) nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \dfrac{1}{2}xy - 11\left( 2 \right)\)
Bước 3:
Từ (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\x - 3y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 5\end{array} \right.\)
Bước 4:
Theo định lý Py-ta-go ta có:
Cạnh huyền của tam giác là \(\sqrt {{5^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt 5 cm\)
Hai người đi xe máy xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau \(225\,km\) . Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau $3$ giờ. Hỏi vận tốc của người thứ nhất, biết rằng vận tốc người thứ nhất lớn hơn người thứ hai \(5\,km/h\) ?
Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $x,y\,\,\,\left( {{\rm{km/h}},\,\,x > 5,y > 0} \right)$
Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là $3x$ $\left( {km} \right)$
Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là $3y\,\,\left( {km} \right)$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 225\\x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 225\\3x - 3y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x = 240\\x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 35\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy vận tốc của người thứ nhất là $40\,\,\left( {{\mathop{\rm km}\nolimits} /h} \right)$.
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 25% khối lượng công việc. Thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm xong công việc một mình là
Bước 1:
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ), \(x > 16\).
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ), \(y > 16\).
Bước 2:
Lượng công việc người thứ nhất và người thứ hai làm trong 1 giờ lần lượt là:
\(\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y}\) (công việc).
Vì hai người làm chung trong 16 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình:
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\) (1)
Sau 3 giờ người thứ nhất làm được \(3.\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x}\) (công việc).
Sau 6 giờ người thứ hai làm được \(\dfrac{6}{y}\) (công việc).
Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ và họ làm xong 25% công việc nên ta có phương trình: \(\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{4}\) (2).
Bước 3:
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 48\end{array} \right.\)
Bước 4:
Vậy thời gian để người thứ nhất làm xong công việc là 24 giờ, người thứ hai là 48 giờ.
Một khách du lịch đi trên ôtô $5$ giờ, sau đó đi tiếp bằng xe máy trong $3$ giờ được quãng đường dài \(330\,km\). Hỏi vận tốc của ô tô , biết rằng mỗi giờ xe máy đi chậm hơn ôtô \(10\,km\) ?
Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là $x,y\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > y > 0;x > 10} \right)$
Vì khách du lịch đi trên ôtô $5$ giờ, sau đó đi tiếp bằng xe máy trong $3$ giờ được quãng đường dài \(330\,km\) nên ta có phương trình $5x + 3y = 330$
Và mỗi giờ ô tôt đi nhanh hơn xe máy \(10\,km\) nên ta có phương trình $x - y = 10$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\5x + 3y = 330\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\5\left( {y + 10} \right) + 3y = 330\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8y = 280\\x = y + 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 35\\x = 45\end{array} (tm)\right.$
Vậy vận tốc ô tô là $45\,\,{\rm{km/h}}.$
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước thì sau 1,5h sẽ đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong \(\dfrac{1}{3}\) h thì được \(\dfrac{1}{5}\) bể. Hỏi nếu vòi 2 chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h), thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) (x; y > 1,5).
Mỗi giờ vòi 1 chảy được $\dfrac{1}{x}$ (bể), vòi 2 chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể nên cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ bể
Hai vòi cùng chảy thì sau 1,5h sẽ đầy bể nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong \(\dfrac{1}{3}\) h thì được \(\dfrac{1}{5}\) bể nên ta có phương trình:
$\dfrac{{0,25}}{x} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{{4x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{3x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{2}{9}\\\dfrac{1}{{4x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{12x}} = \dfrac{1}{{45}}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x = 45\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{15}}{4} = 3,75\\y = \dfrac{5}{2} = 2,5\end{array} (tm)\right.$
Vậy thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 2,5 h.
Hai bạn $A$ và $B$ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $8$ ngày. Hỏi nếu $A$ làm riêng hết \(\dfrac{1}{3}\) công việc rồi nghỉ thì $B$ hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu ? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì $A$ làm nhanh hơn B là $12$ ngày.
