Cung chứa góc

Quỹ tích các điểm $M$ nhìn đoạn thẳng $CD$ cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính $CD.$

Quan sát hình vẽ ta thấy các điểm $B,D$ thuộc cung chứa góc ${80^0}$ dựng trên đoạn $AC$, còn điểm $E$ thuộc cung chứa góc ${75^0}$ dựng trên đoạn $AC$.

Do đó chỉ có đáp án $2$ điểm $B,D$ cùng thuộc cung chứa góc ${80^0}$ dựng trên đoạn $AC$ là đúng

Ta có $\widehat A = 60^\circ  \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 120^\circ$ nên $\widehat {BDC} + \widehat {DBC} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {BDC} = 120^\circ$  

 Quỹ tích của điểm D là hai cung chứa góc $120^0$ dựng trên đoạn BC.

Tam giác ABC có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$  (tính chất tổng 3 góc trong tam giác) $\Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ  \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\widehat B + \dfrac{1}{2}\widehat C = 45^\circ$

Vì M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên BM, CM là phân giác các góc $\widehat B,\widehat C$.

Suy ra ta có: $\widehat {MBC} + \widehat {MCB} = {45^0}$

 Xét tam giác BMC có: $\widehat {MBC} + \widehat {MCB} + \widehat {CMB} = {180^0}$$\Leftrightarrow \widehat {CMB} = {180^0} - {45^0} = {135^0}$

* Ta có  B, C cố định $\widehat {CMB} = {135^0}$  không đổi

$\Rightarrow$   Quỹ tích điểm M là 2 cung chứa góc ${135^0}$dựng trên BC.

Xét hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra  $AO \bot BO \Rightarrow$ $\widehat {AOB} = {90^\circ }$

Ta có $\widehat {AOB} = {90^0}$   không đổi mà $A,B$ cố định

$\Rightarrow$  Quỹ tích điểm $O$ là nửa đường tròn đường kính $AB$ trừ hai điểm $A$ và $B.$

Vẽ tam giác $AMN$ đều ($N$ khác phía $C$ đối với $AM$ ).

Xét $\Delta BNA$ và $\Delta AMC$ có:

$AN = AM$ (vì tam giác $AMN$ đều)

$BA = BC$ (vì tam giác $ABC$ đều)

$\widehat {NAB} = \widehat {MAC}$ (vì cùng bằng ${60^\circ } - \widehat {BAM}$ )

Suy ra $\Delta ANB = \Delta AMC(c.g.c)$ nên ta có $NB = MC$.

Ta có:   $M{B^2} = M{A^2} + M{C^2} = M{N^2} + N{B^2}$ nên $\widehat {MNB} = {90^\circ }$. 

Suy ra $\widehat {BNA} = {90^0} + {60^0} = {150^0}$, do đó $\widehat {AMC} = \widehat {BNA} = {150^0}$.

$B,C$ cố định

$\Rightarrow$  Quỹ tích điểm $M$ là hai cung chứa góc ${150^0}$ dựng trên$AC$ , trừ hai điểm $A$ và$C$ .

Vẽ tam giác $MBD$ vuông cân tại $B$ ($M$ và $D$ khác phía đối với $BC$ ).

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CBD$ có:

$BM = BD$ (vì tam giác $MBD$ vuông cân tại $B$ )

$BA = BC$ (vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ )

$\widehat {MBA} = \widehat {CBD}$ (vì cùng bằng ${90^\circ } - \widehat {MBC}$ )

Suy ra $\Delta ABM = \Delta CBD(c - g - c)$ nên ta có $AM = CD$.

Ta có:  $2M{B^2} = M{A^2} - M{C^2}$

$\Rightarrow 2M{B^2} + M{C^2} = M{A^2}$$\Rightarrow {\left( {MB\sqrt 2 } \right)^2} + M{C^2} = C{D^2}$$\Rightarrow M{D^2} + M{C^2} = C{D^2}$

nên $\widehat {DMC} = {90^0}$.  Suy ra $\widehat {BMC} = \widehat {BMD} + \widehat {DMC}$$= 45^\circ  + 90^\circ  = {135^0}$.  Mà $B,C$ cố định

$\Rightarrow$ Quỹ tích điểm M là cung chứa góc ${135^0}$ dựng trên $BC$ , trừ hai điểm $B$ và $C$ .

