Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi số cần tìm là $\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb N},\,a,b \le 9.$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là $\overline {ba}$

Ta có hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l}\overline {ba}  - \overline {ab}  = 18\\\overline {ba}  + \overline {ab}  = 66\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\overline {ab}  = 48\\\overline {ba}  + \overline {ab}  = 66\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overline {ab}  = 24\\\overline {ba}  = 42\end{array} \right.\,$(thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là $24$  nên tổng các chữ số là $2 + 4 = 6$.

Gọi số cần tìm là $\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*};a,b \le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là $\overline {ba}$

Ta có hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 6\\\overline {ba}  = \dfrac{{13}}{{31}}\overline {ab} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 6\\b.10 + a = \dfrac{{13}}{{31}}\left( {a.10 + b} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 6\\310b + 31\left( {b + 6} \right) = 130\left( {b + 6} \right) + 13b\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 6\\198b = 594\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = 9\end{array} \right.$(thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là $93$ nên tích các chữ số là $9.3 = 27$.

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là $x,y$ ($x > 0,y > 2;$ đơn vị : giờ).

Quãng đường AB là $52x\,(km)$, quãng đường BC là $42y\,(km)$ mà tổng quãng đường 272km nên ta có phương trình $52x+42y=272$

Vì thời gian đi quãng đường AB ít hơn thời gian đi quãng đường BC là 2 giờ nên ta có phương trình $y-x=2$

Từ đó ta có hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l}52.x + 42.y = 272\\y - x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\52x + 42\left( {x + 2} \right) = 272\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\94x = 188\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array}(tm) \right.$

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $2$ giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường $BC$ là $4$  giờ.

Gọi vận tốc lúc đầu của xe là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}};x > 10} \right)$, thời gian theo dự định là $y\,\left( {y > 3} \right)$ (giờ)

Quãng đường xe đi được là: $x.y$ (km)

Nếu xe chạy mỗi giờ  nhanh hơn $10\,km$ thì đến nơi sớm hơn dự định $1$  giờ nên ta có phương trình

$\left( {x + 10} \right)\left( {y - 1} \right) = xy$

Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ $5\,km$  thì đến nơi chậm mất  $2$  giờ nên ta có phương trình

$\left( {x - 5} \right)\left( {y + 2} \right) = xy$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 10} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\\\left( {x - 5} \right)\left( {y + 2} \right) = xy\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy - x + 10y - 10 = xy\\ xy + 2x - 5y - 10 = xy \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 10y = 10\\2x - 5y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 2\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy vận tốc ban đầu là $10\,{\rm{km/h}}$.

Gọi vận tốc thực của canô là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > 0} \right)$, vận tốc dòng nước là $y\,\,\left( {{\rm{km/h}},0 < y < x} \right)$

Vận tốc cano khi xuôi dòng là $x + y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$, vận tốc cano khi ngược dòng là $x - y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Canô đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được $380\,km$ nên ta có phương trình : $3\left( {x + y} \right) + 4\left( {x - y} \right) = 380$

Canô xuôi dòng trong  1 giờ và ngược dòng trong vòng 30 phút được $85\,km$nên ta có phương trình

$x + y + \dfrac{1}{2}\left( {x - y} \right) = 85$

Ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + y} \right) + 4\left( {x - y} \right) = 380\\x + y + \dfrac{1}{2}\left( {x - y} \right) = 85\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 3y - 4x - 4y = 380\\ 2x + 2y + x - y = 170 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - y = 380\\3x + y = 170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10x = 550\\3x + y = 170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 55\\y = 5\end{array} \right.$ ( thỏa mãn)

Vậy vận tốc dòng nước là $5\,{\rm{km/h}}$

Bước 1:

Gọi các cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là $x,y\left( {xm} \right),\left( {x,y > 3} \right)$.

