Hai người đi xe đạp xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau \(38\,km\) . Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ. Hỏi vận tốc của người thứ nhất, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai \(2\,km\) ?
Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $x,y\,\,\,\left( {{\rm{km/h}},\,\,x,y > 0} \right)$
Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là $2x$ $\left( {km} \right)$
Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là $2y\,\,\left( {km} \right)$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 38\\2x - 2y = 2\end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy vận tốc của người thứ nhất là $10\,\,\left( {{\mathop{\rm km}\nolimits} /h} \right)$.
Một khách du lịch đi trên ôtô $4$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$ giờ được quãng đường dài \(640\,km\). Hỏi vận tốc của tàu hỏa , biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô \(5\,km\) ?
Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là $x,y\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > y > 0; x>5} \right)$
Vì khách du lịch đi trên ôtô $4$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$ giờ được quãng đường dài \(640\,km\) nên ta có phương trình $7x + 4y = 640$
Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô \(5\,km\) nên ta có phương trình $x - y = 5$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\7x + 4y = 640\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\7\left( {y + 5} \right) + 4y = 640\end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 55\\x = 60\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy vận tốc tàu hỏa là $60\,\,{\rm{km/h}}$.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $4$ giờ $48$ phút bể đầy. Nếu vòi I chảy riêng trong $4$ giờ, vòi II chảy riêng trong $3$ giờ thì cả hai vòi chảy được $\dfrac{3}{4}$ bể. Tính thời gian vòi I một mình đầy bể.
Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là $x,y\,\,\left( {x,y > \dfrac{{24}}{5}} \right)$ (đơn vị: giờ)
Mỗi giờ vòi I chảy được $\dfrac{1}{x}$ (bể), vòi II chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể nên cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ bể
Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $4$ giờ $48$ phút $\left( { = \dfrac{{24}}{5}h} \right)$ bể đầy nên ta có phương trình
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}$
Nếu vòi I chảy riêng trong $4$ giờ, vòi II chảy riêng trong $3$ giờ thì cả hai vòi chảy được $\dfrac{3}{4}$ bể nên ta có phương trình $\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{5}{8}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 12\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)
Vậy thời gian vòi I một mình đầy bể là $8\,\,h$.
Hai bạn $A$ và $B$ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $6$ ngày. Hỏi nếu $A$ làm một nửa công việc rồi nghỉ thì $B$ hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì $B$ làm lâu hơn $A$ là $9$ ngày.
Gọi thời gian $A,B$ làm một mình xong công việc lần lượt là $x,y$ ($y>x>6$ , đơn vị : ngày).
Mỗi ngày các bạn $A,B$ lần lượt làm được \(\dfrac{1}{x}\)và \(\dfrac{1}{y}\)(công việc ).
Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $6$ ngày nên ta có :
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}\) (1)
Do làm một mình xong công việc thì $B$ làm lâu hơn $A$ là $9$ ngày nên ta có phương trình :
\(y - x = 9\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
\(\)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}\\y - x = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 18\end{array} \right.\)(thỏa mãn)
Vậy $B$ hoàn thành cả công việc trong $18$ ngày.
Suy ra sau khi $A$ làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ$,B$ hoàn thành công việc còn lại trong $9$ ngày.
Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng $360$ dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp $1$ vượt mức $12\% $ , xí nghiệp $2$ vượt mức $10\% $ , do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng $400$ dụng cụ. Tính số dụng cụ xí nghiệp $2$ phải làm theo kế hoạch
Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ lần lượt là : \(x,y\),
(\(x,y \in {N^*}\) \(x,y < 360\), dụng cụ).
Số dụng cụ xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ làm được khi vượt mức lần lượt là \(112\% x\) và \(110\% y\) ( dụng cụ).
Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.\).
Vậy xí nghiệp $1$ phải làm \(200\) dụng cụ, xí nghiệp $2$ phải làm \(160\) dụng cụ.
Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được $800$ sản phẩm. Sang tháng thứ $2$ , tổ $1$ sản xuất vượt mức $12\% $ , tổ $2$ giảm $10\% $ so với tháng đầu nên cả hai tổ làm được $786$ sản phẩm. Tính số sản phẩm tổ $1$ làm được trong tháng đầu.
Gọi số sản phẩm tổ $1$ và tổ $2$ làm được trong tháng đầu lần lượt là \(x,y\),(\(x,y \in {N^*}\) \(x,y < 800\), sản phẩm).
