Một mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi bằng $34$ m. Đường chéo hình chữ nhật dài $26$ m. Tính chiều dài mảnh đất hình chữ nhật.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {34 > x > y > 0;\,m} \right)$
Vì khu vườn hình chữ nhật có nửa chu vi bằng $34$ $m$nên ta có $x + y = 34$
Đường chéo hình chữ nhật dài $26$$m$ nên ta có phương trình ${x^2} + {y^2} = {26^2}$
Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 34\\{x^2} + {y^2} = 676\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 34 - x\\{x^2} + {\left( {34 - x} \right)^2} = 676\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$
Giải phương trình $\left( 1 \right)$ ta được
$2{x^2} - 68x + 480 = 0 \\\Leftrightarrow {x^2} - 34x + 240 = 0 \\\Leftrightarrow {x^2} - 10x - 24x + 240 = 0$
$ \Leftrightarrow x\left( {x - 10} \right) - 24\left( {x - 10} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x - 24} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10 \Rightarrow y = 24\,\left( L \right)\\x = 24 \Rightarrow y = 10\,\,\left( N \right)\end{array} \right.$
Vậy chiều dài mảnh đất ban đầu là $24\,\,m$.
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được \(610\) sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm \(10\%,\) tổ B tăng thêm \(14\%\) so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được \(681\) sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Vì trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được \(610\) sản phẩm nên ta có phương trình \(x + y = 610\) (sản phẩm)
Trong quý II:
Tổ A tăng thêm \(10\%\) so với quý I nên tổ A sản xuất được \(\left( {1 + 10\% } \right)x = 1,1x\) sản phẩm
Tổ B tăng thêm \(14\%\) so với quý I nên tổ B sản xuất được \(\left( {1 + 14\% } \right)x = 1,14y\) sản phẩm
Và cả 2 tổ sản xuất được \(681\) sản phẩm nên ta có phương trình \(1,1x + 1,14y = 681\) (sản phẩm)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 610\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 671\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,04y = 10\\x + y = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\\250 + x = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 360\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy trong quý I, tổ A sản xuất được \(360\) sản phẩm, tổ B sản xuất được \(250\) sản phẩm.
Theo kế hoạch, trong tháng 3 năm 2020 hai tổ phải may 1500 chiếc khẩu trang để phục vụ cho công tác phòng, chống dịch Covid-19. Nhưng thực tế tổ I đã may vượt mức 10%; tổ II may vượt mức 12% nên cả hai tổ đã may được 1664 chiếc khẩu trang. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải may bao nhiêu chiếc khẩu trang?
Gọi số khẩu trang theo kế hoạch tổ I may là x (chiếc), \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 1500} \right)\)
Gọi số khẩu trang theo kế hoạch tổ II may là y (chiếc) \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},y < 1500} \right)\)
Hai tổ phải may 1500 chiếc khẩu trang nên \(x + y = 1500\) (1)
Tổ I may vượt mức 10% nên thực tế may được \(x + 10\% x = x + 0,1x = 1,1x\) (chiếc)
Tổ II may vượt mức 12% nên thực tế may được \(y + 12\% y = y + 0,12y = 1,12y\) (chiếc)
Thực tế cả hai tổ may được 1664 chiếc khẩu trang nên \(1,2x + 1,12y = 1664\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1500\\1,1x + 1,12y = 1664\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 1650\\1,1x + 1,12y = 1664\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,02y = 14\\x + y = 1500\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 700\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 800\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy theo kế hoạch, tổ I phải may 800 chiếc khẩu trang; tổ II phải may 700 chiếc khẩu trang.
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng ba lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục \(7\) đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) lớn hơn số cũ \(9\) đơn vị.
