Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao 3 đường phân giác trong.

Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao 3 đường trung trực.

Mỗi tam giác luôn có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp ⇒ Câu A đúng

Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn nội tiếp ⇒ Câu B sai

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác không phải lúc nào cũng là đường tròn nội tiếp tam giác (mà có thể là đường tròn bàng tiếp) ⇒ Câu D sai

Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn $\left( O \right) \Rightarrow O$  là tâm của hình vuông

Vì ABCD là hình vuông nên 2 đường chéo vuông góc với nhau, đồng thời chúng bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow OA \bot OB$ và OA = OB

$\Rightarrow \Delta OAB$ vuông cân tại O

Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp (O), ta có $AB = OA\sqrt 2  = R\sqrt 2  \Rightarrow R = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2$

Ta có $AB = BC = CD = DE = EF = FA$ nên số đo cung $AB = \dfrac{1}{6}$ số đo cả đường tròn

Hay $\widehat {AOB} = \dfrac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ$ .

Suy ra tam giác $AOB$ đều nên $OA = OB = AB = a.$

Vậy bán kính đường tròn $\left( O \right)$ là $a.$

+ Vì $AB = BC = CD = DE = EA$ nên các cung $AB,BC,CD,DE,EA$ bằng nhau

Suy ra $\widehat {AOB} = \dfrac{1}{5}.360^\circ  = 72^\circ$ 

+) Xét tam giác $AOB$ cân tại $O$ có $OF$ là đường cao cũng là đường phân giác nên $\widehat {BOF} = 36^\circ$

Ta có $FB = OB.\sin \widehat {BOF} = 5.\sin 36^\circ  \Rightarrow AB = 2FB = 10.\sin 36^\circ  \approx 5,9\,cm$

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều $ABCDE$, đường cao $OF \bot AB$ . Khi đó bán kính của $\left( O \right)$ là $OF = 5\,cm$ .

Ta có $\widehat {AOB} = \dfrac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ$$\Rightarrow \widehat {BOF} = 36^\circ$

Xét tam giác $OFB$ có $FB = OF.\tan 36^\circ  = 5.\tan 36^\circ  \Rightarrow AB = 10.\tan 36^\circ  \approx 7,3$ $cm$ .

Gọi $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nội tiếp đường tròn  $\left( O \right)$ suy ra $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$

Từ đó $R = OA = \dfrac{{AC}}{2} \Rightarrow AC = 2.3 = 6cm$

Theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow A{C^2} = {a^2} + {a^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 2{a^2}$$\Leftrightarrow AC = a\sqrt 2$

$\Rightarrow a\sqrt 2  = 6 \Rightarrow a = 3\sqrt 2 .$

+ Gọi tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;2cm} \right)$ .

Khi đó $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $O$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $AO = 2cm$  .

 Gọi $AH$ là đường trung tuyến $\Rightarrow \dfrac{2}{3}AH = AO = 2cm \Rightarrow AH = 3cm$

+ Theo định lý Pytago ta có $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Mà $AH = 3cm \Rightarrow 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 cm$

Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}3.2\sqrt 3  = 3\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)$

Giả sử tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại H

$\Rightarrow IH \bot BC$

Vì ABC là tam giác đều nên I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

$\Rightarrow IH$  là trung trực BC

$\Rightarrow H$  là trung điểm BC

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên BI là phân giác của $\widehat{ABC} \Rightarrow \widehat{IBH} = \dfrac{{\widehat{ ABC}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$

Xét tam giác $IHB$ ta có

$\dfrac{r}{R} = \dfrac{{IH}}{{IB}} = \sin \widehat{ IBH} = \sin 30^\circ  = \dfrac{1}{2}$

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác .

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ , $E;\,F;K;\,G$ là trung điểm của $AD,\,DC,\,BC,\,AB$

Khi đó ta có $OE = OF = OK = OG = \dfrac{a}{2}$ . Hay $O$ là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ .

Bán kính đường tròn là $R = \dfrac{a}{2}$ .

Ta có $AB = BC = CD = DE = EF = FA$ nên số đo cung $AB = \dfrac{1}{6}$ số đo cả đường tròn

Hay $\widehat {AOB} = \dfrac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ$ .

+ Vì $AB = BC = CD = DE = EA$ nên các cung $AB,BC,CD,DE,EA$ bằng nhau

Suy ra $\widehat {AOB} = \dfrac{1}{5}.360^\circ  = 72^\circ$ 

+) Xét tam giác $AOB$ cân tại $O$ có $OF$ là đường cao cũng là đường phân giác nên $\widehat {BOF} = 36^\circ$

Ta có $FB = OB.\sin \widehat {BOF} = 4.\sin 36^\circ  \Rightarrow AB = 2FB = 8\sin 36^\circ  \approx 4,7\,cm$ 

Gọi $O$ là tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều $ABCDE$, đường cao $OF \bot AB.$

Khi đó bán kính của $\left( O \right)$ là $OF = 4\,cm$ .

Ta có $\widehat {AOB} = \dfrac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ$ $\Rightarrow \widehat {BOF} = 36^\circ$

Xét tam giác $OFB$ có $FB = OF.\tan 36^\circ  = 4.\tan 36^\circ  \Rightarrow AB = 8.\tan 36^\circ  \approx 5,8 \,cm.$ 

Gọi $ABCD$ làhình vuông cạnh $a$ nội tiếp đường tròn  $\left( O \right)$ suy ra $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$

Từ đó $R = OA = \dfrac{{AC}}{2} \Rightarrow AC = 2R$

Theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow A{C^2} = {a^2} + {a^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 2{a^2}$

$\Rightarrow AC = a\sqrt 2  = 2R \Rightarrow a = \sqrt 2 R$.

+ Gọi tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$ .

Khi đó $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Gọi $AH$ là đường trung tuyến $\Rightarrow R = AO = \dfrac{2}{3}AH \Rightarrow AH = \dfrac{{3R}}{2}$

+ Theo định lý Pytago ta có $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Từ đó ta có $\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a = \sqrt 3 R$ 

+ Vì $AC$ bằng cạnh của hình vuông nội tiếp $\left( O \right)$ nên số đo cung $AC = 90^\circ$

Vì $BC$ bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp $\left( O \right)$ nên số đo cung $BC = 120^\circ$

Từ đó suy ra số đo cung $AB = 120^\circ  - 90^\circ  = 30^\circ$

+ Vì $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$ nên $\widehat {ACB} = \dfrac{{30^\circ }}{2} = 15^\circ$ 

Vì $AB = AE$ (do $ABCDE$ là ngũ giác đều ) nên cung $AB =$ cung $AE$

Xét tam giác $AKB$ và tam giác $ABC$ có

$\widehat A$ chung và $\widehat {KBA} = \widehat {KCB}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AB,AE$ )

Suy ra $\Delta AKB\backsim\Delta ABC\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow A{B^2} = AK.AC$ .

Mà $AB = BC$ nên $B{C^2} = AK.AC$ .

Theo bất đẳng thức tam giác thì $AB + BC > AC$ nên C sai

Vì $ABCDE$ là ngũ giác đều nên $BC \ne OB$ nên B sai.