Tìm \(m \in Z\) để parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) cắt đường thẳng \(d:y = \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 16\) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.

Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 16 \)\(\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + 16 = 0\,\left( 1 \right)\)

\(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm (1) có hai nghiệm phân biệt cùng âm \(x_1;x_2.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = m - 1\\
P = {x_1}.{x_2} = - {m^2} + 16
\end{array} \right.\)

Từ yêu cầu bài toán, ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( { - {m^2} + 16} \right) > 0\\m - 1 < 0\\ - {m^2} + 16 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 + 4{m^2} - 64 > 0\\m < 1\\{m^2} < 16\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{m^2} - 2m - 63 > 0\\m < 1\\\left( {m+4} \right)\left( {m-4} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + 2\sqrt {79} }}{5} \approx 3,755\\m < \dfrac{{1 - 2\sqrt {79} }}{5} \approx  - 3,355\end{array} \right.\\\\m < 1\\ - 4 < m < 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow  - 4 < m < \dfrac{{1 - 2\sqrt {79} }}{5}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Không tồn tại giá trị \(m \in Z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.