Gọi chữ số hàng đơn vị và hàng chục của số cần tìm là \(x\) và \(y\)\(\left( {x,y \in \mathbb{N}*,\,\,\,x,y \le 9} \right).\)
Ba lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 7 đơn vị nên ta có phương trình: \(3x - y = 7\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Số cũ có dạng \(10y + x\)
Sau khi viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại ta được số mới có dạng \(10x + y\)
Số mới (có hai chữ số) lớn hơn số cũ 9 đơn vị nên ta có phương trình:
\(10x + y - \left( {10y + x} \right) = 9 \Leftrightarrow 9x - 9y = 9 \Leftrightarrow x - y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 7\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - \left( {x - 1} \right) = 7\\y = x - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - x + 1 = 7\\y = x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 3 - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy số cần tìm là \(23.\)
Cho một số có hai chữ số . Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho
là $63$. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $99$. Tổng các chữ số của số đó là
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)
Ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}\overline {ba} - \overline {ab} = 63\\\overline {ba} + \overline {ab} = 99\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\overline {ab} = 36\\\overline {ba} + \overline {ab} = 99\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overline {ab} = 18\\\overline {ba} = 81\end{array} \right.\,\)(thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là $18$ nên tổng các chữ số là $1 + 8 = 9$.
Một ca nô chạy xuôi dòng sông từ \(A\) đến \(B\) rồi chạy ngược dòng từ \(B\) về \(A\) hết tất cả \(7\) giờ \(30\) phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết quãng đường sông \(AB\) dài \(54{\rm{ km}}\) và vận tốc dòng nước là \(3{\rm{ km/h}}\).
Đổi \(7\) giờ \(30\) phút = \(\dfrac{{15}}{2}\) (h)
Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right),{\rm{ }}x > 3.\)
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: \(\;x + 3{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Vận tốc của ca nô khi nược dòng sông từ B về A là: \(x - 3{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Thời gian của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: \(\dfrac{{54}}{{x + 3}}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\)
Thời gian của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: \(\dfrac{{54}}{{x - 3}}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\)
Do ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7 giờ 30 phút nên ta có phương trình: \(\dfrac{{54}}{{x + 3}} + \dfrac{{54}}{{x - 3}} = \dfrac{{15}}{2}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{54}}{{x + 3}} + \dfrac{{54}}{{x - 3}} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow 54\dfrac{{x - 3 + x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{5}{{36}} \Leftrightarrow 72x = 5{x^2} - 45\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 72x - 45 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} - 75x + 3x - 45 = 0\\ \Leftrightarrow 5x\left( {x - 15} \right) + 3\left( {x - 15} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 15} \right)\left( {5x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{3}{5}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy vận tốc thực của ca nô là \(15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)
Hai trường THCS có tất cả \(450\) học sinh dự thi vào trường THPT Nguyễn Huệ với tỉ lệ trúng tuyển là \(75\% \)và \(60\% \). Tính số học sinh dự thi của mỗi trường biết tích số học sinh trúng tuyển của hai trường là \(21870\) học sinh.
Gọi số học sinh dự thi của hai trường lần lượt là \(x;\,\,y\) (học sinh), \(\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,x,\,\,y < 450} \right).\)
Tổng số học sinh dự thi của hai trường là \(450\) học sinh nên ta có: \(x + y = 450\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì số học sinh trúng tuyển có tỉ lệ là\(75\% \)và \(60\% \)nên số học sinh trúng tuyển của mỗi trường lần lượt là: \(0,75x\) và \(0,6y\) (học sinh).
Tích số học sinh trúng tuyển của hai trường là \(21870\) học sinh nên ta có phương trình:
\(0,75x.0,6y = 21870 \Leftrightarrow xy = 48600\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\xy = 48600\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 450 - y\\\left( {450 - y} \right)y = 48600\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Rightarrow 450y - {y^2} = 48600\\ \Rightarrow {y^2} - 450y + 48600 = 0\\ \Rightarrow \left( {y - 180} \right)\left( {y - 270} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 180 = 0\\y - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 180\,\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow x = 270\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 270\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow x = 180\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy số học sinh mỗi trường dự thi là \(270\) học sinh và \(180\) học sinh.
Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm \(2m\), chiều dài giảm đi \(2m\) thì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm \(30{m^2}\); và nếu chiều rộng giảm đi \(2m\), chiều dài tăng thêm \(5m\) thì diện tích thửa ruộng giảm đi \(20{m^2}\). Tính diện tích thửa ruộng trên.
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right)\,\,\,\left( {x > 2} \right)\)
Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(y\,\,\left( m \right)\,\,\,\left( {y > x > 2} \right).\)
Diện tích thửa ruộng ban đầu là \(xy\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\)
Khi chiều rộng tăng thêm \(2m\), chiều dài giảm đi \(2m\) thì diện tích thửa ruộng tăng thêm \(30{m^2}\) nên ta có:
\(\left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy + 30 \Leftrightarrow - 2x + 2y = 34\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Khi chiều rộng giảm đi \(2m\), chiều dài tăng thêm \(5m\) thì diện tích thửa ruộng giảm đi \(20{m^2}\) nên ta có \(\left( {x - 2} \right)\left( {y + 5} \right) = xy - 20 \Leftrightarrow 5x - 2y = - 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = 34\\5x - 2y = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + y = 17\\3x = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 25\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Diện tích thửa ruộng ban đầu là \(25.8 = 200\,\,{m^2}.\)
Có 2 loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.
Gọi khối lượng quặng chứa \(75\% \) sắt đem trộn là \(x\) tấn.
Gọi khối lượng quặng chứa \(50\% \) sắt đem trộn là \(y\) tấn, \(\left( {x,y > 0} \right).\)
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\75\% x + 50\% y = 66\% .25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 12,5\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,25x = 4\\x + y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 9\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là 16 tấn.
Một dung dịch loại 1 chứa 30% axit A và 1 dung dịch khác loại 2chứa 55% axit A. Cần trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100 lít dung dịch 50% axit A?
Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số lít dung dịch loại 1 và loại 2 cần trộn \(\left( {0 < x,y < 100} \right).\)
Theo đề bài ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\30\% x + 55\% y = 50\% (x + y)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\0,3x + 0,55y = 0,5x + 0,5y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\0,2x - 0,05y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,05x + 0,05y = 5\\0,2 - 0,05y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\x + y = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 80\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy dung dịch 1 cần trộn 20 lít và dung dịch 2 cần trộn 80 lít.
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \(360{m^2}.\) Nếu tăng chiều rộng \(2m\) và giảm chiều dài \(6m\) thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chu vi của mảnh đất lúc đầu.
Gọi chiều rộng của mảnh đất đã cho là \(x\;\left( m \right),\;\;\left( {0 < x < 360} \right).\)
Gọi chiều dài của mảnh đất đã cho là: \(y\;\left( m \right),\;\;\left( {6 < y < 360,\;y > x} \right).\)
Khi đó ta có diện tích của mảnh đất là: \(xy = 360\;\;\;\left( 1 \right).\)
Tăng chiều rộng thêm \(2m\) thì chiều rộng mới là: \(x + 2\;\;\left( m \right).\)
Giảm chiều dài đi \(6m\) thì chiều dài mới là: \(y - 6\;\;\left( m \right).\)
Khi đó diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình: \(\left( {x + 2} \right)\left( {y - 6} \right) = xy \Leftrightarrow 2y - 6x - 12 = 0\;\;\;\;\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 360\\2y - 6x - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 360\\y = 3x + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {3x + 6} \right) = 360\\y = 3x + 6\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 6x - 360 = 0\\y = 3x + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 10\;\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = - 12\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\y = 3.10 + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 36\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy chu vi của mảnh vườn lúc đầu là: \(\left( {10 + 36} \right).2 = 92m.\)
Trong kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2019, tổng chi tiêu tuyển sinh của Trường THPT A và Trường THPT B là 900 học sinh. Do cả hai trường đều có chất lượng giáo dục rất tốt nên sau khi hết thời gian điều chỉnh nguyện vọng thì số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển vào trường THPT A và THPT B tăng lần lượt là 15% và 10% so với chỉ tiêu ban đầu. Vì vậy, tổng số thí sinh đăng ký dự tuyển của cả hai trường là 1010. Hỏi số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển của mỗi trường đăng là bao nhiêu?