Tam giác $AMB$ vuông tại$M$ , ta có $\widehat {AMB} = {90^\circ }$. Mặt khác ta có: $\widehat {AMB} + \widehat {IMB} = {180^\circ },$ suy ra $\widehat {IMB} = {90^\circ }$

hay tam giác $BMI$ vuông tại$M$ . Trong tam giác vuông $BMI$ ta có $tan\widehat {MIB} = \dfrac{{MB}}{{MI}} = \dfrac{2}{3}$

Suy ra $\widehat {MIB} = {a^0}$ không đổi hay $\widehat {AIB} = {a^0}$ không đổi. Mà $A,B$ cố định

$\Rightarrow$ Quỹ tích điểm $I$ là $2$  cung chứa góc ${a^0}$ dựng trên $AB$ với $\tan a = \dfrac{2}{3}$

Do $ABCD$ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, do đó hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $O$

Suy ra  $AO \bot BO \Rightarrow$ $\widehat {AOB} = {90^\circ }$

Ta có $\widehat {AOB} = {90^0}$   không đổi, A, B cố định

$\Rightarrow$  Quỹ tích điểm O là đường tròn đường kính AB.

Nếu $C \equiv A$ thì $O \equiv A$ nên $A$ thuộc quỹ tích.

Nếu $C$ đối xứng với $A$ qua $B$ thì $O \equiv B$.

Vậy hai điểm $A,B$ cũng thuộc quỹ tích         

Quỹ tích các điểm $M$ nhìn đoạn thẳng $AB$ cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính $AB$.

Với đoạn thẳng $AB$ và góc $\alpha$ $\left( {0^\circ  < \alpha  < 180^\circ } \right)$ cho trước thì quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $\widehat {AMB} = \alpha$ là hai cung chứa góc $\alpha$ dựng trên đoạn $AB$.

Hai cung chứa góc $\alpha$ nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua $AB$. Hai điểm $A,B$ được coi là thuộc quỹ tích.

Ta có $\widehat A = 50^\circ  \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 130^\circ$ nên $\widehat {BDC} + \widehat {DBC} = \dfrac{{130^\circ }}{2} = 65^\circ  \Rightarrow \widehat {BDC} = 115^\circ$  

Quỹ tích của điểm $D$ là hai cung chứa góc $115^\circ$ dựng trên đoạn $BC$.

Xét hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra  $AO \bot BO \Rightarrow$  $\widehat {AOB} = {90^0}$

Ta có $\widehat {AOB} = {90^0}$   không đổi mà $A,B$ cố định

$\Rightarrow$  Quỹ tích điểm $O$ là nửa đường tròn đường kính $AB$ trừ hai điểm $A$ và $B.$

Các tam giác $\Delta ANE,\,\Delta AMC,\,\Delta BMD$  lần lượt vuông cân tại $N,M,M$ nên $\widehat {AEB} = \widehat {ADB} = \widehat {ACB} = 45^\circ$

Mà $AB$ cố định nên các điểm $A,B,C,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

Ta có $\Delta DEC = \Delta BFC\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow \widehat {EDC} = \widehat {EBM}$ $\Rightarrow \widehat {EDC} + \widehat {DEC} = \widehat {EBM} + \widehat {BEM} \Rightarrow \widehat {EMB} = 90^\circ$

Hay $\widehat {BMD} = 90^\circ$  nên $M$ thuộc đườngtròn đường kính$BD$ . Mà $E \in BC$ nên quỹ tích của điểm $M$ là cung $BC$  của đường tròn đường kính $BD$ .

Vẽ tam giác $BMN$ đều ($N$ khác phía $C$ đối với$BM$ ).

Xét $\Delta BNA$ và $\Delta BMC$ có:

$BN = BM$ (vì tam giác $BMN$ đều)

$BA = BC$ (vì tam giác $ABC$ đều)

$\widehat {NBA} = \widehat {MBC}$ (vì cùng bằng ${60^0\ } - \widehat {ABM}$ )

Suy ra $\Delta BNA = \Delta BMC(c.g.c)$ nên ta có $NA = MC$.

Ta có:   $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2} = M{N^2} + N{A^2}$ nên $\widehat {MNA} = {90^0}$. 

Suy ra $\widehat {BNA} = {90^0} + {60^0} = {150^0}$, do đó $\widehat {BMC} = \widehat {BNA} = {150^0}$.

$B,C$ cố định

$\Rightarrow$  Quỹ tích điểm $M$ là hai cung chứa góc ${150^0}$ dựng trên$BC$ , trừ hai điểm $B$ và $C$ .