Gọi thời gian $A,B$ làm một mình xong công việc lần lượt là $x,y$ ($y > x > 0;y > 12$ , đơn vị : ngày).
Mỗi ngày các bạn $A,B$ lần lượt làm được \(\dfrac{1}{x}\)và \(\dfrac{1}{y}\)(công việc ).
Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $8$ ngày nên ta có :
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{8}\) (1)
Do làm một mình xong công việc thì $A$ làm nhanh hơn $B$ là $12$ ngày nên ta có phương trình :
\(y - x = 12\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :\(\)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{8}\\y - x = 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 12\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 12}} = \dfrac{1}{8}\left( * \right)\end{array} \right.\)
Giải (*) : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 12}} = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow \dfrac{{8\left( {x + 12} \right) + 8x}}{{8x\left( {x + 12} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x + 12} \right)}}{{8x\left( {x + 12} \right)}} \Rightarrow 16x + 96 = {x^2} + 12x\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 8x - 12x - 96 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) - 12\left( {x + 8} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( N \right)\\x = - 8\left( L \right)\end{array} \right.\)
Với \(x = 12 \Rightarrow y = x + 12 = 24.\)
Vậy $B$ hoàn thành cả công việc trong $24$ ngày.
Suy ra sau khi $A$ làm một mình xong \(\dfrac{1}{3}\) công việc rồi nghỉ$,B$ hoàn thành \(\dfrac{2}{3}\) công việc còn lại trong $\dfrac{2}{3}.24 = 16$ ngày.
Tìm một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của số đó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số theo thứ tự ngược lại với số đã cho. Tìm hai chữ số ban đầu.
Bước 1:
Gọi chữ số cần tìm là \(\overline {xy} \left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};1 \le x,y \le 9} \right)\).
Bước 2:
Vì tổng của hai chữ số nhỏ hơn số đó 6 lần nên ta có phương trình:
\(6\left( {x + y} \right) = \overline {xy} \)\( \Leftrightarrow 6x + 6y = 10x + y \Leftrightarrow 4x = 5y\)(1)
Vì nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số theo thứ tự ngược lại với số đã cho nên ta có phương trình: \(x.y + 25 = \overline {yx} \Leftrightarrow xy + 25 = 10y + x\) (2)
Bước 3:
Từ (1) và (2) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x = 5y\\xy + 25 = 10y + x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4x}}{5}\\x.\dfrac{{4x}}{5} + 25 = 9x\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4x}}{5}\\4{x^2} - 45x + 125 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4x}}{5}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{24}}{5}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 5\end{array} \right.\)
Bước 4:
Vậy số cần tìm là 54.
Năm ngoái, cả 2 cánh đồng thu hoạch được $500$ tấn thóc. Năm nay, do áp dụng khoa học kĩ thuật nên lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên $30\% $ so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng $20\% $. Do đó tổng cộng cả 2 cánh đồng thu được $630$ tấn thóc. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu tấn thóc?
Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ nhất là $x$ (tấn) $(x > 0)$
Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ hai là $y$ (tấn) $(y > 0)$.
Năm ngoài, cả 2 cánh đồng thu hoạch được 500 tấn thóc nên ta có phương trình: $x + y = 500\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Năm nay, lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20% nên ta có phương trình:
$x + \dfrac{{30}}{{100}}x + y + \dfrac{{20}}{{100}}y = 630 \\\Leftrightarrow \dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{120}}{{100}}y = 630\,\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{120}}{{100}}y = 630\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{120}}{{100}}x + \dfrac{{120}}{{100}}y = 600\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{120}}{{100}}y = 630\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{10}}{{100}}x = 30\\x + y = 500\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\x + y = 500\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 200\end{array} (tm)\right.$
Vậy lượng lúa thu được năm nay của cánh đồng thứ nhất là $300.1,3 = 390$ (tấn);
lượng lúa thu được năm nay của cánh đồng thứ hai là $200.1,2 = 240$ (tấn).
Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm. Tháng thứ hai, tổ I vượt mức $30\% $ và tổ II bị giảm năng suất $22\% $ so với tháng thứ nhất. Vì vậy 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm. Hỏi tháng thứ hai tổ 2 sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là $x$ (sản phẩm);
số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là $y$ (sản phẩm) $\left( {x,y \in {N^*}} \right)$.
Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 1200\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Tháng thứ 2 tổ I vượt mức 30% và tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm, ta có: $x + \dfrac{{30}}{{100}}x + y - \dfrac{{22}}{{100}}y = 1300 \\\Leftrightarrow \dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1200\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{78}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 936\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{52}}{{100}}x = 364\\x + y = 1200\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 700\\x + y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 700\\y = 500\end{array}(tm) \right.$
Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được \(500.78:100 = 390\) sản phẩm.
Một tấm bìa hình tam giác có chiều cao bằng $\dfrac{1}{4}$ cạnh đáy tương ứng. Nếu tăng chiều cao $2dm$ và giảm cạnh đáy $2dm$ thì diện tích tam giác tăng thêm $2,5{dm^2}$. Tính chiều cao và cạnh đáy của tấm bìa lúc ban đầu.
Gọi chiều cao của tấm bìa là \(h\), cạnh đáy tương ứng của tấm bìa là \(a\). \(\left( {h,a \in {N^*},dm} \right)\);\(\left( {a > 2} \right)\)
Diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}ah$ ($d{m^2}$)
Vì chiều cao bằng $\dfrac{1}{4}$ cạnh đáy nên ta có phương trình \(h = \dfrac{1}{4}a\)
Nếu chiều cao tăng thêm $2dm$ và cạnh đáy giảm đi $2dm$ thì diện tích của nó tăng thêm $2,5{dm^2}$
Nên ta có hương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {h + 2} \right)\left( {a - 2} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 2,5\)
Ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{1}{4}a\\\dfrac{1}{2}\left( {h + 2} \right)\left( {a - 2} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 2,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{1}{4}a\\ - 2h + 2a - 4 = 5\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{1}{4}a\\ - 2.\dfrac{1}{4}a + 2a = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\h = 1,5\end{array} (tm)\right.\)
Vậy chiều cao và cạnh đáy của tấm bìa lần lượt là $1,5dm$ và $6dm$ .
Một hình chữ nhật có chu vi $300cm$. Nếu tăng chiều rộng thêm $5cm$ và giảm chiều dài $5cm$ thì diện tích tăng $275c{m^2}$. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {150 > x > y > 0;\,cm} \right)$
Diện tích ban đầu của khu vườn là \(x.y\left( {c{m^2}} \right)\)
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $300$ $(cm)$ nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 300$
Nếu tăng chiều rộng thêm $5cm$ và giảm chiều dài $5cm$ thì diện tích tăng $275c{m^2}$.
Nên ta có phương trình $\left( {x - 5} \right)\left( {y + 5} \right) = xy + 275$
Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 300\\\left( {x - 5} \right)\left( {y + 5} \right) = xy + 275\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\xy + 5x - 5y - 25 = xy + 275\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\5x - 5y = 300\end{array} \right.$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\x - y = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 105\\y = 45\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là $45cm$
Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là $105cm$
Nam có 360 viên bi trong hai hộp. Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng \(\dfrac{5}{7}\) số viên bị ở hộp thứ hai. Hỏi hộp thứ hai có bao nhiêu viên bi?
Gọi số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là \(x,y\) ( \(0 < x,y < 360\), viên).
Vì Nam có 360 viên bi nên ta có phương trình $x + y = 360$ (viên bi)
Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng \(\dfrac{5}{7}\) số viên bị ở hộp thứ hai nên ta có phương trình $x + 30 = \dfrac{5}{7}\left( {y - 30} \right)$
Suy ra hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\x + 30 = \dfrac{5}{7}\left( {y - 30} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\x - \dfrac{5}{7}y = - \dfrac{{360}}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{12}}{7}y = \dfrac{{2880}}{7}\\x + y = 360\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 240\\x = 120\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy số viên bi ở hộp thứ nhất là \(120\) bi, số viên bi ở hộp thứ hai là \(240\) viên bi.
