Trên quãng đường \(AB\) dài \(210\) km , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ \(A\) đến \(B\) và một ôt ô khởi hành từ \(B\) đi về \(A\). Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp $4$ giờ nữa thì đến \(B\) và ô tô đi tiếp $2$ giờ $15$ phút nữa thì đến \(A\). Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là
Gọi vận tốc xe máy là \(x\) (km/h) . Điều kiện \(x > 0\).
Gọi vận tốc ô tô là \(y\) (km/h). Điều kiện \(y > 0\).
Thời gian xe máy dự định đi từ $A$ đến \(B\) là: \(\dfrac{{210}}{x}\) giờ.
Thời gian ô tô dự định đi từ \(B\) đến \(A\) là: \(\dfrac{{210}}{y}\) giờ.
Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến \(B\) là : \(4x\) (km).
Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến \(A\) là : \(\dfrac{9}{4}y\) (km).
Theo giả thiết ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{210}}{x} - \dfrac{{210}}{y} = 4 - \dfrac{9}{4}\\4x + \dfrac{9}{4}y = 210\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{210}}{x} - \dfrac{{210}}{y} = \dfrac{7}{4}\\4x + \dfrac{9}{4}y = 210\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{x} - \dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{y} = \dfrac{7}{4}\,\,\left( 1 \right)\\4x + \dfrac{9}{4}y = 210\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left( 2 \right)\end{array} \right.$
Từ phương trình (1) ta suy ra $\dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{x} - \dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{y} = \dfrac{7}{4} $\( \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{x} + \dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} - \dfrac{{9y}}{{4y}} = \dfrac{7}{4} \)\(\Leftrightarrow 4 + \dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{7}{4}\)$\Leftrightarrow \dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}y$.
Thay vào phương trình (2) ta thu được: $\dfrac{{12}}{4}y + \dfrac{9}{4}y = 210 \Leftrightarrow y = 40$ (TM)
$\Rightarrow x = 30$ (TM).
Vậy vận tốc xe máy là \(30\) km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.
Hai máy cày cùng làm việc trong 12 giờ thì cày được \(\dfrac{1}{{10}}\) khu đất. Nếu máy cày thứ nhất làm một mình trong $42$ giờ rồi nghỉ và sau đó máy cày thứ hai làm một mình trong $22$ giờ thì cả hai máy cày được \(25\% \) khu đất. Hỏi nếu làm một mình thì máy \(2\) cày trong bao lâu?
Gọi x (giờ) là thời gian máy cày 1 làm một mình xong khu đất.
y (giờ) là thời gian máy cày 2 làm một mình xong khu đất.
Điều kiện \(x,y > 12\).
Mỗi giờ máy 1 và máy 2 làm được tương ứng là \(\dfrac{1}{x}\) và \(\dfrac{1}{y}\) khu đất.
Do 2 máy cùng cày trong 12 giờ thì được \(\dfrac{1}{{10}}\) khu đất nên ta có phương trình \(\dfrac{{12}}{x} + \dfrac{{12}}{y} = \dfrac{1}{{10}}\).
Nếu máy 1 làm một mình 42 giờ và máy 2 làm một mình 22 giờ thì làm được \(25\% = \dfrac{1}{4}\) khu đất nên ta có phương trình \(\dfrac{{42}}{x} + \dfrac{{22}}{y} = \dfrac{1}{4}\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{12}}{x} + \dfrac{{12}}{y} = \dfrac{1}{{10}}\\\dfrac{{42}}{x} + \dfrac{{22}}{y} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{300}}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{200}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300 \, (TM)\\y = 200 \, (TM)\end{array} \right.\).
Vậy máy 1 làm một mình trong 300 giờ thì xong khu đất.
Máy 2 làm một mình trong 200 giờ thì xong khu đất.