Vẽ tam giác $MAD$ vuông cân tại $A$ ($M$ và $D$ khác phía đối với$AC$ ).

Xét $\Delta BAM$ và $\Delta CAD$ có:

$AM = AD$ (vì tam giác $MAD$ vuông cân tại$A$ )

$BA = AC$ (vì tam giác $ABC$ vuông cân tại$A$ )

$\widehat {MAB} = \widehat {CAD}$ (vì cùng bằng ${90^0} - \widehat {MAC}$ )

Suy ra $\Delta BAM = \Delta CAD(c - g - c)$ nên ta có $BM = CD$.

Ta có:  $2M{A^2} = M{B^2} - M{C^2}$

$\Rightarrow 2M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} \Rightarrow {\left( {MA\sqrt 2 } \right)^2} + M{C^2} = C{D^2} \Rightarrow M{D^2} + M{C^2} = C{D^2}$

nên $\widehat {DMC} = {90^0}$.  Suy ra $\widehat {AMC} = {135^0}$.  Mà $A,C$ cố định

$\Rightarrow$ Quỹ tích điểm M là cung chứa góc ${135^0}$ dựng trên$AC$ , trừ hai điểm $A$ và$C$ .

$AH \bot BC,AE \bot CD \Rightarrow$ bốn điểm $A,H,C,E$ nằm trên đường tròn đường kính$AC$ , $I$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow$ $I$ là tâm đường tròn đường kính $AC$

$\Rightarrow \widehat {HIE} = 2\widehat {HAE} = 2\left( {\widehat {HAC} + \widehat {EAC}} \right)$ $= 2\left( {{{90}^0} - \widehat {ACB} + {{90}^0} - \widehat {ACE}} \right) = 2\left( {{{180}^0} - \widehat {BCD}} \right)$

Lại có $AH \bot BC,AK \bot BD,AE \bot CD$ nên  bốn đỉnh $A,K,E,D$ nằm trên đường tròn đường kính $AD$ và  bốn đỉnh $A;K;H;B$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ $\Rightarrow \widehat {EKD} = \widehat {EAD}$ và $\widehat {BKH} = \widehat {BAH}$

$\Rightarrow \widehat {HKE} = {180^0} - \widehat {EKD} - \widehat {BKH} = {180^0} - \widehat {EAD} - \widehat {BAH}\\ = {90^0} - \widehat {EAD} + {90^0} - \widehat {BAH} = \widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 2\left( {{{180}^0} - \widehat {BCD}} \right)$

Suy ra $K$ và $I$ cùng nhìn đoạn $HE$ dưới một góc $2\left( {{{180}^0} - \widehat {BCD}} \right)$

Vậy $K,I,E,H$ nằm trên một đường tròn.

Tam giác $AMB$ vuông tại$M$ , ta có $\widehat {AMB} = {90^0 }$. Mặt khác ta có: $\widehat {AMB} + \widehat {IMB} = {180^0 },$ suy ra $\widehat {IMB} = {90^0 }$

hay tam giác $BMI$ vuông tại $M$ . Trong tam giác vuông $BMI$ ta có $\tan\widehat {MIB} = \dfrac{{MB}}{{MI}} = \dfrac{1}{2}$

Suy ra $\widehat {MIB} = {a^0}$ không đổi hay $\widehat {AIB} = {a^0}$ không đổi. Mà $A,B$ cố định

$\Rightarrow$ Quỹ tích điểm $I$ là $2$  cung chứa góc ${a^0}$ dựng trên $AB$ với $\tan a = \dfrac{1}{2}.$

Theo giả thiết ta có:$\widehat {PBA} + \widehat {PCA} = \widehat {PBC} + \widehat {PCB} \Rightarrow \widehat {PBA} + \widehat {PCA} + \widehat {PBC} + \widehat {PCB} = 2\left( {\widehat {PBC} + \widehat {PCB}} \right)$

$\Rightarrow 2\left( {\widehat {PBC} + \widehat {PCB}} \right) = \widehat B + \widehat C \Rightarrow 2\left( {{{180}^0} - \widehat {BPC}} \right) = \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat {BAC}$$\Rightarrow \widehat {BPC} = {90^0} + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}$

Mặt khác $\widehat {BIC} = {180^0} - \left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = {180^0} - \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right)$

$= {180^0} - \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - \widehat {BAC}} \right) = {90^0} + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}$

Suy ra $P$ và $I$ luôn nhìn đoạn $BC$ về cùng một phía dưới cùng một góc ${90^0} + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}$.