Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $x,y\,\,\,\left( {{\rm{km/h}},\,\,x,y > 0} \right)$

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau  là $2x$ $\left( {km} \right)$

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là $2y\,\,\left( {km} \right)$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 38\\2x - 2y = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy  vận tốc của người thứ nhất là $10\,\,\left( {{\mathop{\rm km}\nolimits} /h} \right)$.

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là $x,y\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > y > 0; x>5} \right)$

Vì  khách du lịch đi trên ôtô $4$  giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$  giờ được quãng đường dài $640\,km$ nên  ta có phương trình $7x + 4y = 640$

Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô $5\,km$ nên ta có phương trình $x - y = 5$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\7x + 4y = 640\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\7\left( {y + 5} \right) + 4y = 640\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 55\\x = 60\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc tàu hỏa là $60\,\,{\rm{km/h}}$.

Gọi thời gian  vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là $x,y\,\,\left( {x,y > \dfrac{{24}}{5}} \right)$ (đơn vị: giờ)

Mỗi giờ vòi I chảy được $\dfrac{1}{x}$ (bể), vòi II chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể nên cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ bể

Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $4$  giờ $48$  phút $\left( { = \dfrac{{24}}{5}h} \right)$ bể đầy nên ta có phương trình

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}$

Nếu vòi I chảy riêng trong $4$ giờ, vòi II chảy  riêng trong $3$  giờ thì cả hai vòi chảy được $\dfrac{3}{4}$ bể nên ta có phương trình $\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{5}{8}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 12\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy thời gian vòi I một mình đầy bể là $8\,\,h$.

Gọi thời gian $A,B$ làm một mình xong công việc lần lượt là $x,y$ ($y>x>6$ , đơn vị : ngày).

Mỗi ngày các bạn $A,B$ lần lượt làm được $\dfrac{1}{x}$và $\dfrac{1}{y}$(công việc ).

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $6$ ngày nên ta có : 

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}$                                        (1)

Do làm một mình xong công việc thì $B$ làm lâu hơn $A$ là $9$  ngày nên ta có phương trình :

$y - x = 9$                                         (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}\\y - x = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 18\end{array} \right.$(thỏa mãn)

Vậy $B$ hoàn thành cả công việc trong $18$ ngày.

Suy ra sau khi $A$ làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ$,B$ hoàn thành công việc còn lại trong $9$ ngày.

Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ lần lượt là : $x,y$,

($x,y \in {N^*}$ $x,y < 360$, dụng cụ).

Số dụng cụ xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ làm được khi vượt mức lần lượt là $112\% x$ và $110\% y$ ( dụng cụ).

Ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.$.

Vậy xí nghiệp $1$  phải làm $200$ dụng cụ, xí nghiệp $2$ phải làm $160$ dụng cụ.

Gọi số sản phẩm tổ $1$  và tổ $2$  làm được trong tháng đầu lần lượt là $x,y$,($x,y \in {N^*}$ $x,y < 800$, sản phẩm).

Số sản phẩm tổ $1$  và tổ $2$  làm được trong tháng hai là $112\% .x$ và $90\% .y$ sản phẩm

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\112\% x + 90\% y = 786\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 800 - y\\112\% \left( {800 - y} \right) + 90\% .y = 786\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 500\\x = 300\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy số sản phẩm tổ $1$  làm được trong tháng đầu là $300$ sản phẩm.

Gọi chiều cao của tam giác là $h$, cạnh đáy tam giác là $a$. $\left( {h,a \in {N^*}, a>3,dm} \right)$.

Diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}ah$ ($d{m^2}$)

Vì chiều cao bằng   $\dfrac{3}{4}$  cạnh đáy nên ta có phương trình $h = \dfrac{3}{4}a$

Nếu chiều cao tăng thêm $3$  $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$  $dm$  thì diện tích của nó tăng thêm $12$  $d{m^2}$

Nên ta có hương trình  $\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12$

Ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{{ - 3h}}{2} + \dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{33}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 44\\h = 33\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy chiều cao của tam giác bằng $44dm$, cạnh đáy tam giác bằng $33dm$.