Số sản phẩm tổ $1$ và tổ $2$ làm được trong tháng hai là $112\% .x$ và $90\% .y$ sản phẩm
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\112\% x + 90\% y = 786\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 800 - y\\112\% \left( {800 - y} \right) + 90\% .y = 786\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 500\\x = 300\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy số sản phẩm tổ $1$ làm được trong tháng đầu là \(300\) sản phẩm.
Một tam giác có chiều cao bằng $\dfrac{3}{4}$ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm $3$ $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$ $dm$ thì diện tích của nó tăng thêm $12$ $d{m^2}$ . Tính diện tích của tam giác ban đầu.
Gọi chiều cao của tam giác là \(h\), cạnh đáy tam giác là \(a\). \(\left( {h,a \in {N^*}, a>3,dm} \right)\).
Diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}ah$ ($d{m^2}$)
Vì chiều cao bằng $\dfrac{3}{4}$ cạnh đáy nên ta có phương trình \(h = \dfrac{3}{4}a\)
Nếu chiều cao tăng thêm $3$ $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$ $dm$ thì diện tích của nó tăng thêm $12$ $d{m^2}$
Nên ta có hương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12\)
Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{{ - 3h}}{2} + \dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{33}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 44\\h = 33\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy chiều cao của tam giác bằng \(44dm\), cạnh đáy tam giác bằng \(33dm\).
Suy ra diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}.44.33 = 726\,\,\left( {d{m^2}} \right)$.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $48$ $m.$ Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và tăng chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là $162$ $m$. Tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {24 > x > y > 0;\,m} \right)$
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $48$ $m$nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 48$
Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là $162$ $m$
Nên ta có phương trình $(4y + 3x).2 = 162$
Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 48\\(4y + 3x).2 = 162\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 24\\3x + 4y = 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy diện tích khu vườn ban đầu là $15.9 = 135\,{m^2}$.
Hai giá sách có $450$ cuốn. Nếu chuyển $50$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\dfrac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên giá thứ hai.
Gọi số sách trên hai giá lần lượt là \(x,y\)
( \(0 < x,y < 450\), cuốn ).
Vì hai giá sách có $450$ cuốn nên ta có phương trình $x + y = 450$ (cuốn)
Nếu chuyển $50$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\dfrac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình $y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)$
Suy ra hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\\dfrac{4}{5}x - y = 90\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 150\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy số sách trên giá thứ nhất là \(300\) cuốn, số sách trên giá thứ hai là \(150\) cuốn.
Trong một kì thi, hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$ học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có $338$ học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường $A$ có \(97\% \) và trường $B$ có \(96 \% \) số học sinh trúng tuyển. Hỏi trường $B$ có bao nhiêu học sinh dự thi.
Gọi số học sinh dự thi của hai trường $A,B$ lần lượt là $x,y$ $ (350>x,y>0)$ (học sinh)
Vì hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$ học sinh dự thi nên ta có phương trình $x + y = 350$ (học sinh)
Vì trường $A$ có $97\% $ và trường B có $96\% $ số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có $338$ học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình $97\% .x + 96\% .y = 338$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 350\\97\% .x + 96\% .y = 338\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 350 - y\\97\left( {350 - y} \right) + 96y = 33800\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 150\\x = 200\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy trường $B$ có 150 học sinh dự thi.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $42$ m. Đường chéo hình chữ nhật dài $15$ m. Tính độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {21 > x > y > 0;\,m} \right)$
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $42$ $m$nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 42$
Đường chéo hình chữ nhật dài $15$$m$ nên ta có phương trình ${x^2} + {y^2} = {15^2}$
Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 42\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 21 - x\\{x^2} + {\left( {21 - x} \right)^2} = 225\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$
Giải phương trình $\left( 1 \right)$ ta được
$2{x^2} - 42x + 216 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 21x + 108 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12 \Rightarrow y = 9\,\left( N \right)\\x = 9 \Rightarrow y = 12\,\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy chiều rộng mảnh đất ban đầu là $9\,\,m$.
Một người đi xe máy từ A đến B với thời gian và vận tốc đã dự định. Nếu người đó đi nhanh hơn dự định trong mỗi giờ là 10km thì đến đích sớm hơn dự định là 36 phút. Nếu người đó đi chậm hơi dự định trong mỗi giờ là 10km thì đến đích muộn hơn dự định là 1 giờ. Tính vận tốc dự định của người đó và chiều dài quãng đường AB.
