Phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) biết \(\left( {d'} \right)\) song song \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1}.{x_2} = - 24\) là:
Vì \(\left( {d'} \right)\) song song \(\left( d \right)\) nên \(\left( {d'} \right)\) có dạng \(y = 5x + b\,\,\,\left( {b \ne 6} \right)\) (1)
Hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) là nghiệm của phương trình:
\( - {x^2} = 5x + b \Leftrightarrow {x^2} + 5x + b = 0\,\,\left( * \right)\).
\(\left( {d'} \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Rightarrow \) \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {5^2} - 4b > 0 \Leftrightarrow b < \dfrac{{25}}{4}\) (2)
Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có \({x_1}.{x_2} = b \Rightarrow b = - 24 < \dfrac{{25}}{4}\), thỏa mãn (1) và (2).
Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) cần tìm là: \(\left( {d'} \right):y = 5x - 24\).
Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:
Hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình:
\( - {x^2} = 5x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.6 = 1 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + 1}}{2} = - 2\\x = \dfrac{{ - 5 - 1}}{2} = - 3\end{array} \right.\).
Với \(x = - 2 \Rightarrow y = - {\left( { - 2} \right)^2} = - 4\).
Với \(x = - 3 \Rightarrow y = - {\left( { - 3} \right)^2} = - 9\).
Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(A\left( { - 2; - 4} \right),\,\,B\left( { - 3; - 9} \right)\).
Tìm tọa độ giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $ d$.
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 3 \Rightarrow y = {3^2} = 9\end{array} \right.$
Giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$.
Với giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $d$ ở câu trước . Gọi $C,D$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $Ox$. Tính diện tích tứ giác ${\rm{ABDC}}$.
Ta có $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$ nên $C\left( { - 1;0} \right);D\left( {3;0} \right)$
$ \Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 1;$
$DC = 4;BD = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9.$
Vì $AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông nên ${S_{ABDC}} = \dfrac{{\left( {AC + BD} \right).DC}}{2} = 20$ (đvdt)
Tìm tọa độ giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $ d$.
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 3 \Rightarrow y = {3^2} = 9\end{array} \right.$
Giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$.
Tìm tọa độ giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $ d$.
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 3 \Rightarrow y = {3^2} = 9\end{array} \right.$
Giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$.
Đường thẳng \(d:y = mx + n\) và parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\)\(\left( {a \ne 0} \right)\) không cắt nhau khi phương trình \(a{x^2} = mx + n\)
Đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) không cắt nhau nhau khi phương trình
\(a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0\) vô nghiệm \(\left( {\Delta < 0} \right)\)
Chọn khẳng định đúng. Nếu phương trình \(a{x^2} = mx + n\) có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(d:y = mx + n\) và parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\)
Đường thẳng \(d:y = mx + n\) và parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(a{x^2} = mx + n\) có hai nghiệm phân biệt.
Số giao điểm của đường thẳng \(d:y = 12x - 9\) và parabol \(\left( P \right):y = 4{x^2}\) là:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(4{x^2} = 12x - 9 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = 0\) có \(\Delta ' = 0 \) nên phương trình có nghiệm kép hay đường thẳng tiếp xúc với parabol tại 1 điểm.
Tìm tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = 2x - 3m - 1\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm \( - {x^2} = 2x - 3m - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3m - 1 = 0\) có \(\Delta ' = 2 + 3m\)
Để đường thẳng \(d\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right)\) thì \(\Delta = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{2}{3}\).
Tìm tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = - 2\left( {m + 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2}\) cắt parabol \(\left( P \right):y = - 2{x^2}\) tại hai điểm phân biệt
Xét phương trình hoành độ giao điểm \( - 2{x^2} = - 2\left( {m + 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2} = 0\left( * \right)\) có \(\Delta ' = 2m + 1\)
Để đường thẳng \(d:y = mx + 2\) cắt parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay \(\Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{2}.\)
Tìm tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = \dfrac{m}{2}x - \dfrac{{{m^2}}}{8} - m + 1\) và parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) không có điểm chung
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{1}{2}{x^2} = \dfrac{m}{2}x - \dfrac{{{m^2}}}{8} - m + 1 \)\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{m}{2}x + \dfrac{{{m^2}}}{8} + m - 1 = 0\) có \(\Delta = - 2m + 2\)
Để đường thẳng \(d:y = \dfrac{m}{2}x - \dfrac{{{m^2}}}{8} - m + 1\) không cắt parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) thì \(\Delta < 0 \Leftrightarrow - 2m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 1\)
Tìm \(m \in Z\) để parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) cắt đường thẳng \(d:y = \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 16\) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 16 \)\(\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 16 = 0\,\left( 1 \right)\)
\(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm \(x_1;x_2.\)
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = m - 1\\
P = {x_1}.{x_2} = - {m^2} + 16
\end{array} \right.\)
Từ yêu cầu bài toán, ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + 16} \right) > 0\\m - 1 < 0\\ - {m^2} + 16 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 + 4{m^2} - 64 > 0\\m < 1\\{m^2} < 16\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{m^2} - 2m - 63 > 0\\m < 1\\\left( {m+4} \right)\left( {m-4} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + 2\sqrt {79} }}{5} \approx 3,755\\m < \dfrac{{1 - 2\sqrt {79} }}{5} \approx - 3,355\end{array} \right.\\\\m < 1\\ - 4 < m < 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow - 4 < m < \dfrac{{1 - 2\sqrt {79} }}{5}.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Không tồn tại giá trị \(m \in Z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:y = \left( {m + 2} \right)x - m - 1\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung.
Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) : \({x^2} = \left( {m + 2} \right)x - m - 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\left( 1 \right)\)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1\).
Vậy \(m < - 1\).
Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = 5x - m - 4\) và parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 5\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = 5x - m - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có \(\Delta = 9 - 4m\)
Để đường thẳng \(d\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 9 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.\) \(({x_1}.{x_2} \ne 0 \Rightarrow m \ne - 4)\)
Ta có \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 5\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 5 \)\(\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 7{x_1}{x_2} = 0 \)\(\Leftrightarrow 25 - 7m - 28= 0 \)\(\Leftrightarrow m = -\dfrac{3}{7}\left( {TM} \right)\)
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn đề bài
Tìm tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = mx + m + 1\) và parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có tọa độ \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn \({y_1} + {y_2} > 5\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = mx + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - m - 1 = 0\) có \(\Delta = {m^2} + 4m + 4 = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0;\forall m\)
Để đường thẳng \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có tọa độ \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} > 0 \)\(\Leftrightarrow m \ne - 2\)
Ta có \({y_1} = x_1^2;{y_2} = x_2^2\).
Theo hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = - m - 1\end{array} \right.\)
Xét \({y_1} + {y_2} > 5\)\( \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 > 5\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} > 5 \)\(\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 - 5 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 > 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\m + 3 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 3 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m < - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right.\)
Kết hợp \(m \ne - 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right.\)
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m < - 3\\m > 1\end{array} \right.\) thỏa mãn đề bài.
Cho đường thẳng \(d\) :\(y = 2x - 5\) và parabol : \(\left( P \right)\)\(y = \left( {m - 1} \right){x^2}\left( {m \ne 1} \right)\). Tìm \(m\) để \(d\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) phân biệt và cùng nằm về một phía đối với trục tung.
Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( {m - 1} \right){x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2x - 3 = 0\,\left( * \right)\) có \(\Delta' = 3m - 2\); \(P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{ - 3}}{{m - 1}}\) với \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*).
Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm cùng một phía với trục tung \( \Leftrightarrow \) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - 2 > 0\\\dfrac{{ - 5}}{{m - 1}} > 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{2}{3}\\m < 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{3} < m < 1\)
Vậy \(\dfrac{2}{3} < m < 1\).
Với giao điểm \(A,B\) của\(\left( P \right)\) và \(d\) ở ý trước . Gọi \(C,D\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên \({\rm{Ox}}\). Tính diện tích tứ giác \({\rm{ABDC}}\).
Ta có \(A\left( { - 1;1} \right);B\left( {5;25} \right)\) nên \(C\left( { - 1;0} \right);D\left( {5;0} \right)\)
\( \Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 1;\)\(DC = 6;BD = \sqrt {{0^2} + {{25}^2}} = 25\)
Vì \(AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC\) là hình thang vuông nên \({S_{ABDC}} = \dfrac{{\left( {AC + BD} \right).DC}}{2} \)\(= \dfrac{{\left( {1 + 25} \right).6}}{2} = 78\) (đvdt)
Tìm tọa độ giao điểm \(A,B\) của \(\left( P \right)\) và \(d\).
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = 4x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 5 \Rightarrow y = {5^2} = 25\end{array} \right.\)
Giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là \(A\left( { - 1;1} \right);B\left( {5;25} \right)\).
Tìm tọa độ giao điểm \(A,B\) của \(\left( P \right)\) và \(d\).
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = 4x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 5 \Rightarrow y = {5^2} = 25\end{array} \right.\)
Giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là \(A\left( { - 1;1} \right);B\left( {5;25} \right)\).