Bước 2:

Vì khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tăng $17c{m^2}$ nên ta có phương trình:

$\dfrac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \dfrac{1}{2}xy + 17\left( 1 \right)$

Vì nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh 3cm, một cạnh 1cm thì diện tích sẽ giảm $11c{m^2}$ nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \dfrac{1}{2}xy - 11\left( 2 \right)$

Bước 3:

Từ (1) và (2) ta được hệ:

 $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\x - 3y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 5\end{array} \right.$

Bước 4:

Theo định lý Py-ta-go ta có:

Cạnh huyền của tam giác là $\sqrt {{5^2} + {{10}^2}}  = 5\sqrt 5 cm$

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $x,y\,\,\,\left( {{\rm{km/h}},\,\,x > 5,y > 0} \right)$

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau  là $3x$ $\left( {km} \right)$

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là $3y\,\,\left( {km} \right)$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 225\\x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 225\\3x - 3y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x = 240\\x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 35\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy  vận tốc của người thứ nhất là $40\,\,\left( {{\mathop{\rm km}\nolimits} /h} \right)$.

Bước 1:

Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là $x$ (giờ), $x > 16$.

Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là $y$ (giờ), $y > 16$.

Bước 2:

Lượng công việc người thứ nhất và người thứ hai làm trong 1 giờ lần lượt là:

$\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y}$ (công việc).

Vì hai người làm chung trong 16 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}$  (1)

Sau 3 giờ người thứ nhất làm được $3.\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{x}$ (công việc).

Sau 6 giờ người thứ hai làm được $\dfrac{6}{y}$ (công việc).

Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ và họ làm xong 25% công việc nên ta có phương trình: $\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{4}$   (2).

Bước 3:

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 48\end{array} \right.$

Bước 4:

Vậy thời gian để người thứ nhất làm xong công việc là 24 giờ, người thứ hai là 48 giờ.

Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là $x,y\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > y > 0;x > 10} \right)$

Vì  khách du lịch đi trên ôtô $5$  giờ, sau đó đi tiếp bằng xe máy trong $3$  giờ được quãng đường dài $330\,km$ nên  ta có phương trình $5x + 3y = 330$

Và mỗi giờ ô tôt đi nhanh hơn xe máy $10\,km$ nên ta có phương trình $x - y = 10$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\5x + 3y = 330\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\5\left( {y + 10} \right) + 3y = 330\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8y = 280\\x = y + 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 35\\x = 45\end{array} (tm)\right.$

Vậy vận tốc ô tô là $45\,\,{\rm{km/h}}.$

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h), thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) (x; y > 1,5).

Mỗi giờ vòi 1 chảy được $\dfrac{1}{x}$ (bể), vòi 2 chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể nên cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ bể

Hai vòi cùng chảy thì sau 1,5h sẽ đầy bể nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$

Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong $\dfrac{1}{3}$  h thì được $\dfrac{1}{5}$  bể nên ta có phương trình:

$\dfrac{{0,25}}{x} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{{4x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{3x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{2}{9}\\\dfrac{1}{{4x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{12x}} = \dfrac{1}{{45}}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x = 45\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{15}}{4} = 3,75\\y = \dfrac{5}{2} = 2,5\end{array} (tm)\right.$

Vậy thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 2,5 h.

Gọi thời gian $A,B$ làm một mình xong công việc lần lượt là $x,y$ ($y > x > 0;y > 12$ , đơn vị : ngày).

Mỗi ngày các bạn $A,B$ lần lượt làm được $\dfrac{1}{x}$và $\dfrac{1}{y}$(công việc ).

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $8$ ngày nên ta có : 

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{8}$   (1)

Do làm một mình xong công việc thì $A$ làm nhanh hơn $B$ là $12$  ngày nên ta có phương trình :

$y - x = 12$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{8}\\y - x = 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 12\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 12}} = \dfrac{1}{8}\left( * \right)\end{array} \right.$

Giải (*) : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 12}} = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow \dfrac{{8\left( {x + 12} \right) + 8x}}{{8x\left( {x + 12} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x + 12} \right)}}{{8x\left( {x + 12} \right)}} \Rightarrow 16x + 96 = {x^2} + 12x$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 8x - 12x - 96 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) - 12\left( {x + 8} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( N \right)\\x =  - 8\left( L \right)\end{array} \right.$

Với $x = 12 \Rightarrow y = x + 12 = 24.$

Vậy $B$ hoàn thành cả công việc trong $24$ ngày.

Suy ra sau khi $A$ làm một mình xong $\dfrac{1}{3}$  công việc rồi nghỉ$,B$ hoàn thành $\dfrac{2}{3}$ công việc còn lại trong $\dfrac{2}{3}.24 = 16$ ngày.