Gọi vận tốc dự định và thời gian dự định đi hết quãng đường AB lần lượt là \(x\,\,\left( {km/h} \right)\) và \(y\,\,\left( h \right)\) \(\left( {x,y > 0} \right).\)
Khi đó độ dài quãng đường AB là \(xy\,\,\left( {km} \right)\).
+) Nếu người đó đi nhanh hơn dự định trong mỗi giờ là 10km, tức là đi với vận tốc \(x + 10\,\,\left( {km/h} \right)\) thì người đó đến đích sớm hơn dự định 36 phút = \(\dfrac{{36}}{{60}} = \dfrac{3}{5}\,\,\left( h \right)\), tức là đi hết quãng đường trong \(y - \dfrac{3}{5}\,\,\left( h \right)\).
Khi đó độ dài quãng đường AB là \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - \dfrac{3}{5}} \right) = xy\).
\( \Leftrightarrow xy - \dfrac{3}{5}x + 10y - 6 = xy \Leftrightarrow - \dfrac{3}{5}x + 10y - 6 = 0\) \( \Leftrightarrow - 3x + 50y - 30 = 0\,\,\left( 1 \right)\)
+) Nếu người đó đi chậm hơn dự định trong mỗi giờ là 10km, tức là đi với vận tốc \(x - 10\,\,\left( {km/h} \right)\) thì người đó đến đích muộn hơn dự định \(1\,\,\left( h \right)\), tức là đi hết quãng đường trong \(y + 1\,\,\left( h \right)\).
Khi đó độ dài quãng đường AB là \(\left( {x - 10} \right)\left( {y + 1} \right) = xy\).
\( \Leftrightarrow xy + x - 10y - 10 = xy \Leftrightarrow x - 10y - 10 = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 50y - 30 = 0\\x - 10y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 50y = - 30\\3x - 30y = 30\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 20y = - 60\\x - 10y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\,\,\left( {tm} \right)\\x - 30 - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\).
Vậy vận tốc dự định và thời gian dự định đi hết quãng đường AB lần lượt là \(40\,\,km/h\) và \(3h\), độ dài quãng đường AB là \(xy = 40.3 = 120\,\,\left( {km} \right)\).
Bác An đi xe ô tô từ Cao Bằng đến Hải Phòng. Sau khi đi được nửa quãng đường bác An cho xe tăng vận tốc thêm \(5km/h\) nên thời gian đi nửa quãng đường sau ít hơn thời gian đi nửa quãng đường đầu là \(30\) phút. Hỏi lúc đầu bác An đi xe với vận tốc bao nhiêu? Biết rằng khoảng cách từ Cao Bằng đến Hải Phòng là \(360km.\)
Gọi vận tốc lúc đầu bác An đi là \(x\,\,\left( {km/h} \right),\,\,\left( {x > 0} \right).\)
Nửa quãng đường đầu và nửa quãng đường sau đều dài \(360:2 = 180km\)
Thời gian bác An đi nửa quãng đường đầu là \(\dfrac{{180}}{x}\) giờ
Trên nửa quãng đường sau, bác An đi với vận tốc là \(x + 5\left( {km/h} \right)\)
Thời gian bác An đi nửa quãng đường sau là \(\dfrac{{180}}{{x + 5}}\) giờ
Vì thời gian đi nửa quãng đường sau ít hơn thời gian đi nửa quãng đường đầu là 30 phút \( = \dfrac{1}{2}\) giờ nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{180}}{x} - \dfrac{{180}}{{x + 5}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{180\left( {x + 5} \right) - 180x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{180x + 900 - 180x}}{{{x^2} + 5x}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{900}}{{{x^2} + 5x}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {x^2} + 5x = 900.2\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 1800\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 1800 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 45x - 40x - 1800 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 45} \right) - 40\left( {x + 45} \right) = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 40} \right)\left( {x + 45} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 40 = 0\\x + 45 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 40\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 45\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy lúc đầu bác An đi với vận tốc \(40km/h.\)
Để tổ chức đi tham quan hướng nghiệp cho 435 người gồm học sinh khối lớp 9 và giáo viên phụ trách, nhà trường đã thuê 11 chiếc xe gồm hai loại: loại 30 chỗ ngồi và loại 45 chỗ ngồi (không kể tài xế). Hỏi nhà trường cần thuê bao nhiêu xe mỗi loại? Biết rằng không có xe nào còn trống chỗ.