Suy ra diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}.44.33 = 726\,\,\left( {d{m^2}} \right)$.

Gọi chiều dài  và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {24 > x > y > 0;\,m} \right)$

Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $48$  $m$nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 48$

Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là $162$  $m$

Nên ta có phương trình $(4y + 3x).2 = 162$

Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 48\\(4y + 3x).2 = 162\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 24\\3x + 4y = 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là $15.9 = 135\,{m^2}$.

Gọi số sách trên hai giá lần lượt là $x,y$

( $0 < x,y < 450$, cuốn ).

Vì hai giá sách có $450$ cuốn nên ta có phương trình $x + y = 450$ (cuốn)

Nếu chuyển $50$  cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\dfrac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình $y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)$

Suy ra  hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\\dfrac{4}{5}x - y = 90\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 150\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy số sách trên giá thứ nhất là $300$ cuốn, số sách trên giá thứ hai là $150$ cuốn.

Gọi số học sinh dự thi của hai trường $A,B$ lần lượt là $x,y$ $(350>x,y>0)$ (học sinh)

Vì hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$  học sinh dự thi nên ta có phương trình $x + y = 350$ (học sinh)

Vì trường $A$ có $97\%$  và trường B có $96\%$  số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có $338$  học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình $97\% .x + 96\% .y = 338$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 350\\97\% .x + 96\% .y = 338\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 350 - y\\97\left( {350 - y} \right) + 96y = 33800\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 150\\x = 200\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy trường $B$ có 150 học sinh dự thi.

Gọi chiều dài  và chiều rộng của mảnh đất  hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {21 > x > y > 0;\,m} \right)$

Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $42$  $m$nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 42$

Đường chéo hình chữ nhật dài $15$$m$ nên ta có phương trình ${x^2} + {y^2} = {15^2}$

Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 42\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 21 - x\\{x^2} + {\left( {21 - x} \right)^2} = 225\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Giải phương trình $\left( 1 \right)$ ta được 

$2{x^2} - 42x + 216 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 21x + 108 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12 \Rightarrow y = 9\,\left( N \right)\\x = 9 \Rightarrow y = 12\,\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy chiều rộng mảnh đất ban đầu là $9\,\,m$.

Gọi vận tốc dự định và thời gian dự định đi hết quãng đường AB lần lượt là $x\,\,\left( {km/h} \right)$ và $y\,\,\left( h \right)$ $\left( {x,y > 0} \right).$

Khi đó độ dài quãng đường AB là $xy\,\,\left( {km} \right)$.

+) Nếu người đó đi nhanh hơn dự định trong mỗi giờ là 10km, tức là đi với vận tốc $x + 10\,\,\left( {km/h} \right)$ thì người đó đến đích sớm hơn dự định 36 phút = $\dfrac{{36}}{{60}} = \dfrac{3}{5}\,\,\left( h \right)$, tức là đi hết quãng đường trong $y - \dfrac{3}{5}\,\,\left( h \right)$.

 Khi đó độ dài quãng đường AB là $\left( {x + 10} \right)\left( {y - \dfrac{3}{5}} \right) = xy$.

$\Leftrightarrow xy - \dfrac{3}{5}x + 10y - 6 = xy \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{5}x + 10y - 6 = 0$ $\Leftrightarrow  - 3x + 50y - 30 = 0\,\,\left( 1 \right)$

+) Nếu người đó đi chậm hơn dự định trong mỗi giờ là 10km, tức là đi với vận tốc $x - 10\,\,\left( {km/h} \right)$ thì người đó đến đích muộn hơn dự định $1\,\,\left( h \right)$, tức là đi hết quãng đường trong $y + 1\,\,\left( h \right)$.

Khi đó độ dài quãng đường AB là $\left( {x - 10} \right)\left( {y + 1} \right) = xy$.

                                                      $\Leftrightarrow xy + x - 10y - 10 = xy \Leftrightarrow x - 10y - 10 = 0\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 50y - 30 = 0\\x - 10y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 50y =  - 30\\3x - 30y = 30\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 20y =  - 60\\x - 10y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\,\,\left( {tm} \right)\\x - 30 - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$.

