Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol

Phương trình hoành độ giao điểm $- \dfrac{1}{2}{x^2} =  - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + m = 0$ có $\Delta  = 9 - 4m$

Để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thì $\Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = m\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Ta có $2{x_1} + 3{x_2} = 13$$\Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{13 - 3{x_2}}}{2}$ thay vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $\dfrac{{13 - 3{x_2}}}{2} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = 7 \Rightarrow {x_1} =  - 4$

Thay ${x_2} = 7;{x_1} =  - 4$ vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được $7.\left( { - 4} \right) = m \Leftrightarrow m =  - 28$ (TM )

Vậy $m =  - 28$ là  giá trị cần tìm.

Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là các hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ $\Rightarrow$ ${x_1},\,\,{x_2}$ là các nghiệm của phương trình $\left( * \right)$

$\Rightarrow x_1^2 = m{x_1} + 1$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right..$

Theo đề bài ta có: ${x_2}\left( {x_1^2 - 1} \right) = 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_2}\left( {m{x_1} + 1 - 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow m{x_1}{x_2} = 3\\ \Leftrightarrow  - m = 3\\ \Leftrightarrow m =  - 3.\end{array}$

Vậy $m =  - 3$ thỏa mãn bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là: ${x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Phương trình $\left( * \right)$ có: $\Delta  = {m^2} + 4 > 0\,\,\forall m$

$\Rightarrow \left( * \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m.$

$\Rightarrow \left( d \right)$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m.$

Gọi $A\left( {2;\,\,{y_A}} \right)$ là điểm mà đường thẳng $\left( d \right)$ và parabol $\left( P \right)$ đều đi qua.

Khi đó ta có: $A\left( {2;\,{y_A}} \right) \in \left( P \right)$ $\Rightarrow {y_A} = {2^2} = 4$$\Rightarrow A\left( {2;\,\,4} \right).$

Lại có: $A\left( {2;\,\,4} \right) \in \left( d \right)$ $\Rightarrow 4 = m.2 + 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$

Vậy $m = \dfrac{3}{2}$ thỏa mãn bài toán.

Đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ tiếp xúc với nhau khi phương trình

$a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$ có nghiệm kép  $\left( {\Delta  = 0} \right)$

Đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$ không cắt nhau  khi phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0$ có $\Delta ' = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - x - 2m = 0$ có $\Delta  = 8m + 1$

Để đường thẳng $d$ tiếp xúc với parabol $\left( P \right)$ thì $\Delta  = 0 \Leftrightarrow 8m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{8}$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{{x^2}}}{2} = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} + 4$

Vì $\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\forall m$ nên đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt  parabol  $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$  tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $2{x^2} = 2x + m \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - m = 0$ có $\Delta ' = 1 + 2m$

Để đường thẳng $d:y = 2x + m$ không cắt  parabol  $\left( P \right):y = 2{x^2}$  thì $\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - \dfrac{1}{2}$

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = mx + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - m - 1 = 0\left( * \right)$ có

$\Delta  = {m^2} - 4\left( { - m - 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0$, $\forall m$; $S = {x_1} + {x_2} = m;P = {x_1}.{x_2} =  - m - 1$ với ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*).

Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $\Leftrightarrow$ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 2\\m < 0\\m <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\m \ne  - 2\end{array} \right.$

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\m \ne  - 2\end{array} \right.$ .

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = \left( {m - 2} \right)x + 3m$

$\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 3m = 0$

Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung

$\Leftrightarrow$ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow ac < 0$

$\Leftrightarrow  - 3m < 0 \Leftrightarrow m > 0$.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\forall m$

nên đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} =  - 4\end{array} \right.$(${x_1};{x_2} \ne 0$)

Ta có $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  - 3$$\Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  - 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.$

Vậy $m = 1;m =  - 1$ là các giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2mx - 2m + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} - 2m + 3 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0;\forall m$

Nên nên đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$

Ta có ${y_1} = x_1^2;{y_2} = x_2^2$.

Theo hệ thức Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m - 3\end{array} \right.$

Xét ${y_1} + {y_2} < 9$$\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 < 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} < 9 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 6 - 9 < 0$$\Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 3 < 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 3} \right) < 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 0\\2m - 3 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 0\\2m - 3 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{1}{2}\\m > \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{1}{2}\\m < \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} < m < \dfrac{3}{2}$

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}$

Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn.

Phương trình hoành độ giao điểm $m{x^2} =  - 3x + 1 \Leftrightarrow m{x^2} + 3x - 1 = 0\,\left( * \right)$ có $\Delta  = 9 + 4m$; $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{ - 1}}{m}$ với ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*).

Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm cùng một phía với trục tung $\Leftrightarrow$ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 9 > 0\\\dfrac{{ - 1}}{m} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{9}{4}\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{9}{4} < m < 0$

Vậy $- \dfrac{9}{4} < m < 0$.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 3 \Rightarrow y = {3^2} = 9\end{array} \right.$

Giao điểm  của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$.

Ta có $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$ nên $C\left( { - 1;0} \right);D\left( {3;0} \right)$

$\Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 1;$

$DC = 4;BD = \sqrt {{0^2} + {9^2}}  = 9.$

Vì $AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông nên ${S_{ABDC}} = \dfrac{{\left( {AC + BD} \right).DC}}{2} = 20$ (đvdt)

Phương trình hoành độ giao điểm $- \dfrac{1}{4}{x^2} =  - \dfrac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4m = 0$ có $\Delta ' = 1 - 4m$

Để đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thì $\Delta  > 0 \Leftrightarrow 1 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{4}$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = 4m\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Ta có $3{x_1} + 5{x_2} = 5$$\Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{5 - 5{x_2}}}{3}$ thay vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $\dfrac{{5 - 5{x_2}}}{3} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x_1} = \dfrac{5}{2}$

Thay ${x_2} =  - \dfrac{1}{2};{x_1} = \dfrac{5}{2}$ vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được $\left( { - \dfrac{1}{2}} \right).\dfrac{5}{2} = 4m \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{{16}}$ (TM )

Vậy $m =  - \dfrac{5}{{16}}$ là  giá trị cần tìm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = \left( {{m^2} + 2} \right)x - {m^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {{m^2} + 2} \right)x + {m^2} = 0\left( 1 \right)$.

$d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {{m^2} + 2} \right)^2} - 4{m^2} > 0\\S = {m^2} + 2 > 0\\P = {m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{m^2} - 2m + 2} \right)\left( {{m^2} + 2m + 2} \right) > 0\\m \ne 0\end{array} \right.$

Mà ${m^2} - 2m + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m;$${m^2} + 2m + 2 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m$ nên $\left( {{m^2} - 2m + 2} \right)\left( {{m^2} + 2m + 2} \right) > 0;\,\forall m$

Từ đó $m \ne 0$ thỏa mãn đề bài.

Parabol $\left( P \right)$  có đỉnh $O$ nên có dạng $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$.

Mà $\left( P \right)$  đi qua điểm $A\left( {2;4} \right)$ nên toạ độ $A$ thoả mãn phương trình parabol $\left( P \right)$  suy ra $4 = a{.2^2} = 4a \Leftrightarrow a = 1$ (thoả mãn $a \ne 0$)

Phương trình parabol $\left( P \right)$  là $y = {x^2}$.

$\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$  tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình ${x^2} - 2(m - 1)x - 2m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \Delta ' = {( - (m - 1))^2} + 2m + 2 > 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2m + 2 > 0$$\Leftrightarrow {m^2} + 3 > 0$ (luôn đúng)

Vậy $\left( d \right)$  luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.