Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao của các đường:
Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao 3 đường phân giác trong.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường:
Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao 3 đường trung trực.
Phát biểu nào sau đây đúng nhất
Mỗi tam giác luôn có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp ⇒ Câu A đúng
Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn nội tiếp ⇒ Câu B sai
Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác không phải lúc nào cũng là đường tròn nội tiếp tam giác (mà có thể là đường tròn bàng tiếp) ⇒ Câu D sai
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh bằng 2 có bán kính là.
Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow O\) là tâm của hình vuông
Vì ABCD là hình vuông nên 2 đường chéo vuông góc với nhau, đồng thời chúng bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường \( \Rightarrow OA \bot OB\) và OA = OB
\( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O
Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp (O), ta có $AB = OA\sqrt 2 = R\sqrt 2 \Rightarrow R = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) cạnh \(a\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) . Tính bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) theo \(a.\)
Ta có \(AB = BC = CD = DE = EF = FA\) nên số đo cung \(AB = \dfrac{1}{6}\) số đo cả đường tròn
Hay \(\widehat {AOB} = \dfrac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ \) .
Suy ra tam giác \(AOB\) đều nên \(OA = OB = AB = a.\)
Vậy bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) là \(a.\)
Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính \(5\,cm\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
+ Vì \(AB = BC = CD = DE = EA\) nên các cung \(AB,BC,CD,DE,EA\) bằng nhau
Suy ra \(\widehat {AOB} = \dfrac{1}{5}.360^\circ = 72^\circ \)
+) Xét tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) có \(OF\) là đường cao cũng là đường phân giác nên \(\widehat {BOF} = 36^\circ \)
Ta có \(FB = OB.\sin \widehat {BOF} = 5.\sin 36^\circ \Rightarrow AB = 2FB = 10.\sin 36^\circ \approx 5,9\,cm\)
Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính \(5\,cm\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều \(ABCDE\), đường cao \(OF \bot AB\) . Khi đó bán kính của \(\left( O \right)\) là \(OF = 5\,cm\) .
Ta có \(\widehat {AOB} = \dfrac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BOF} = 36^\circ \)
Xét tam giác \(OFB\) có \(FB = OF.\tan 36^\circ = 5.\tan 36^\circ \Rightarrow AB = 10.\tan 36^\circ \approx 7,3\) \(cm\) .
Tính cạnh của hình vuông nội tiếp \(\left( {O;3} \right)\)
Gọi \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) suy ra $O$ là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Từ đó \(R = OA = \dfrac{{AC}}{2} \Rightarrow AC = 2.3 = 6cm\)
Theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow A{C^2} = {a^2} + {a^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 2{a^2}\)\( \Leftrightarrow AC = a\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow a\sqrt 2 = 6 \Rightarrow a = 3\sqrt 2 .\)
Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\)
+ Gọi tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\) .
Khi đó \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(O\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên \(AO = 2cm\) .
Gọi \(AH\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow \dfrac{2}{3}AH = AO = 2cm \Rightarrow AH = 3cm\)
+ Theo định lý Pytago ta có \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Mà \(AH = 3cm \Rightarrow 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 cm\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}3.2\sqrt 3 = 3\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\)
Gọi r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của một tam giác đều. Tỷ số $\dfrac{r}{R}$ bằng:
Giả sử tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại H
\( \Rightarrow IH \bot BC\)
Vì ABC là tam giác đều nên I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
\( \Rightarrow IH\) là trung trực BC
\( \Rightarrow H\) là trung điểm BC
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên BI là phân giác của $\widehat{ABC} \Rightarrow \widehat{IBH} = \dfrac{{\widehat{ ABC}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ $
Xét tam giác \(IHB\) ta có
$\dfrac{r}{R} = \dfrac{{IH}}{{IB}} = \sin \widehat{ IBH} = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$
Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn
Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác .
Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là
Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh \(a\) có bán kính là
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) , \(E;\,F;K;\,G\) là trung điểm của \(AD,\,DC,\,BC,\,AB\)
Khi đó ta có \(OE = OF = OK = OG = \dfrac{a}{2}\) . Hay \(O\) là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\) .
Bán kính đường tròn là \(R = \dfrac{a}{2}\) .
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) . Tính số đo góc \(AOB\) .
Ta có \(AB = BC = CD = DE = EF = FA\) nên số đo cung \(AB = \dfrac{1}{6}\) số đo cả đường tròn
Hay \(\widehat {AOB} = \dfrac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ \) .
Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính \(4\,cm\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
+ Vì \(AB = BC = CD = DE = EA\) nên các cung \(AB,BC,CD,DE,EA\) bằng nhau
Suy ra \(\widehat {AOB} = \dfrac{1}{5}.360^\circ = 72^\circ \)
+) Xét tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) có \(OF\) là đường cao cũng là đường phân giác nên \(\widehat {BOF} = 36^\circ \)
Ta có \(FB = OB.\sin \widehat {BOF} = 4.\sin 36^\circ \Rightarrow AB = 2FB = 8\sin 36^\circ \approx 4,7\,cm\)
Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính \(4\,cm\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Gọi \(O\) là tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều \(ABCDE\), đường cao \(OF \bot AB.\)
Khi đó bán kính của \(\left( O \right)\) là \(OF = 4\,cm\) .
Ta có \(\widehat {AOB} = \dfrac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BOF} = 36^\circ \)
Xét tam giác \(OFB\) có \(FB = OF.\tan 36^\circ = 4.\tan 36^\circ \Rightarrow AB = 8.\tan 36^\circ \approx 5,8 \,cm.\)
Tính cạnh của hình vuông nội tiếp \(\left( {O;R} \right)\)
Gọi \(ABCD\) làhình vuông cạnh \(a\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) suy ra $O$ là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Từ đó \(R = OA = \dfrac{{AC}}{2} \Rightarrow AC = 2R\)
Theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow A{C^2} = {a^2} + {a^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 2{a^2}\)
\( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 = 2R \Rightarrow a = \sqrt 2 R\).
Tính độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp \(\left( {O;R} \right)\) theo \(R.\)
+ Gọi tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) .
Khi đó \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) . Gọi \(AH\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow R = AO = \dfrac{2}{3}AH \Rightarrow AH = \dfrac{{3R}}{2}\)
+ Theo định lý Pytago ta có \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Từ đó ta có \(\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a = \sqrt 3 R\)
Cho \(\left( {O;4} \right)\) có dây \(AC\) bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây \(BC\) bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó ( điểm \(C\) và \(A\) nằm cùng phía với \(BO\) ). Tính số đo góc \(ACB\)
+ Vì \(AC\) bằng cạnh của hình vuông nội tiếp \(\left( O \right)\) nên số đo cung \(AC = 90^\circ \)
Vì \(BC\) bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp \(\left( O \right)\) nên số đo cung \(BC = 120^\circ \)
Từ đó suy ra số đo cung \(AB = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ \)
+ Vì \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\) nên \(\widehat {ACB} = \dfrac{{30^\circ }}{2} = 15^\circ \)
Cho ngũ giác đều \(ABCDE\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BE\) . Khi đó hệ thức nào dưới đây là đúng?
Vì \(AB = AE\) (do \(ABCDE\) là ngũ giác đều ) nên cung \(AB = \) cung \(AE\)
Xét tam giác \(AKB\) và tam giác \(ABC\) có
\(\widehat A\) chung và \(\widehat {KBA} = \widehat {KCB}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau \(AB,AE\) )
Suy ra \(\Delta AKB\backsim\Delta ABC\left( {g - g} \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow A{B^2} = AK.AC\) .
Mà $AB = BC$ nên \(B{C^2} = AK.AC\) .
Theo bất đẳng thức tam giác thì \(AB + BC > AC\) nên C sai
Vì \(ABCDE\) là ngũ giác đều nên \(BC \ne OB\) nên B sai.