Một ca nô chạy trên sông trong $8h$ xuôi dòng được $81km$ và ngược dòng $105km$ . Một lần khác, ca nô chạy trên sông trong $4h$ xuôi dòng được $54km$ và ngược dòng $42km.$ Tính vận tốc riêng của ca nô.
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}(km/h;{\rm{ }}x > y > 0).$
Suy ra vận tốc xuôi dòng của ca nô là $x + y{\rm{ }}\left( {km/h} \right);$ vận tốc ngược dòng là $\left( {km/h} \right).$
Ca nô chạy trên sông trong 8h xuôi dòng được 81km và ngược dòng 105km nên ta có phương trình:
$\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{105}}{{x - y}} = 8\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$
Ca nô chạy trên sông trong 4h xuôi dòng được 54km và ngược dòng 42km nên ta có phương trình:
$\dfrac{{54}}{{x + y}} + \dfrac{{42}}{{x - y}} = 4\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{105}}{{x - y}} = 8\\\dfrac{{54}}{{x + y}} + \dfrac{{42}}{{x - y}} = 4\end{array} \right.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + y}} = u\\\dfrac{1}{{x - y}} = v\end{array} \right.$ta có: $\left\{ \begin{array}{l}81u + 105v = 8\\54u + 42v = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{27}}\\v = \dfrac{1}{{21}}\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 27\\x - y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24(tmdk)\\y = 3(tmdk)\end{array} \right.$
Vậy vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là $24$ km/h và $3$ km/h.
Hai ô tô khởi hành cùng 1 lúc từ A đến B cách nhau $300$ km. Ô tô thứ nhất mỗi giờ đi nhanh hơn ô tô thứ hai $10\,$ km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai $1h.$ Tìm vận tốc mỗi xe.
Gọi vận tốc ô tô thứ nhất và thứ hai lần lượt là $x$ và $y{\rm{ }}\left( {km/h;{\rm{ }}x,y > 0} \right).$
Ô tô thứ nhất mỗi giờ đi nhanh hơn ô tô thứ hai $10$ km nên ta có phương trình: $x - y = 10\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$
Ô tô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ hai 1h nên ta có:
$\dfrac{{300}}{y} - \dfrac{{300}}{x} = 1$(2)
Từ (1) và (2) ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\\dfrac{{300}}{y} - \dfrac{{300}}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\300x - 300y = xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\300(y + 10) - 300y = (y + 10)y\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\{y^2} + 10y - 3000 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\\left[ \begin{array}{l}y = 50(tm)\\y = - 60(ktmdk)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 50\end{array} \right.$
Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất và thứ hai lần lượt là $60$ km/h và $50$ km/h.
Theo kế hoạch, phân xưởng A phải sản xuất hơn phân xưởng B là $200$ sản phẩm. Khi thực hiện, phân xưởng A tăng năng suất $20$%, phân xưởng B tăng năng suất $15$% nên phân xưởng A sản xuất hơn phân xưởng B là $350$ sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng A và B phải sản xuất số sản phẩm lần lượt là:
Gọi $x,{\rm{ }}y$ lần lượt là số sản phẩm phân xưởng A và B phải làm theo kế hoạch (sản phẩm) \(\left( {x,\,\,y \in N^*;\,x > 200} \right).\)
Theo kế hoạch, phân xưởng A phải sản xuất hơn phân xưởng B là $200$ sản phẩm nên ta có phương trình:
$x - y = 200\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$.
Thực tế, phân xưởng A vượt mức kế hoạch $20$ %, đội B vượt kế hoạch 15%, nên phân xưởng A sản xuất hơn phân xưởng B là 350 sản phẩm suy ra ta có:
$x + 20\% x - (y + 15\% y) = 350 \Leftrightarrow 1,2x - 1,15y = 350\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}x - y = 200\\1,2x - 1,15y = 350\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,15x - 1,15y = 230\\1,2x - 1,15y = 350\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,05x = 120\\x - y = 200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2400\\y = 2200\end{array} \right.$(tmdk).