Gọi số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển theo chỉ tiêu của trường THPT A là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},x < 900} \right).\)
Số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển theo chỉ tiêu của trường THPT B là \(y\) (học sinh) \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*},y < 900} \right).\)
Do tổng chi tiêu tuyển sinh của trường THPT A và THPT B là 900 học sinh nên ta có phương trình:
\(x + y = 900\) (1)
Sau khi hết thời gian điều chỉnh nguyện vọng thì số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển vào trường THPT A là: \(115\% x\) (học sinh).
Sau khi hết thời gian điều chỉnh nguyện vọng thì số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển vào trường THPT B là: \(110\% x\) (học sinh).
Khi đó tổng số học sinh đăng ký dự tuyển cả hai trường là 1010 học sinh nên ta có phương trình:
\(115\% x + 110\% y = 1010\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x + y = 900\\\dfrac{{115}}{{100}}x + \dfrac{{110}}{{100}}y = 1010\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 900\\115x + 110y = 101000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}110x + 110y = 99000\\115x + 110y = 101000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 2000\\x + y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 500\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy số lượng học sinh đăng ký dự tuyển vào trường THPT A là \(115\% .400 = 460\) học sinh; trường THPT B là \(1010 - 460 = 550\) học sinh.
Năm học 2019 – 2020, bạn An trúng tuyển vào lớp 10 trường THPT X. Để chuẩn bị cho năm học mới, lúc đầu An dự định mua 30 quyển tập và 10 cây viết cùng loại với tổng số tiền phải trả là 340 nghìn đồng. Tuy nhiên, vì đạt danh hiệu học sinh giỏi nên An được nhận phiếu giảm giá 10% với tập và 5% với viết, do đó An quyết định mua 50 quyển tập và 20 cây viết với tổng số tiền phải trả sau giảm giá là 526 nghìn đồng. Hỏi giá tiền mỗi quyển tập và mỗi cây viết là bao nhiêu?
Gọi số tiền 1 quyển tập lúc chưa giảm giá là \(x\) (nghìn đồng) \(\left( {x > 0} \right).\)
Gọi số tiền 1 cây viết lúc chưa giảm giá là \(y\) (nghìn đồng) \(\left( {y > 0} \right).\)
Lúc đầu, An dự định mua 30 quyển tập và 10 cây viết hết 340 nghìn đồng nên ta có phương trình:
\(30x + 10y = 340\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
Số tiền mua 1 quyển tập sau khi được giảm giá \(10\% \) là: \(x - x.10\% = 90\% x\) (nghìn đồng)
Số tiền mua 1 cây viết sau được khi giảm \(5\% \) là: \(y - y.5\% = 95\% y\) (nghìn đồng).
An mua 50 quyển tập và 20 cây viết với giá đã được giảm hết 526 nghìn đồng nên ta có phương trình:
\(50.90\% x + 20.95\% y = 526 \Leftrightarrow 45x + 19y = 526\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y = 340\\45x + 19y = 526\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 34\\45x + 19y = 526\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}45x + 15y = 510\\45x + 19y = 526\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4y = 16\\3x + y = 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\3x + 4 = 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy lúc chưa giảm giá, mỗi quyển tập là 10 nghìn đồng và mỗi cây bút là 4 nghìn đồng.
Cho một mảnh vườn hình chữ nhật. Biết rằng nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì diện tích mảnh vườn đó giảm đi \(54{m^2}\) so với diện tích ban đầu, nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích mảnh vườn đó tăng \(32{m^2}\) so với diện tích ban đầu. Tính chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn đó?
Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là: \(x\;\left( m \right),\left( {x > 3} \right).\)
Chiều dài ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là: \(y\left( m \right),\;\left( {y > 4,\;y > x} \right).\)
Khi đó ta có diện tích ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật là: \(xy\left( {{m^2}} \right)\)
Chiều rộng sau khi giảm đi 3m là: \(x - 3\left( m \right)\)
Chiều dài sau khi tăng thêm 8m là \(y + 8\left( m \right)\)
Khi đó diện tích sau khi giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 8m là: \(\left( {x - 3} \right)\left( {y + 8} \right)\left( {{m^2}} \right)\) và diện tích mảnh vườn giảm \(54{m^2}\) so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình: \(xy - \left( {x - 3} \right)\left( {y + 8} \right) = 54\,\,\,\left( 1 \right)\)
Chiều rộng sau khi tăng thêm 2m là: \(x + 2\left( m \right)\)
Chiều dài sau khi giảm đi 4m là \(y - 4\left( m \right)\)
Khi đó diện tích sau khi tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 4m là: \(\left( {x + 2} \right)\left( {y - 4} \right)\left( {{m^2}} \right)\) và diện tích mảnh vườn tăng \(32{m^2}\) so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình: \(xy + 32 = \left( {x + 2} \right)\left( {y - 4} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy - \left( {x - 3} \right)\left( {y + 8} \right) = 54\,\,\\xy + 32 = \left( {x + 2} \right)\left( {y - 4} \right)\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - \left( {xy + 8x - 3y - 24} \right) = 54\,\,\\xy + 32 = xy - 4x + 2y - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8x + 3y = 30\,\,\\2x - y = - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15\,\,\\y = 50\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 15m và chiều dài của mảnh vườn là 50m.
Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết 4h 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Vận tốc của dòng nước là:
Gọi vận tốc thực của thuyền và vận tốc của dòng nước lần lượt là \(x,\,\,\,y\,\,\left( {km/h} \right),\,\,\,\left( {0 < x < y} \right).\)
\( \Rightarrow \) Vận tốc của thuyền khi nước xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là: \(x + y\,\,\,\left( {km/h} \right),\,\,\,\,x - y\,\,\,\left( {km/h} \right).\)
\( \Rightarrow \) Thời gian thuyền đi xuôi dòng và ngược dòng hết \(40km\) lần lượt là: \(\dfrac{{40}}{{x + y\,}}\,\,\,\left( h \right),\,\,\,\,\dfrac{{40}}{{x - y}}\,\,\,\,\left( h \right).\)
Chiếc thuyền đã đi xuôi dòng và ngược dòng khúc sông dài \(40km\) hết 4 giờ 30 phút \( = \dfrac{9}{2}\) giờ nên ta có phương trình: \(\dfrac{{40}}{{x + y}} + \dfrac{{40}}{{x - y}} = \dfrac{9}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Thời gian thuyền xuôi dòng \(5km\) là: \(\dfrac{5}{{x + y}}\,\,\,\left( h \right).\)
Thời gian thuyền ngược dòng \(4km\) là: \(\dfrac{4}{{x - y}}\,\,\,\left( h \right).\)
Khi đó ta có phương trình: \(\dfrac{5}{{x + y}} = \dfrac{4}{{x - y}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{40}}{{x + y}} + \dfrac{{40}}{{x - y}} = \dfrac{9}{2}\\\dfrac{5}{{x + y}} = \dfrac{4}{{x - y}}\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + y}} = a\\\dfrac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right..\) Khi đó ta có hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = \dfrac{9}{2}\\5a = 4b\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = \dfrac{9}{2}\\50a - 40b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}90a = \dfrac{9}{2}\\b = \dfrac{5}{4}a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{20}}\\b = \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + y}} = \dfrac{1}{{20}}\\\dfrac{1}{{x - y}} = \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 20\\x - y = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 36\\y = x - 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 18\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy vận tốc của dòng nước là: \(2\,km/h.\)
Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $5$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\dfrac{3}{8}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)
Ta có hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ba} = \dfrac{3}{8}\overline {ab} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\b.10 + a = \dfrac{3}{8}\left( {a.10 + b} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\80b + 8\left( {b + 5} \right) = 30\left( {b + 5} \right) + 3b\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\55b = 110\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 7\end{array} \right.$(thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là $72$ nên tích các chữ số là $2.7 = 14$.