Vậy vận tốc dự định và thời gian dự định đi hết quãng đường AB lần lượt là $40\,\,km/h$ và $3h$, độ dài quãng đường AB là $xy = 40.3 = 120\,\,\left( {km} \right)$.

Gọi vận tốc lúc đầu bác An đi là $x\,\,\left( {km/h} \right),\,\,\left( {x > 0} \right).$

Nửa quãng đường đầu và nửa quãng đường sau đều dài $360:2 = 180km$

Thời gian bác An đi nửa quãng đường đầu là $\dfrac{{180}}{x}$ giờ

Trên nửa quãng đường sau, bác An đi với vận tốc là $x + 5\left( {km/h} \right)$

Thời gian bác An đi nửa quãng đường sau là $\dfrac{{180}}{{x + 5}}$ giờ

Vì thời gian đi nửa quãng đường sau ít hơn thời gian đi nửa quãng đường đầu là 30 phút $= \dfrac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{180}}{x} - \dfrac{{180}}{{x + 5}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{180\left( {x + 5} \right) - 180x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{180x + 900 - 180x}}{{{x^2} + 5x}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{900}}{{{x^2} + 5x}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {x^2} + 5x = 900.2\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 1800\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 1800 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 45x - 40x - 1800 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 45} \right) - 40\left( {x + 45} \right) = 0\end{array}$

 $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 40} \right)\left( {x + 45} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 40 = 0\\x + 45 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 40\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 45\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy lúc đầu bác An đi với vận tốc $40km/h.$

Gọi số xe 30 chỗ và 45 chỗ mà trường thuê lần lượt là $x$ và $y$ (chiếc xe), $\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,x,\,\,y < 11} \right).$

Tổng số xe là 11 chiếc nên ta có phương trình: $x + y = 11\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Số học sinh ngồi trên xe 30 chỗ là: $30x$ học sinh.

Số học sinh ngồi trên xe 45 chỗ là: $45y$ học sinh.

Có tất cả 435 học sinh đi tham quan nên ta có phương trình: $30x + 45y = 435\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 11\\30x + 45y = 435\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}45x + 45y = 495\\30x + 45y = 435\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15x = 60\\y = 11 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 11 - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy nhà trường cần thuê 4 xe loại 30 chỗ và 7 xe loại 45 chỗ.

Gọi số kg cam và số kg nho mẹ bạn Lan mua là: $x;\,\,\,y\,\,\,\left( {kg} \right)\,\,\,\left( {0 < x,\,\,y < 4} \right).$

Vì mẹ bạn Lan mua $4kg$ cả hai loại nên ta có phương trình: $x + y = 4\,\,\,\left( 1 \right)$

Và mẹ mua hết $700$ nghìn đồng nên ta có phương trình: $150x + 200y = 700\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\150x + 200y = 700\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\3x + 4y = 14\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 12\\3x + 4y = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..$

Vậy mẹ Lan mua $2kg$ cam và $2kg$ nho.

Gọi x và y lần lượt là thời gian đi và chạy trên quãng đường giữa trường học và nhà.

Thời gian đi từ nhà đến trường và chạy từ trường về nhà là 40 phút nên ta có:

$x+y=40$

Thời gian chạy từ trường về nhà và chạy từ nhà đến trường là 24 phút nên ta có $2y=24$

Khi đó ta có $x=28$ phút; $y=12$ phút.

Vậy thời gian đi bộ hai chiều đi-về mất $28.2=56$ phút

Gọi số học sinh lớp 9A là $x$ (học sinh) $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Gọi số học sinh lớp 9B là $y$ (học sinh) $\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Số sách giáo khảo lớp 9A tặng cho trường là: $6x$ (quyển sách).

Số sách tham khảo lớp 9A tặng cho trường là: $3x$ (quyển sách).

Số sách giáo khảo lớp 9B tặng cho trường là: $5y$ (quyển sách).

Số sách tham khảo lớp 9B tặng cho trường là: $4y$ (quyển sách).