Vậy theo kế hoạch phân xưởng A phải sản xuất 2400 sản phẩm, phân xưởng B phải sản xuất 2200 sản phẩm.
Người ta cho thêm 1 kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng độ axit là 20%. Sau đó lại cho thêm 1 kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là $\dfrac{{100}}{3}\% $. Tính nồng độ axit trong dung dịch A.
Gọi khối lượng axit trong dung dịch A là là x; khối lượng nước trong dung dịch A là y (kg; x, y > 0).
Người ta cho thêm 1 kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng độ axit là 20% nên ta có:
$\dfrac{x}{{x + y + 1}} = 20\% \Leftrightarrow 0.8x - 02y = 0,2\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Lại cho thêm 1 kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là $\dfrac{{100}}{3}\% $ nên ta có:
$\begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{x + y + 2}} = \dfrac{{100}}{3}\% \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{x + y + 2}} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 2x - y = - 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}0,8x - 0,2y = 0,2\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 1\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.$(tmdk).
Vậy nồng độ axit trong dung dịch A là : $\dfrac{1}{{3 + 1}}.100\% = 25\% .$
Hai người thợ cùng làm $1$ công việc. Nếu làm riêng, mỗi người nửa việc thì tổng thời gian $2$ người làm là $12,5$ giờ. Nếu $2$ người cùng làm thì chỉ trong $6$ giờ là xong việc. Hỏi nếu làm riêng cả công việc thì mỗi người làm mất bao lâu?
Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng để xong nửa công việc là $x;$ thời gian người thứ hai làm riêng để xong nửa công việc là $y$ (giờ; $x,y > 0$).
Nếu làm riêng, mỗi người nửa việc thì tổng thời gian 2 người làm là $12,5$ giờ nên ta có phương trình:
$x + y = 12,5\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Thời gian người thứ nhất làm riêng để xong cả công việc là $2x,$ của người thứ 2 là $2y.$ Mà $2$ người cùng làm thì trong $6$ giờ xong việc nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{1}{{2y}} = \dfrac{1}{6}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12,5\\\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{1}{{2y}} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12,5 - y\\\dfrac{1}{{12,5}} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12,5 - y\\{y^2} - 12,5y + 37,5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12,5 - y\\\left[ \begin{array}{l}y = 7,5\\y = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 7,5\\y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7,5\end{array} \right.\end{array} \right.(tmdk)$
Vậy nếu làm riêng thì một người làm trong $2.7,5 = 15$ giờ , còn người kia làm trong $2.5 = 10$ giờ.
Cho 3 vòi nước cùng chảy vào 1 bể. Biết vòi 1 và vòi 2 chảy đầy bể trong $72$ phút. Vòi 1 và vòi 3 chảy đề bể trong $63$ phút. Vòi 2 và vòi 3 chảy đầy bể trong $56$ phút. Hỏi vòi 2 chảy 1 mình đầy bể trong bao lâu?
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (phút), thời gian vòi 2 chảy mình đầy bể là y (phút), thời gian vòi 3 chảy mình đầy bể là z (phút), ($x,y,z > 0$).
Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}72\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1\\63\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right) = 1\\56\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{72}}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{63}}\\\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{56}}\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(I)}\end{array}$
Đặt $\dfrac{1}{x} = a;\dfrac{1}{y} = b;\dfrac{1}{z} = c$ khi đó $(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = \dfrac{1}{{72}}\\a + c = \dfrac{1}{{63}}\\b + c = \dfrac{1}{{56}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = \dfrac{1}{{72}}\\c - b = \dfrac{1}{{504}}\\b + c = \dfrac{1}{{56}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = \dfrac{1}{{72}}\\2c = \dfrac{5}{{252}}\\b + c = \dfrac{1}{{56}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = \dfrac{1}{{72}}\\c = \dfrac{5}{{504}}\\b = \dfrac{1}{{126}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{168}}\\c = \dfrac{5}{{504}}\\b = \dfrac{1}{{126}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 168\\y = 126\\z = \dfrac{{504}}{5}\end{array} \right.$(tmdk)
Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là $168$ (phút), thời gian vòi 2 chảy mình đầy bể là $126$ (phút), thời gian vòi 3 chảy mình đầy bể là $\dfrac{{504}}{5}$ (phút).
