Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Vì đường kính $d = 8\,cm$ nên bán kính hình cầu $R = \dfrac{8}{2} = 4\,\,cm$

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.4^2} = 64\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Ta có $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 972\pi  \Rightarrow {R^3} = 729 \Rightarrow R = 9\,cm$

Từ đó đường kính mặt cầu là $d = 2R = 2.9 = 18\,cm$

Từ giả thiết ta có $4\pi {R^2} = 2.\dfrac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = \dfrac{3}{2}{R^2} \Rightarrow R = \dfrac{3}{2}$

Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón  bằng nhau nên từ giả thiết ta có $4\pi {R^2} = \pi Rl + \pi {R^2} \Leftrightarrow 4{R^2} = Rl + {R^2} \Leftrightarrow 3{R^2} = Rl \Rightarrow l = 3R = 3.5 = 15\,cm$

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có ${h^2} = {l^2} - {R^2} = {15^2} - {5^2} = 200 \Rightarrow h = 10\sqrt 2 \,\,cm$

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên $h = 2R$ với $R$ là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ , diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}$

Diện tích toàn phần của hình trụ là ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2\pi {R^2} = 4\pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2}$

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ là $\dfrac{S}{{{S_{tp}}}} = \dfrac{{4\pi {R^2}}}{{6\pi {R^2}}} = \dfrac{2}{3}$ .

Từ đề bài suy ra chiều cao hình trụ là $h = 3R$ với $R$ là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích hình cầu ${V_c} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ ; thể tích khối trụ ${V_t} = \pi {R^2}.3R = 3\pi {R^3}$

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là $\dfrac{{{V_c}}}{{{V_t}}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}}{{3\pi {R^3}}} = \dfrac{4}{9}$ .

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu $R = \dfrac{a}{2}$  với $a$ là cạnh hình lập phương.

Diện tích toàn phần của hình lập phương ${S_{tp}} = 6{a^2} = 24 \Leftrightarrow a = 2cm$

Suy ra $R = \dfrac{2}{2} = 1cm$

Khi đó ta có diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.1^2} = 4\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên  có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính $BC$ .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R = \dfrac{{BC}}{2}$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {2.6^2} \Rightarrow BC = 6\sqrt 2$$\Rightarrow R = \dfrac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$ ta được hình cầu có bán kính $R = 3\sqrt 2$  nên diện tích mặt cầu là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 72\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$ .

Vì $\Delta ABC$ là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm $O$ của tam giác.

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là $R = OH = \dfrac{{AH}}{3}$

Xét tam giác vuông $ABH$ có $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {12^2} - {\left( {\dfrac{{12}}{2}} \right)^2} = 108 \Rightarrow AH = 6\sqrt 3$

Suy ra $R = \dfrac{{AH}}{3} = 2\sqrt 3$

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh $AH$ ta được hình cầu bán kính $R = 2\sqrt 3$$\Rightarrow V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\pi \sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)$

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ . Khi đó bán kính đường tròn là $R = OA = \dfrac{{AC}}{2}$

Theo định lý Pytago ta có $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow AC = 10$ (vì $AB = DC = 8\,cm$ )$\Rightarrow R = 5cm$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ quay quanh đường thẳng $MN$ với $M$ là trung điểm $AD$ , $N$ là trung điểm $BC$ ta được một hình cầu tâm $O$ bán kính $R = 5cm$

Diện tích mặt cầu là $S = 4\pi {R^2} = 4.\pi {5^2} = 100\pi$ $\left( {cm} \right)$ .

Vì đường kính $d = 6\,cm$ nên bán kính hình cầu $R = \dfrac{6}{2} = 3\,\,cm$

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Ta có $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi  \Rightarrow {R^3} = 216 \Rightarrow R = 6\,cm$

Từ đó đường kính mặt cầu là $d = 2R = 2.6 = 12\,cm$.

Từ giả thiết ta có $4\pi {R^2} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = 3{R^2} \Rightarrow R = 3\,$

Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón  bằng nhau nên từ giả thiết ta có $4\pi {R^2} = \pi Rl + \pi {R^2} \Leftrightarrow 4{R^2} = Rl + {R^2} \Leftrightarrow 3{R^2} = Rl \Rightarrow l = 3R = 3.3 = 9\,cm$

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có ${h^2} = {l^2} - {R^2} = {9^2} - {3^2} = 72$

$\Rightarrow h = 6\sqrt 2 \,\,cm$.

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên $h = 2R$ với $R$ là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ , diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}$

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là $\dfrac{S}{{{S_{xq}}}} = \dfrac{{4\pi {R^2}}}{{4\pi {R^2}}} = 1$ .

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên $h = 2R$ với $R$ là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích hình cầu ${V_c} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ ; thể tích khối trụ ${V_t} = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}$

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là $\dfrac{{{V_c}}}{{{V_t}}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}}{{2\pi {R^3}}} = \dfrac{2}{3}$ .

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu $R = \dfrac{a}{2}$  với $a$ là cạnh hình lập phương.

Khi đó ta có diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}$

Diện tích toàn phần của hình lập phương ${S_{tp}} = 6{a^2}$

Tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương là $\dfrac{S}{{{S_{tp}}}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{6{a^2}}} = \dfrac{\pi }{6}$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên  có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính $BC$ .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R = \dfrac{{BC}}{2}$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 2$ $\Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$ ta được hình cầu có bán kính $R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$  nên diện tích mặt cầu là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2\pi {a^2}$ .

Vì $\Delta ABC$ là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm $O$ của tam giác.

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là $R = OH = \dfrac{{AH}}{3}$

Xét tam giác vuông $ABH$ có $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh $AH$ ta được hình cầu bán kính $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$$\Rightarrow V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}$ 

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ . Khi đó bán kính đường tròn là $R = OA = \dfrac{{AC}}{2}$

Theo định lý Pytago ta có $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow AC = 5$ (vì $AB = DC = 4\,cm$ )$\Rightarrow R = \dfrac{5}{2}$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ quay quanh đường thẳng $MN$ với $M$ là trung điểm $AD$ , $N$ là trung điểm $BC$ ta được một hình cầu tâm $O$ bán kính $R = \dfrac{5}{2}$

Diện tích mặt cầu là $S = 4\pi {R^2} = 4.\pi {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} = 25\pi$ $\left( {cm} \right)$ .