Bốn lớp 6A, 6B, 6C và 6D cùng góp tổng cộng 280 bộ sách để tặng cho các bạn học sinh trong một lớp học tình thương. Các lớp 6A, 6B, 6D góp số bộ sách lần lượt bằng \(\dfrac{5}{9},\dfrac{3}{5},\dfrac{1}{4}\) tổng bộ sách các lớp còn lại. Khi đó số bộ sách mà lớp 6C góp là:
Bước 1:
Gọi bộ sách của các lớp 6A, 6B, 6C, 6D góp lần lượt là \(x,y,z,t\) (bộ) \(\left( {0 < x,y,z,t < 280;x,y,z,t \in \mathbb{N}} \right)\).
Bước 2:
Theo đề bài, 4 lớp góp được 280 bộ sách nên ta có phương trình: \(x + y + z + t = 280\left( 1 \right)\).
Số bộ sách lớp 6A góp được bằng \(\dfrac{5}{9}\) tổng số bộ sách của các lớp còn lại nên ta có phương trình: \(x = \dfrac{5}{9}\left( {y + z + t} \right)\left( 2 \right)\).
Số bộ sách lớp 6B góp được bằng \(\dfrac{3}{5}\) tổng số bộ sách của các lớp còn lại nên ta có phương trình: \(y = \dfrac{3}{5}\left( {x + z + t} \right)\left( 3 \right)\).
Số bộ sách lớp 6D góp được bằng \(\dfrac{1}{4}\) tổng số bộ sách của các lớp còn lại nên ta có phương trình: \(t = \dfrac{1}{4}\left( {x + y + z} \right)\left( 4 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 280\\x = \dfrac{5}{9}\left( {y + z + t} \right)\\y = \dfrac{3}{5}\left( {x + z + t} \right)\\t = \dfrac{1}{4}\left( {x + y + z} \right)\end{array} \right.\)
Bước 3:
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 280\\x = \dfrac{5}{9}.\left( {280 - x} \right)\\y = \dfrac{3}{5}\left( {280 - y} \right)\\t = \dfrac{1}{4}.\left( {280 - t} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 280\\9x = 1400 - 5x\\5y = 840 - 3y\\4t = 280 - t\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 280\\x = 100\left( {tm} \right)\\y = 105\left( {tm} \right)\\t = 56\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x = 280 - 100 - 105 - 56 = 19\left( {tm} \right)\)
Vậy số bộ sách mà lớp 6C góp là 19 bộ.
Trên một cánh đồng cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$ tấn thóc. Hỏi năng suất lúa cũ trên $1$ ha là bao nhiêu, biết rằng $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$ tấn.
Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên $1$ ha lần lượt là $x;y\,\,\left( {x,y > 0} \right),$ đơn vị: tấn/ha
Vì cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$ tấn thóc nên ta có
$50x + 30y = 410$
Vì $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$ tấn nên ta có phương trình
$5x - 6y = 0,5$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x - 6y = 0,5\\50x + 30y = 410\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - 6y = 0,5\\5x + 3y = 41\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9y = 40,5\\5x + 3y = 41\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4,5\\x = 5,5\end{array}(tm) \right.$
Vậy năng suất lúa cũ trên $1$ ha là $4,5$ tấn.
Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia một cuộc thi. Biết trường A có $75\% $ học sinh đạt, trường 2 có $60\% $ đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt. Số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là:
Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là x (học sinh) $(x \in N^*,x < 300)$;
số học sinh của trường thứ 2 dự thi là y (học sinh) $(y \in N^*;\,\,y < 300)$.
Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia cuộc thi nên ta có phương trình: $x + y = 300\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Trường A có 75% học sinh đạt, trường 2 có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt, ta có: $\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 300\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{60}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 180\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15}}{{100}}x = 27\\x + y = 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 180\\y = 120\end{array} (tm)\right.$
Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là 180 học sinh; số học sinh của trường thứ 2 dự thi là 120 học sinh.