Một hội trường có $150$ ghế được sắp xếp ngồi theo các dãy ghế. Nếu có thêm $71$ ghế thì phải kê thêm $2$ dãy ghế, mỗi dãy ghế phải thêm $3$ ghế nữa. Tính số ghế mỗi dãy lúc đầu trong hội trường.
Gọi số dãy ghế trong hội trường là $x{\rm{ }}(x$ nguyên dương).
Số ghế của mỗi dãy ghế lúc đầu là $\dfrac{{150}}{x}$
Số dãy ghế lúc sau là $x + 2$
Số ghế của mỗi dãy ghế lúc sau là $\dfrac{{150 + 71}}{{x + 2}} = \dfrac{{221}}{{x + 2}}$
Vì lúc sau mỗi dãy ghế lúc sau phải thêm 3 ghế nên ta có phương trình:
$\dfrac{{221}}{{x + 2}} = \dfrac{{150}}{x} + 3$$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 65x + 300 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15(tmdk)\\x = \dfrac{{20}}{3}(ktmdk)\end{array} \right.$
Vậy số ghế mỗi dãy là $10$ ghế.
Một hợp kim của đồng và kém nặng $124g$ có thể tích là $15c{m^3}$. Biết cứ $89g$ đồng thì có thể tích là $10c{m^3}$ và $7g$ kẽm thì có thể tích là $1c{m^3}$. Tính khối lượng đồng và kẽm trong hợp kim đó.
Gọi khối lượng đồng trong hợp kim là $x{\rm{ }}\left( {0 < x < 124} \right)$
Ta có khối lượng kẽm trong hợp kim là $124 - x$
Vì $89g$ đồng thì có thể tích là $10c{m^3}$ nên $x\left( g \right)$ đồng có thể tích là $\dfrac{{10x}}{{89}}$
$7g$ kẽm thì có thể tích là $1c{m^3}$nên $124 - x\left( g \right)$ kẽm có thể tích là $\dfrac{{124 - x}}{7}$
Vì thể tích của hợp kim ban đầu là $15c{m^3}$nên ta có phương trình:
$\dfrac{{10x}}{{89}} + \dfrac{{124 - x}}{7} = 15 \Leftrightarrow - 19x = - 1691$$ \Leftrightarrow x = 89(tmdk)$
Vậy khối lượng đồng và kẽm trong hợp kim lần lượt là $89g$ và $35g$.
Chiều cao của $1$ tam giác vuông là $8cm$ chia cạnh huyền thành $2$ đoạn thẳng hơn kém nhau $12cm$. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.
Giả sử tam giác vuông $ABC$ có đường cao $AH$ chia cạnh $BC$ thành $2$ đoạn thẳng $BH$ và $CH$ .
Gọi độ dài cạnh $BH$ là $x{\rm{ }}\left( {cm} \right){\rm{ }}\left( {x > 0} \right)$
Khi đó độ dài cạnh $CH$ là $x + 12\left( {cm} \right)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
$A{H^2} = BH.CH \Leftrightarrow {8^2} = x(x + 12)$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 12x - 64 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4(tmdk)\\x = - 16(ktmdk)\end{array} \right.$
Suy ra $BH = 4cm$ và $CH = 16cm$
Vậy cạnh huyền $BC = 20cm$.
Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi $96cm$. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt $1$ hình vuông cạnh là $4cm$. Diện tích còn lại của tấm sắt là $448c{m^2}$. Tính các kích thước của tấm sắt biết chiều dài của tấm sắt có độ dài lớn hơn $20cm$.
