Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ xác định với mọi giá trị của $x$ thuộc \(\mathbb{R}\) và có tính chất sau

- Đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

- Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a < 0\).

Theo định nghĩa thì hàm số $y = 2x + 1$ là hàm số bậc nhất.

Theo định nghĩa thì các hàm số $y = x$ , $y = 3 - \dfrac{x}{2}$, $y = 7 - 5x$ là hàm số bậc nhất.

Hàm số $y = \dfrac{2}{x}$ không là hàm số bậc nhất.

Hàm số $y = \sqrt {2 - m} .x + 1$ là hàm số bậc nhất khi $\left\{ \begin{array}{l}2 - m \ge 0\\\sqrt {2 - m}  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2$

Hàm số $y = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}x + 2m - 3$ là hàm số bậc nhất khi $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} \ne 0\\m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m \ne 2\end{array} \right.$

Hàm số $y = 2x - 1$có $a = 2 > 0$ nên  là hàm số đồng biến

Hàm số $y =  - \left( {1 - 3x} \right)$$ \Leftrightarrow y = 3x - 1$ có $a = 3 > 0$ nên là hàm số đồng biến

Hàm số $y =  - \left( {2x - 1} \right)$$ \Leftrightarrow y =  - 2x + 1$có $a =  - 2 < 0$ nên là hàm số nghịch biến

Hàm số $y = x$ có $a = 1 > 0$ nên là hàm số đồng biến

+) Hàm số $y = 2\left( {4 - x} \right) + 5$$y = 8 - 2x + 5 \Leftrightarrow y =  - 2x + 13$ có $a =  - 2 < 0$ nên  là hàm số nghịch biến

+) Hàm số $y = \sqrt 3  - \left( {2x + 2} \right)$$ \Leftrightarrow y = \sqrt 3  - 2x - 2 \Leftrightarrow y =  - 2x + \sqrt 3  - 2$ có $a =  - 2 < 0$ nên là hàm số nghịch biến

+) Hàm số $y =  - \left( {9 - x} \right)$$ \Leftrightarrow y = x - 9$ có $a = 1 > 0$ nên là hàm số đồng biến.

+) Hàm số $y = {x^3} - x$ không là hàm số bậc nhất.

Hàm sô $y = \left( {8 - 4m} \right)x + 5$ là hàm số nghịch biến khi $8 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > 2$.

Hàm số $y = 5mx - 2x + m$$ \Leftrightarrow y = \left( {5m - 2} \right)x + m$ là hàm số đồng biến khi $5m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{2}{5}$.

Hàm số $y = \sqrt {{m^2} + 3} .x + 1$ có ${m^2} + 3 \ge 3 > 0$ với mọi $m$ nên là hàm số đồng biến với mọi $m$.

Hàm số $y = \left( {\sqrt {m - 3}  - 2} \right).x - m$ là hàm số đồng biến khi $\sqrt {m - 3}  - 2 > 0$.

Khi đó $\sqrt {m - 3}  - 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt {m - 3}  > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 \ge 0\\m - 3 > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m > 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 7$.

Giá trị nguyên nhỏ nhất cần tìm là $m = 8$.

Hàm số $y = \left( {3m - 1} \right)mx + 6m$ là hàm số bậc nhất khi $\left( {3m - 1} \right).m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - 1 \ne 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \dfrac{1}{3}\\m \ne 0\end{array} \right.$

Hàm số $y = \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 2m + 2}}x - 5$ là hàm số nghịch biến $\dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 2m + 2}} < 0$

Nhận thấy ${m^2} + 2m + 2 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $m$ nên $\dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 2m + 2}} < 0$$ \Rightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1$.

Hàm số $y = \left( { - 2{m^2} + 4m - 5} \right)x - 7m + 5$ là hàm số đồng  biến$ - 2{m^2} + 4m - 5 > 0$

Nhận thấy $ - 2{m^2} + 4m - 5 $$=  - \left( {2{m^2} - 4m + 5} \right)$$ =  - 2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 3 $$=  - 2{\left( {m - 1} \right)^2} - 3 < 0,\,\,\forall m$

Nên hàm số nghịch biến với mọi $m$, nghĩa là không có giá trị nào của $m$ để hàm đã cho đồng biến.

Hàm số \(y = \left( {{a^2} - 4} \right){x^2} + \left( {b - 3a} \right)\left( {b + 2a} \right)x - 2\) là hàm số bậc nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4 = 0\\\left( {b - 3a} \right)\left( {b + 2a} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - 2\end{array} \right.\\b \ne 3a\\b \ne  - 2a\end{array} \right.\)

Với \(a = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \ne 6\\b \ne  - 4\end{array} \right.\)

Với \(a =  - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \ne  - 6\\b \ne 4\end{array} \right.\)