Tổng số sách cả hai lớp tặng cho trường là 738 quyển nên ta có phương trình:

$6x + 3x + 5y + 4y = 738 \Leftrightarrow 9x + 9y = 738 \Leftrightarrow x + y = 82\,\,\,\left( 1 \right)$

Tổng số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình:

$6x + 5y - \left( {3x + 4y} \right) = 166 \Leftrightarrow 3x + y = 166\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 82\\3x + y = 166\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 84\\y = 82 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 42\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 40\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..$

Vậy số học sinh lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.

Gọi số sách khối 8 và khối 9 quyên góp được lần lượt là $x,\;y$ (quyển sách), $\left( {0 < x,\;y < 540,\;x,\;y \in \mathbb{N}} \right).$

Số sách cả hai khối quyên góp được là: $x + y = 540\;\;\;\;\left( 1 \right).$

Số sách một bạn học sinh khối 8 quyên góp là: $\dfrac{x}{{120}}$ (quyển)

Số sách một bạn học sinh khối 9 quyên góp là: $\dfrac{y}{{100}}$ (quyển)

Mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển nên ta có phương trình:

$\dfrac{y}{{100}} - \dfrac{x}{{120}} = 1 \Leftrightarrow  - 5x + 6y = 600\;\;\;\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình:

 $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 540\\ - 5x + 6y = 600\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 5y = 2700\\ - 5x + 6y = 600\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11y = 3300\\x = 540 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 300\;\;\left( {tm} \right)\\x = 240\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..$

Vậy khối 9 đã quyên góp được 300 quyển sách, khối 8 đã quyên góp được 240 quyển sách.

Gọi số có hai chữ số cần tìm là: $\overline {ab} \left( {a \in {\mathbb{N}^*},b \in \mathbb{N},\;\;0 < a \le 9,\;0 \le b \le 9} \right).$

Số đảo ngược của số  ban đầu là: $\overline {ba} \;\;\left( {b \ne 0} \right)$

Theo đề bài, hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 nên ta có:

$\begin{array}{l}\overline {ab}  - \overline {ba}  = 18\,\,\\ \Leftrightarrow 10a + b - \left( {10b + a} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 10a + b - 10b - a = 18\\ \Leftrightarrow a - b = 2\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618 nên ta có:

$\begin{array}{l}\overline {ab}  + {\left( {\overline {ba} } \right)^2} = 618\\ \Leftrightarrow 10a + b + {\left( {10b + a} \right)^2} = 618\\ \Leftrightarrow 10a + b + 100{b^2} + 20ab + {a^2} = 618\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2\\10a + b + 100{b^2} + 20ab + {a^2} = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\10\left( {b + 2} \right) + b + 100{b^2} + 20\left( {b + 2} \right)b + {\left( {b + 2} \right)^2} = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\10b + 20 + b + 100{b^2} + 20{b^2} + 40b + {b^2} + 4b + 4 = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\121{b^2} + 55b - 594 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\\left[ \begin{array}{l}b = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\b =  - \dfrac{{27}}{{11}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy số cần tìm là: 42.

Gọi số giáo viên nam của trường là $x$ (giáo viên), $\left( {0 < x < 80,\;x \in \mathbb{N}} \right).$

Gọi số giáo viên nữ của trường là $y$ (giáo viên), $\left( {0 < y < 80,\;y \in \mathbb{N}} \right).$

Khi đó ta có: $x + y = 80.\;\;\;\;\left( 1 \right)$

Tuổi trung bình của giáo viên nam là $38$ nên tổng số tuổi của $x$ giáo viên nam là: $38x$ (tuổi).

Tuổi trung bình của giáo viên nam là $32$ nên tổng số tuổi của $y$ giáo viên nữ là: $32y$ (tuổi).

Tổng số tuổi của giáo viên toàn trường là: $80.35 = 2800$ (tuổi).

Theo đề bài ta có phương trình: $38x + 32y = 2800 \Leftrightarrow 19x + 16y = 1400\;\;\;\left( 2 \right).$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 80\\19x + 16y = 1400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16x + 16y = 1280\\19x + 16y = 1400\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 120\\y = 80 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\;\;\left( {tm} \right)\\y = 80 - 40 = 40\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy trường đó có 40 giáo viên nam và 40 giáo viên nữ.