Bước 1:

Gọi chữ số cần tìm là $\overline {xy} \left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};1 \le x,y \le 9} \right)$.

Bước 2:

Vì tổng của hai chữ số nhỏ hơn số đó 6 lần nên ta có phương trình:

$6\left( {x + y} \right) = \overline {xy}$$\Leftrightarrow 6x + 6y = 10x + y \Leftrightarrow 4x = 5y$(1)

Vì nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số theo thứ tự ngược lại với số đã cho nên ta có phương trình: $x.y + 25 = \overline {yx}  \Leftrightarrow xy + 25 = 10y + x$    (2)

Bước 3:

Từ (1) và (2) ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}4x = 5y\\xy + 25 = 10y + x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4x}}{5}\\x.\dfrac{{4x}}{5} + 25 = 9x\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4x}}{5}\\4{x^2} - 45x + 125 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{4x}}{5}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{24}}{5}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 5\end{array} \right.$

Bước 4:

Vậy số cần tìm là 54.

Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ nhất là $x$ (tấn) $(x > 0)$

Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ hai là $y$ (tấn) $(y > 0)$.

Năm ngoài, cả 2 cánh đồng thu hoạch được 500 tấn thóc nên ta có phương trình: $x + y = 500\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$

Năm nay, lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20% nên ta có phương trình:

$x + \dfrac{{30}}{{100}}x + y + \dfrac{{20}}{{100}}y = 630 \\\Leftrightarrow \dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{120}}{{100}}y = 630\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{120}}{{100}}y = 630\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{120}}{{100}}x + \dfrac{{120}}{{100}}y = 600\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{120}}{{100}}y = 630\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{10}}{{100}}x = 30\\x + y = 500\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\x + y = 500\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 200\end{array} (tm)\right.$

Vậy lượng lúa thu được năm nay của cánh đồng thứ nhất là $300.1,3 = 390$ (tấn);

lượng lúa thu được năm nay của cánh đồng thứ hai là $200.1,2 = 240$ (tấn).

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là $x$ (sản phẩm);

số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là $y$ (sản phẩm) $\left( {x,y \in {N^*}} \right)$.

Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 1200\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$

Tháng thứ 2 tổ I vượt mức 30% và tổ II giảm  mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm, ta có: $x + \dfrac{{30}}{{100}}x + y - \dfrac{{22}}{{100}}y = 1300 \\\Leftrightarrow \dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1200\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{78}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 936\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{52}}{{100}}x = 364\\x + y = 1200\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 700\\x + y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 700\\y = 500\end{array}(tm) \right.$

Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được $500.78:100 = 390$  sản phẩm.

Gọi chiều cao của tấm bìa là $h$, cạnh đáy tương ứng của tấm bìa là $a$. $\left( {h,a \in {N^*},dm} \right)$;$\left( {a > 2} \right)$

Diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}ah$ ($d{m^2}$)

Vì chiều cao bằng   $\dfrac{1}{4}$  cạnh đáy nên ta có phương trình $h = \dfrac{1}{4}a$

Nếu chiều cao tăng thêm $2dm$  và cạnh đáy giảm đi $2dm$   thì diện tích của nó tăng thêm $2,5{dm^2}$

Nên ta có hương trình  $\dfrac{1}{2}\left( {h + 2} \right)\left( {a - 2} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 2,5$

Ta có hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{1}{4}a\\\dfrac{1}{2}\left( {h + 2} \right)\left( {a - 2} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 2,5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{1}{4}a\\ - 2h + 2a - 4 = 5\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{1}{4}a\\ - 2.\dfrac{1}{4}a + 2a = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\h = 1,5\end{array} (tm)\right.$

Vậy chiều cao và cạnh đáy của tấm bìa lần lượt là $1,5dm$  và $6dm$ .

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {150 > x > y > 0;\,cm} \right)$

Diện tích ban đầu của khu vườn là $x.y\left( {c{m^2}} \right)$

Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $300$ $(cm)$ nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 300$

Nếu tăng chiều rộng thêm $5cm$ và giảm chiều dài $5cm$ thì diện tích tăng $275c{m^2}$.