Nửa chu vi tấm sắt là $96:2 = 48(cm)$
Gọi chiều dài của tấm sắt là $x{\rm{ }}\left( {cm} \right){\rm{ }}\left( {x > 20} \right)$
Chiều rộng tấm sắt sẽ là $48 - x{\rm{ }}\left( {cm} \right)$
Diện tích tấm sắt ban đầu là $x(48 - x)\,\,\left( {c{m^2}} \right)$
Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt $1$ hình vuông cạnh là $4cm$ nên diện tích phần cắt đi là $4.4.4 = 64(c{m^2})$
Diện tích còn lại của tấm sắt là $448c{m^2}$ nên ta có phương trình:
$x(48 - x) - 64 = 448 \Leftrightarrow {x^2} - 48x + 512 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 32(tmdk)\\x = 16(ktmdk)\end{array} \right.$
Vậy chiều dài và chiều rộng của tấm sắt lần lượt là $32cm$ và $16cm$.
Một phân xưởng đặt kế hoạch sản xuất $200$ sản phẩm. Trong \(5\) ngày đầu do còn làm việc khác nên mỗi ngày phân xưởng sản xuất ít hơn mức đề ra là \(4\) sản phẩm. Trong những ngày còn lại, xưởng sản xuất vượt mức \(10\) sản phẩm mỗi ngày nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn \(1\) ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Gọi năng suất làm việc theo dự kiến của xí nghiệp là $x$ (sản phẩm/ngày) , $\left( {x{\rm{ }} > {\rm{ }}4} \right)$
+) Theo dự kiến: Mỗi ngày phân xưởng sản xuất x sản phẩm, tổng sản phẩm là 200 sản phẩm và thời gian sản xuất là $\dfrac{{200}}{x}$ ngày
+ Thực tế: $5$ ngày đầu phân xưởng sản xuất $x--4$ (sản phẩm/ngày), số sản phẩm sản xuất được là $5\left( {x--4} \right).$ Những ngày sau mỗi ngày phân xưởng sản xuất $x + 10$ (sản phẩm/ngày), số sản phẩm sản xuất được là $220--5x$ với thời gian sản xuất là $\dfrac{{220 - 5{\rm{x}}}}{{x + 10}}$ (ngày)
*) Vì thực tế xí nghiệp đã hoàn thành công việc sớm 1 ngày sovới dự định nên ta có phương trình: $\dfrac{{200}}{x} = 5 + \dfrac{{220 - 5{\rm{x}}}}{{x + 10}} + 1$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{200}}{x} = 6 + \dfrac{{220 - 5{\rm{x}}}}{{x + 10}}$
$ \Leftrightarrow 200(x + 10) = 6{\rm{x}}(x + 10) + x(220 - 5x)$$ \Leftrightarrow {x^2} + 80{\rm{x}} - 2000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20(t/m)\\x = - 100(l)\end{array} \right.$
Vậy theo dự kiến mỗi ngày phân xưởng sản xuất $20$ sản phẩm
Một công nhân được giao làm một số sản phẩm trong thời gian nhất định. Khi còn làm nốt \(30\) sản phẩm cuối cùng người đó thấy nếu cứ giữ nguyên năng suất thì sẽ chậm \(30\) phút. Nếu tăng năng suất thêm \(5\) sản phẩm một giờ thì sẽ xong sớm hơn so với dự định là \(30\) phút. Tính năng suất của người thợ lúc đầu.
