Hàm số bậc nhất

Theo định nghĩa thì các hàm số $y = x$ , $y = 3 - \dfrac{x}{2}$, $y = 7 - 5x$ là hàm số bậc nhất.

Hàm số $y = \dfrac{2}{x}$ không là hàm số bậc nhất.

Hàm số $y = \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 2m + 2}}x - 5$ là hàm số nghịch biến $\dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 2m + 2}} < 0$

Nhận thấy ${m^2} + 2m + 2 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $m$ nên $\dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 2m + 2}} < 0$$ \Rightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1$.

Hàm số $y = \left( { - 2{m^2} + 4m - 5} \right)x - 7m + 5$ là hàm số đồng  biến$ - 2{m^2} + 4m - 5 > 0$

Nhận thấy $ - 2{m^2} + 4m - 5 $$=  - \left( {2{m^2} - 4m + 5} \right)$$ =  - 2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 3 $$=  - 2{\left( {m - 1} \right)^2} - 3 < 0,\,\,\forall m$

Nên hàm số nghịch biến với mọi $m$, nghĩa là không có giá trị nào của $m$ để hàm đã cho đồng biến.

Hàm số \(y = f\left( x \right) = \left( {1 + {m^4}} \right)x + 1\) có \(a = 1 + {m^4} > 0\) với mọi \(m \Rightarrow \) hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Khi đó chỉ có đáp án C đúng vì \(2 < 3 \Rightarrow f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right).\)

Hàm số \(y = \left( {{m^2} - 9} \right)x + 3\) nghịch biến \( \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < 3.\)

Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.\)

Vậy có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Hàm số bậc nhất \(y = \left( {2019 - m} \right)x + 2020\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 2019 - m < 0 \Leftrightarrow m > 2019.\)

Hàm số \(y = \left( {1 - 2m} \right)x + 3\) đồng biến \( \Leftrightarrow 1 - 2m > 0 \Rightarrow m < \dfrac{1}{2}.\)

Hàm số có dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là hàm số bậc nhất.

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) xác định với mọi giá trị của \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\)và có tính chất sau

- Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

- Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

Theo định nghĩa thì hàm số \(y = \dfrac{x}{2} + 1;y = 3x\) là hàm số bậc nhất.

Hàm số \(y = \sqrt {2 - m} .x + 1\) là hàm số bậc nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 3 > 0\\\sqrt {2m - 3}  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{2}.\)

Hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {2m - 3} }}x + m\) là hàm số bậc nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {2m - 3} }}>0\\\sqrt {2m - 3}  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{2}.\)

Hàm số \(y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\) là hàm số bậc nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3m}}{{1 - 2m}} \ne 0\\1 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\2m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Hàm số \(y =  - 3x + 2\) có \(a =  - 3 < 0\) nên là hàm số nghịch biến

Hàm số \(y =  - \dfrac{1}{3}\left( { - x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}\) có \(a = \dfrac{1}{3} > 0\) nên là hàm số đồng biến

Hàm số \(y = 6 - \dfrac{x}{2}\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{2}x + 6\)có \(a =  - \dfrac{1}{2} < 0\) nên là hàm số nghịch biến

Hàm số \(y =  - \left( {1 - 2x} \right) \Leftrightarrow y = 2x - 1\) có \(a = 2 > 0\) nên là hàm số đồng biến

Vậy có hai hàm số nghịch biến \(y =  - 3x + 2;y = 6 - \dfrac{x}{2}.\)

Hàm số \(y =  - \left( {\dfrac{x}{2} - 3} \right)\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{2}x + 3\) có \(a =  - \dfrac{1}{2} < 0\) nên  là hàm số nghịch biến

Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) có \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\) nên là hàm số đồng biến

Hàm số \(y =  - 5 - 3x\)\( \Leftrightarrow y = x - 9\)có \(a =  - 1 < 0\) nên là hàm số nghịch biến.

Hàm số \(y =  - \left( {9 + 3x} \right) \Leftrightarrow y =  - 9 - 3x\) có \(a =  - 3 < 0\) nên là hàm số nghịch biến.

Hàm số \(y = \left( {\dfrac{m}{2} - 3} \right)x + m + 1\) là hàm số nghịch biến khi \(\dfrac{m}{2} - 3 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{m}{2} < 3 \Leftrightarrow m < 6\).

Hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + 5m\) là hàm số đồng biến khi \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 1\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\) .

Hàm số \(y = \left( {\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} \right)x - 5\) có \(a = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }} = \dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 4\sqrt 3  + 3 - 4 + 4\sqrt 3  - 3}}{{4 - 3}} = 8\sqrt 3  > 0\)

nên là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Hàm số \(y = \left( {5 - \sqrt {5 - m} } \right).x + m + 2\) là hàm số nghịch biến khi \(5 - \sqrt {5 - m}  < 0\)

ĐK: \(5 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\)

Khi đó \(5 - \sqrt {5 - m}  < 0 \Leftrightarrow \sqrt {5 - m}  > 5\)\( \Rightarrow 5 - m > 25 \Leftrightarrow m <  - 20\)

Kết hợp điều kiện ta được \(m <  - 20\) nên giá trị nguyên lớn nhất của \(m\) thỏa mãn là \(m =  - 21.\)

Hàm số \(y = \left( {{m^2} - 9m + 8} \right)x + 10\) là hàm số bậc nhất khi \({m^2} - 9m + 8 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 8} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\m - 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 8\end{array} \right.\)