Một ô tô đi quãng đường $AB$ với vận tốc $50\,\,km/h$ , rồi đi tiếp quãng đường $BC$ với vận tốc $45km/h.$ Biết quãng đường tổng cộng dài $165\,\,km$ và thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là $30$ phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường $AB$.
Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường $AB$ và $BC$ lần lượt là $x,y$
($x>0;y>0,5$ ; đơn vị : giờ). Ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}50.x + 45.y = 165\\y - x = 0,5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,5\\y = 2\end{array} \right.\) (Thỏa mãn)
Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $1,5$ giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường $BC$ là $2$ giờ.
Trên một cánh đồng cấy $60$ ha lúa giống mới và $40$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $460$ tấn thóc. Hỏi năng suất lúa mới trên $1$ ha là bao nhiêu, biết rằng $3$ ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn $4$ ha trồng lúa cũ là $1$ tấn.
Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên $1$ ha lần lượt là $x;y\,\,\left( {x,y > 0} \right)$ đơn vị: tấn/ha
Vì cấy $60$ ha lúa giống mới và $40$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $460$ tấn thóc nên ta có
$60x + 40y = 460$
Vì $3$ ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn $4$ ha trồng lúa cũ là $1$ tấn nên ta có phương trình
$4y - 3x = 1$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4y - 3x = 1\\60x + 40y = 460\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 30x + 40y = 10\\60x + 40y = 460\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy năng suất lúa mới trên $1$ ha là $5$ tấn.
Một ôtô dự định đi từ \(A\) đến \(B\) trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \(10\,km\) thì đến nơi sớm hơn dự định $3$ giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \(10\,km\) thì đến nơi chậm mất $5$ giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.
Gọi vận tốc lúc đầu của xe là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}};x > 10} \right)$, thời gian theo dự định là $y$ $(y>3)$ (giờ)
Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \(10\,km\) thì đến nơi sớm hơn dự định $3$ giờ nên ta có hương trình
$\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy$
Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \(10\,km\) thì đến nơi chậm mất $5$ giờ nên ta có phương trình
$\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy\\\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 15\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)
Vậy vận tốc ban đầu là $40\,{\rm{km/h}}$.
Một canô chạy trên sông trong $7$ giờ, xuôi dòng \(108\,km\) và ngược dòng \(63\,km\) . Một lần khác cũng trong 7 giờ canô xuôi dòng \(81\,km\) và ngược dòng \(84\,km\) . Tính vận tốc nước chảy.
Gọi vận tốc thực của canô là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > 0} \right)$, vận tốc dòng nước là $y\,\,\left( {{\rm{km/h}},0 < y < x} \right)$
Vận tốc cano khi xuôi dòng là $x + y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$, vận tốc cano khi ngược dòng là $x - y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
Canô chạy trên sông trong $7$ giờ, xuôi dòng \(108\,km\) và ngược dòng \(63\,km\) nên ta có phương trình
$\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7$
Canô chạy trên sông trong $7$ giờ canô xuôi dòng \(81\,km\) và ngược dòng \(84\,km\) nên ta có phương trình
$\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7$
Ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7\\\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{432}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} = 28\\\dfrac{{243}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} = 21\end{array} \right.$\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{432}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} - \left( {\dfrac{{243}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}}} \right) = 28 - 21\\
\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{189}}{{x + y}} = 7\\
\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 27\\
\dfrac{{81}}{{27}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 27\\
\dfrac{{84}}{{x - y}} = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 27\\
x - y = 21
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + x - y = 27 + 21\\
x + y = 27
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x = 48\\
y = 27 - x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 24\\
y = 27 - 24
\end{array} \right.
\end{array}\)
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 3\end{array} \right.$ ( thỏa mãn)
Vậy vận tốc dòng nước là $3\,\,{\rm{km/h}}.$
