Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn $\left( {O;2cm} \right)$

+ Gọi tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;2cm} \right)$ .

Khi đó $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $O$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $AO = 2cm$  .

 Gọi $AH$ là đường trung tuyến $\Rightarrow \dfrac{2}{3}AH = AO = 2cm \Rightarrow AH = 3cm$

+ Theo định lý Pytago ta có $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Mà $AH = 3cm \Rightarrow 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 cm$

Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}3.2\sqrt 3  = 3\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)$