Gọi số xe 30 chỗ và 45 chỗ mà trường thuê lần lượt là \(x\) và \(y\) (chiếc xe), \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,x,\,\,y < 11} \right).\)
Tổng số xe là 11 chiếc nên ta có phương trình: \(x + y = 11\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Số học sinh ngồi trên xe 30 chỗ là: \(30x\) học sinh.
Số học sinh ngồi trên xe 45 chỗ là: \(45y\) học sinh.
Có tất cả 435 học sinh đi tham quan nên ta có phương trình: \(30x + 45y = 435\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 11\\30x + 45y = 435\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}45x + 45y = 495\\30x + 45y = 435\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15x = 60\\y = 11 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 11 - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nhà trường cần thuê 4 xe loại 30 chỗ và 7 xe loại 45 chỗ.
Mẹ bạn Lan mua trái cây ở siêu thị gồm hai loại cam và nho. Biết rằng \(1kg\) cam có giá \(150\) nghìn đồng, \(1kg\) nho có giá \(200\) nghìn đồng. Mẹ bạn Lan mua \(4kg\) cả hai loại trái cây hết tất cả \(700\) nghìn đồng. Hỏi mẹ bạn Lan đã mua bao nhiêu kg cam, bao nhiêu kg nho?
Gọi số kg cam và số kg nho mẹ bạn Lan mua là: \(x;\,\,\,y\,\,\,\left( {kg} \right)\,\,\,\left( {0 < x,\,\,y < 4} \right).\)
Vì mẹ bạn Lan mua \(4kg\) cả hai loại nên ta có phương trình: \(x + y = 4\,\,\,\left( 1 \right)\)
Và mẹ mua hết \(700\) nghìn đồng nên ta có phương trình: \(150x + 200y = 700\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\150x + 200y = 700\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\3x + 4y = 14\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 12\\3x + 4y = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy mẹ Lan mua \(2kg\) cam và \(2kg\) nho.
Đề chính thức ĐGNL HCM 2019
Bạn Sơn đi bộ đến trường và đến nơi thì phát hiện mình quên tập ở nhà nên Sơn chạy bộ về nhà rồi tiếp tục chạy bộ lên trường. Thời gian đi từ nhà đến trường và chạy từ trường về nhà là 40 phút; thời gian chạy từ trường về nhà và chạy từ nhà đến trường là 24 phút. Biết rằng vận tốc khi chạy và khi đi bộ là không đổi. Hỏi khi Sơn đi bộ hai chiều đi-về thì mất bao lâu.
Gọi x và y lần lượt là thời gian đi và chạy trên quãng đường giữa trường học và nhà.
Thời gian đi từ nhà đến trường và chạy từ trường về nhà là 40 phút nên ta có:
$x+y=40$
Thời gian chạy từ trường về nhà và chạy từ nhà đến trường là 24 phút nên ta có $2y=24$
Khi đó ta có $x=28$ phút; $y=12$ phút.
Vậy thời gian đi bộ hai chiều đi-về mất $28.2=56$ phút
Sau Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2019 – 2020, học sinh hia lớp 9A và 9B tặng lại thư viện trường 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó, mỗi học sinh lớp 9A tặng 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B tặng 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số sách giao khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp.
Gọi số học sinh lớp 9A là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
Gọi số học sinh lớp 9B là \(y\) (học sinh) \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
Số sách giáo khảo lớp 9A tặng cho trường là: \(6x\) (quyển sách).
Số sách tham khảo lớp 9A tặng cho trường là: \(3x\) (quyển sách).
Số sách giáo khảo lớp 9B tặng cho trường là: \(5y\) (quyển sách).
Số sách tham khảo lớp 9B tặng cho trường là: \(4y\) (quyển sách).
Tổng số sách cả hai lớp tặng cho trường là 738 quyển nên ta có phương trình:
\(6x + 3x + 5y + 4y = 738 \Leftrightarrow 9x + 9y = 738 \Leftrightarrow x + y = 82\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tổng số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình:
\(6x + 5y - \left( {3x + 4y} \right) = 166 \Leftrightarrow 3x + y = 166\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 82\\3x + y = 166\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 84\\y = 82 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 42\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 40\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy số học sinh lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.
Nhân ngày sách Việt Nam, 120 học sinh khối 8 và 100 học sinh khối 9 cùng tham gia phong trào xây dựng “Tủ sách nhân ái”. Sau một thời gian phát động, tổng số sách cả hai khối đã quyên góp được là 540 quyển. Biết rằng mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển. Hỏi mỗi khối đã quyên góp được bao nhiêu quyển sách? (Mỗi học sinh trong cùng một khối quyên góp số lượng sách như nhau).