Nên ta có phương trình $\left( {x - 5} \right)\left( {y + 5} \right) = xy + 275$

Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 300\\\left( {x - 5} \right)\left( {y + 5} \right) = xy + 275\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\xy + 5x - 5y - 25 = xy + 275\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\5x - 5y = 300\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 150\\x - y = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 105\\y = 45\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là $45cm$

Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là $105cm$

Gọi số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là $x,y$ ( $0 < x,y < 360$, viên).

Vì Nam có 360 viên bi nên ta có phương trình $x + y = 360$ (viên bi)

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng $\dfrac{5}{7}$ số viên bị ở hộp thứ hai nên ta có phương trình $x + 30 = \dfrac{5}{7}\left( {y - 30} \right)$

Suy ra  hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\x + 30 = \dfrac{5}{7}\left( {y - 30} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\x - \dfrac{5}{7}y =  - \dfrac{{360}}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{12}}{7}y = \dfrac{{2880}}{7}\\x + y = 360\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 240\\x = 120\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy số viên bi ở hộp thứ nhất là $120$ bi, số viên bi ở hộp thứ hai là $240$ viên bi.

Bước 1:

Gọi bộ sách của các lớp 6A, 6B, 6C, 6D góp lần lượt là $x,y,z,t$ (bộ) $\left( {0 < x,y,z,t < 280;x,y,z,t \in \mathbb{N}} \right)$.

Bước 2:

Theo đề bài, 4 lớp góp được 280 bộ sách nên ta có phương trình: $x + y + z + t = 280\left( 1 \right)$.

Số bộ sách lớp 6A góp được bằng $\dfrac{5}{9}$ tổng số bộ sách của các lớp còn lại nên ta có phương trình: $x = \dfrac{5}{9}\left( {y + z + t} \right)\left( 2 \right)$.

Số bộ sách lớp 6B góp được bằng $\dfrac{3}{5}$ tổng số bộ sách của các lớp còn lại nên ta có phương trình: $y = \dfrac{3}{5}\left( {x + z + t} \right)\left( 3 \right)$.

Số bộ sách lớp 6D góp được bằng $\dfrac{1}{4}$ tổng số bộ sách của các lớp còn lại nên ta có phương trình: $t = \dfrac{1}{4}\left( {x + y + z} \right)\left( 4 \right)$.

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ ta được hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 280\\x = \dfrac{5}{9}\left( {y + z + t} \right)\\y = \dfrac{3}{5}\left( {x + z + t} \right)\\t = \dfrac{1}{4}\left( {x + y + z} \right)\end{array} \right.$

Bước 3:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 280\\x = \dfrac{5}{9}.\left( {280 - x} \right)\\y = \dfrac{3}{5}\left( {280 - y} \right)\\t = \dfrac{1}{4}.\left( {280 - t} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 280\\9x = 1400 - 5x\\5y = 840 - 3y\\4t = 280 - t\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 280\\x = 100\left( {tm} \right)\\y = 105\left( {tm} \right)\\t = 56\left( {tm} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow x = 280 - 100 - 105 - 56 = 19\left( {tm} \right)$

Vậy số bộ sách mà lớp 6C góp là 19 bộ.

Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên $1$ ha lần lượt là $x;y\,\,\left( {x,y > 0} \right),$ đơn vị: tấn/ha

Vì cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$  ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$  tấn thóc nên ta có

$50x + 30y = 410$

 Vì $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$  tấn nên ta có phương trình

$5x - 6y = 0,5$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x - 6y = 0,5\\50x + 30y = 410\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - 6y = 0,5\\5x + 3y = 41\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9y = 40,5\\5x + 3y = 41\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4,5\\x = 5,5\end{array}(tm) \right.$

Vậy năng suất  lúa cũ trên $1$  ha là $4,5$ tấn.

Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là x (học sinh) $(x \in N^*,x < 300)$;

số học sinh của trường thứ 2 dự thi là y (học sinh) $(y \in N^*;\,\,y < 300)$.

Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia cuộc thi nên ta có phương trình: $x + y = 300\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$

Trường A có 75% học sinh đạt, trường 2 có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt, ta có: $\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 300\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{60}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 180\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15}}{{100}}x = 27\\x + y = 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 180\\y = 120\end{array} (tm)\right.$

Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là 180 học sinh; số học sinh của trường thứ 2 dự thi là 120 học sinh.