Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol

\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) nên \(4 = a.{\left( { - 2} \right)^2} = 4a \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy phương trình parabol \(\left( P \right)\) là \(y = {x^2}\).

Để \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( d \right)\) thì phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {( - (m - 1))^2} - m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

Nếu \(m = 1\) thì hoành độ giao điểm là \(x = 0\) . Vậy tiếp điểm \(\left( {0;0} \right)\)

Nếu \(m = 2\) thì hoành độ giao điểm là \(x = 1\) . Vậy tiếp điểm \(\left( {1;1} \right)\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\):

\({x^2} = 2x + m - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - m + 2 = 0\,\,\left( * \right)\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Rightarrow \) Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 + m - 2 > 0 \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\).

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - m + 2}\end{array}} \right.\)

Theo giả thiết:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\\ \Leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow 4 - 4\left( { - m + 2} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 4\left( { - m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = 2\).

Hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - {x^2} = 5x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0\)

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.6 = 1 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + 1}}{2} =  - 2\\x = \dfrac{{ - 5 - 1}}{2} =  - 3\end{array} \right.\).

Với \(x =  - 2 \Rightarrow y =  - {\left( { - 2} \right)^2} =  - 4\).

Với \(x =  - 3 \Rightarrow y =  - {\left( { - 3} \right)^2} =  - 9\).

Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(A\left( { - 2; - 4} \right),\,\,B\left( { - 3; - 9} \right)\).

Vì \(\left( {d'} \right)\) song song \(\left( d \right)\) nên \(\left( {d'} \right)\) có dạng \(y = 5x + b\,\,\,\left( {b \ne 6} \right)\)  (1)

Hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - {x^2} = 5x + b \Leftrightarrow {x^2} + 5x + b = 0\,\,\left( * \right)\).

\(\left( {d'} \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow \) \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow {5^2} - 4b > 0 \Leftrightarrow b < \dfrac{{25}}{4}\)  (2)

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có \({x_1}.{x_2} = b \Rightarrow b =  - 24 < \dfrac{{25}}{4}\), thỏa mãn (1) và (2).

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) cần tìm là: \(\left( {d'} \right):y = 5x - 24\).

Gọi \(A\left( {2;\,\,{y_A}} \right)\) là điểm mà đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) đều đi qua.

Khi đó ta có: \(A\left( {2;\,{y_A}} \right) \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow {y_A} = {2^2} = 4\)\( \Rightarrow A\left( {2;\,\,4} \right).\)

Lại có: \(A\left( {2;\,\,4} \right) \in \left( d \right)\) \( \Rightarrow 4 = m.2 + 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(m = \dfrac{3}{2}\) thỏa mãn bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là: \({x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Phương trình \(\left( * \right)\) có: \(\Delta  = {m^2} + 4 > 0\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

\( \Rightarrow \left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m.\)

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \) \({x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\)

\( \Rightarrow x_1^2 = m{x_1} + 1\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({x_2}\left( {x_1^2 - 1} \right) = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_2}\left( {m{x_1} + 1 - 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow m{x_1}{x_2} = 3\\ \Leftrightarrow  - m = 3\\ \Leftrightarrow m =  - 3.\end{array}\)

Vậy \(m =  - 3\) thỏa mãn bài toán.