Gọi số sách khối 8 và khối 9 quyên góp được lần lượt là \(x,\;y\) (quyển sách), \(\left( {0 < x,\;y < 540,\;x,\;y \in \mathbb{N}} \right).\)
Số sách cả hai khối quyên góp được là: \(x + y = 540\;\;\;\;\left( 1 \right).\)
Số sách một bạn học sinh khối 8 quyên góp là: \(\dfrac{x}{{120}}\) (quyển)
Số sách một bạn học sinh khối 9 quyên góp là: \(\dfrac{y}{{100}}\) (quyển)
Mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển nên ta có phương trình:
\(\dfrac{y}{{100}} - \dfrac{x}{{120}} = 1 \Leftrightarrow - 5x + 6y = 600\;\;\;\left( 2 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 540\\ - 5x + 6y = 600\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 5y = 2700\\ - 5x + 6y = 600\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11y = 3300\\x = 540 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 300\;\;\left( {tm} \right)\\x = 240\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy khối 9 đã quyên góp được 300 quyển sách, khối 8 đã quyên góp được 240 quyển sách.
Tìm một số có hai chữ số biết rằng: Hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 (số đảo ngược của một số là số thu được bằng cách viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại) và tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618.
Gọi số có hai chữ số cần tìm là: \(\overline {ab} \left( {a \in {\mathbb{N}^*},b \in \mathbb{N},\;\;0 < a \le 9,\;0 \le b \le 9} \right).\)
Số đảo ngược của số ban đầu là: \(\overline {ba} \;\;\left( {b \ne 0} \right)\)
Theo đề bài, hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 nên ta có:
\(\begin{array}{l}\overline {ab} - \overline {ba} = 18\,\,\\ \Leftrightarrow 10a + b - \left( {10b + a} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 10a + b - 10b - a = 18\\ \Leftrightarrow a - b = 2\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618 nên ta có:
\(\begin{array}{l}\overline {ab} + {\left( {\overline {ba} } \right)^2} = 618\\ \Leftrightarrow 10a + b + {\left( {10b + a} \right)^2} = 618\\ \Leftrightarrow 10a + b + 100{b^2} + 20ab + {a^2} = 618\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2\\10a + b + 100{b^2} + 20ab + {a^2} = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\10\left( {b + 2} \right) + b + 100{b^2} + 20\left( {b + 2} \right)b + {\left( {b + 2} \right)^2} = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\10b + 20 + b + 100{b^2} + 20{b^2} + 40b + {b^2} + 4b + 4 = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\121{b^2} + 55b - 594 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\\left[ \begin{array}{l}b = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = - \dfrac{{27}}{{11}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy số cần tìm là: 42.
Một trường học A có tổng số giáo viên là 80. Hiện tại, tuổi trung bình của giáo viên là 35. Trong đó, tuổi trung bình của giáo viên nữ là 32 và tuổi trung bình của giáo viên nam là 38. Hỏi trường học đó có bao nhiêu giáo viên nữ và bao nhiêu giáo viên nam?
Gọi số giáo viên nam của trường là \(x\) (giáo viên), \(\left( {0 < x < 80,\;x \in \mathbb{N}} \right).\)
Gọi số giáo viên nữ của trường là \(y\) (giáo viên), \(\left( {0 < y < 80,\;y \in \mathbb{N}} \right).\)
Khi đó ta có: \(x + y = 80.\;\;\;\;\left( 1 \right)\)
Tuổi trung bình của giáo viên nam là \(38\) nên tổng số tuổi của \(x\) giáo viên nam là: \(38x\) (tuổi).
Tuổi trung bình của giáo viên nam là \(32\) nên tổng số tuổi của \(y\) giáo viên nữ là: \(32y\) (tuổi).
Tổng số tuổi của giáo viên toàn trường là: \(80.35 = 2800\) (tuổi).
Theo đề bài ta có phương trình: \(38x + 32y = 2800 \Leftrightarrow 19x + 16y = 1400\;\;\;\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 80\\19x + 16y = 1400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16x + 16y = 1280\\19x + 16y = 1400\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 120\\y = 80 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\;\;\left( {tm} \right)\\y = 80 - 40 = 40\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy trường đó có 40 giáo viên nam và 40 giáo viên nữ.
