Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol

Vì $\left( {d'} \right)$ song song $\left( d \right)$ nên $\left( {d'} \right)$ có dạng $y = 5x + b\,\,\,\left( {b \ne 6} \right)$  (1)

Hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( P \right)$ và $\left( {d'} \right)$ là nghiệm của phương trình:

$- {x^2} = 5x + b \Leftrightarrow {x^2} + 5x + b = 0\,\,\left( * \right)$.

$\left( {d'} \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow$ $\Delta  > 0 \Leftrightarrow {5^2} - 4b > 0 \Leftrightarrow b < \dfrac{{25}}{4}$  (2)

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có ${x_1}.{x_2} = b \Rightarrow b =  - 24 < \dfrac{{25}}{4}$, thỏa mãn (1) và (2).

Vậy phương trình đường thẳng $\left( {d'} \right)$ cần tìm là: $\left( {d'} \right):y = 5x - 24$.

Hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là nghiệm của phương trình:

$- {x^2} = 5x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0$

Ta có: $\Delta  = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.6 = 1 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + 1}}{2} =  - 2\\x = \dfrac{{ - 5 - 1}}{2} =  - 3\end{array} \right.$.

Với $x =  - 2 \Rightarrow y =  - {\left( { - 2} \right)^2} =  - 4$.

Với $x =  - 3 \Rightarrow y =  - {\left( { - 3} \right)^2} =  - 9$.

Vậy tọa độ các giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là $A\left( { - 2; - 4} \right),\,\,B\left( { - 3; - 9} \right)$.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 3 \Rightarrow y = {3^2} = 9\end{array} \right.$

Giao điểm  của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$.

Ta có $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$ nên $C\left( { - 1;0} \right);D\left( {3;0} \right)$

$\Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 1;$

$DC = 4;BD = \sqrt {{0^2} + {9^2}}  = 9.$

Vì $AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông nên ${S_{ABDC}} = \dfrac{{\left( {AC + BD} \right).DC}}{2} = 20$ (đvdt)

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 3 \Rightarrow y = {3^2} = 9\end{array} \right.$

Giao điểm  của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 3 \Rightarrow y = {3^2} = 9\end{array} \right.$

Giao điểm  của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$.

Đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ không cắt nhau nhau khi phương trình

$a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$ vô nghiệm $\left( {\Delta  < 0} \right)$

Đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình $a{x^2} = mx + n$ có hai nghiệm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $4{x^2} = 12x - 9 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = 0$ có $\Delta ' = 0$ nên phương trình có nghiệm kép hay đường thẳng tiếp xúc với parabol tại 1 điểm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $- {x^2} = 2x - 3m - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3m - 1 = 0$ có $\Delta ' = 2 + 3m$

Để đường thẳng $d$ tiếp xúc với parabol $\left( P \right)$ thì $\Delta  = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{3}$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $- 2{x^2} =  - 2\left( {m + 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2} = 0\left( * \right)$ có $\Delta ' = 2m + 1$

Để đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt  parabol  $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$  tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay $\Delta ' > 0$$\Leftrightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{1}{2}.$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{2}{x^2} = \dfrac{m}{2}x - \dfrac{{{m^2}}}{8} - m + 1$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{m}{2}x + \dfrac{{{m^2}}}{8} + m - 1 = 0$ có $\Delta =  - 2m + 2$

Để đường thẳng $d:y = \dfrac{m}{2}x - \dfrac{{{m^2}}}{8} - m + 1$ không cắt  parabol  $\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2}$  thì $\Delta < 0 \Leftrightarrow  - 2m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 1$

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 16$$\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 16 = 0\,\left( 1 \right)$

$d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm $x_1;x_2.$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = m - 1\\ P = {x_1}.{x_2} = - {m^2} + 16 \end{array} \right.$

Từ yêu cầu bài toán, ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + 16} \right) > 0\\m - 1 < 0\\ - {m^2} + 16 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 + 4{m^2} - 64 > 0\\m < 1\\{m^2} < 16\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{m^2} - 2m - 63 > 0\\m < 1\\\left( {m+4} \right)\left( {m-4} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + 2\sqrt {79} }}{5} \approx 3,755\\m < \dfrac{{1 - 2\sqrt {79} }}{5} \approx  - 3,355\end{array} \right.\\\\m < 1\\ - 4 < m < 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow  - 4 < m < \dfrac{{1 - 2\sqrt {79} }}{5}.\end{array}$

$\Rightarrow$ Không tồn tại giá trị $m \in Z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ : ${x^2} = \left( {m + 2} \right)x - m - 1$$\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\left( 1 \right)$

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung  khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - 1$.

Vậy $m <  - 1$.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 5x - m - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + m + 4 = 0$ có $\Delta  = 9 - 4m$

Để đường thẳng $d$cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thì $\Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.$ $({x_1}.{x_2} \ne 0 \Rightarrow m \ne  - 4)$

Ta có $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 5$$\Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 5$$\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 7{x_1}{x_2} = 0$$\Leftrightarrow 25 - 7m - 28= 0$$\Leftrightarrow m = -\dfrac{3}{7}\left( {TM} \right)$

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn đề bài

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = mx + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - m - 1 = 0$ có $\Delta  = {m^2} + 4m + 4 = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0;\forall m$

Để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì $\Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} > 0$$\Leftrightarrow m \ne  - 2$

Ta có ${y_1} = x_1^2;{y_2} = x_2^2$.

Theo hệ thức Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - m - 1\end{array} \right.$

Xét ${y_1} + {y_2} > 5$$\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 > 5$$\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} > 5$$\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 - 5 > 0$$\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 > 0$$\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\m + 3 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 3 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m >  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m <  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 3\end{array} \right.$

Kết hợp $m \ne  - 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 3\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}m <  - 3\\m > 1\end{array} \right.$ thỏa mãn đề bài.

Phương trình hoành độ giao điểm $\left( {m - 1} \right){x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2x - 3 = 0\,\left( * \right)$ có $\Delta'  = 3m - 2$; $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{ - 3}}{{m - 1}}$ với ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*).

Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm cùng một phía với trục tung $\Leftrightarrow$ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - 2 > 0\\\dfrac{{ - 5}}{{m - 1}} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{2}{3}\\m < 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3} < m < 1$

Vậy $\dfrac{2}{3} < m < 1$.

Ta có $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {5;25} \right)$ nên $C\left( { - 1;0} \right);D\left( {5;0} \right)$

$\Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 1;$$DC = 6;BD = \sqrt {{0^2} + {{25}^2}}  = 25$

Vì $AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông nên ${S_{ABDC}} = \dfrac{{\left( {AC + BD} \right).DC}}{2}$$= \dfrac{{\left( {1 + 25} \right).6}}{2} = 78$ (đvdt)

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 4x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 5 \Rightarrow y = {5^2} = 25\end{array} \right.$

Giao điểm  của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {5;25} \right)$.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 4x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 5 \Rightarrow y = {5^2} = 25\end{array} \right.$

Giao điểm  của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {5;25} \right)$.