Gọi $x$ (sản phẩm) là năng suất lúc đầu của công nhân đó $\left( {x{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)$
+) Nếu năng suất là x sản phẩm thì thời gian làm là $\dfrac{{30}}{x}$ h
+) Nếu năng suất là x + 5 sản phẩm thì thời gian làm là $\dfrac{{30}}{x}$ h
Vì thời gian chênh lệch nếu vẫn giữ nguyên năng suất và tăng năng suất là 1 giờ nên ta có phương trình:
$\dfrac{{30}}{x} - \dfrac{{30}}{{x + 5}} = 1$
$ \Leftrightarrow 30(x + 5) - 30{\rm{x}} = x(x + 5)$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 5{\rm{x}} - 150 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10(t/m)\\x = - 15(l)\end{array} \right.$
Vậy năng suất lúc đầu của người công nhân đó là $10$ sản phẩm
Một người dự định đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) cách nhau \(36\) km trong thời gian đã định. Sau khi đi được nửa quãng đường, người đó dừng lại nghỉ \(30\) phút. Vì vậy mặc dù trên quãng đường còn lại đã tăng tốc thêm \(2\) km/h song vẫn đến B chậm hơn dự kiến \(12\) phút. Vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn đường cuối của đoạn \(AB.\)
Gọi vận tốc dự định đi của người đó là x (km/h) (x > 0)
Thời gian dự định đi của người đó là $\dfrac{{36}}{x}$(h)
Thời gian người đó đi nửa quãng đường đầu là $\dfrac{{18}}{x}$(h)
Nửa quãng đường sau người đó đi với vận tốc là $x + 2$ (km/h) và thời gian người đó đi là $\dfrac{{18}}{{x + 2}}$(h)
Vì nghỉ lại $30$ phút nên thời gian đi từ lúc xuất phát đến khi tới B là: $\dfrac{{18}}{x} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{{18}}{{x + 2}}$
Do người đó đến B chậm hơn dự kiến 12 phút $ = \dfrac{1}{5}$h nên ta có phương trình:
$\dfrac{{18}}{x} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{{18}}{{x + 2}} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{{36}}{x} \Leftrightarrow \dfrac{{18}}{{x + 2}} - \dfrac{{18}}{x} + \dfrac{3}{{10}} = 0$
$ \Leftrightarrow 60{\rm{x}} - 60(x + 2) + x(x + 2) = 0$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 120 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10(t/m)\\x = - 12(l)\end{array} \right.$
Vậy vậy tốc của người đi xe đạp trên đoạn đường cuối của đoạn $AB$ là 12 km/h
Một ô tô đi từ tỉnh \(A\) đến tỉnh $B$ cách nhau \(120\,\) km. Cùng lúc đó có một xe máy chạy từ \(B\) trở về \(A\) và gặp xe ô tô tại một tỉnh \(C\) cách một trong hai điểm khởi hành \(75\) km. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng nếu vận tốc của hai xe không đổi và xe máy khởi hành trước ô tô \(48\) phút thì sẽ gặp nhau ở giữa quãng đường.
Gọi vận tốc của ô tô là $x\left( {km/h} \right){\rm{ }}\left( {x > 0} \right)$
Vì hai xe cùng xuất phát nên khi hai xe gặp nhau thì thời gian đi của hai xe là bằng nhau và khi đó ô tô đi được $75km$ còn xe máy đi được $45km.$
Thời gian ô tô và xe máy đi cho đến khi gặp nhau là $\dfrac{{75}}{x}$(h)
Vận tốc của xe máy là $45:\dfrac{{75}}{x} = \dfrac{{3{\rm{x}}}}{5}$(km/h)
Nếu xe máy đi trước ô tô $48$ phút = $\dfrac{4}{5}$(h) thì quãng đường đi được của 2 xe bằng nhau và bằng $60km$
Thời gian đi quãng đường $60km$ của ô tô là: $\dfrac{{60}}{x}$(h)
Thời gian đi quãng đường $60km$ của xe máy là: $60:\dfrac{{3{\rm{x}}}}{5} = \dfrac{{100}}{x}$(h)
Theo bài ra ta có phương trình: $\dfrac{{100}}{x} - \dfrac{{60}}{x} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{40}}{x} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow x = 50\,\,\left( {TM} \right)$
Vậy vận tốc của ô tô là $50{\rm{ }}km/h,$ vận tốc của xe máy là $30{\rm{ }}km/h.$
