Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(4cm.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(CM\) và \(DN.\) Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm \(A,D,E,M\) là
+) Ta có \(\widehat {CDN} = \widehat {ECN}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {CNE}\)) nên \(\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {CEN} = 90^\circ \Rightarrow CM \bot DN\)
+) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DM\).
Xét tam giác vuông \(ADM\) ta có \(AI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}\). Xét tam giác vuông \(DEM\) ta có \(EI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}\)
Nên \(EI = ID = IM = IA = \dfrac{{DM}}{2}\)
Do đó bốn điểm \(A,D,E,M\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = \dfrac{{DM}}{2}\).
Xét tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\) có \(AD = 4cm;AM = \dfrac{{AB}}{2} = 2cm\) nên theo định lý Pytago ta có \(DM = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \)
Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm \(A,D,E,M\) là \(R = \dfrac{{DM}}{2} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 cm\)
Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$ nên $AH$ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {DAB}$
Suy ra $\Delta ACD = \Delta ABD\left( {c - g - c} \right)$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ $.
Lấy $I$ là trung điểm $AD$. Xét hai tam giác vuông $ABD$ và $ACD$ có $IA = ID = IB = IC = \dfrac{{AD}}{2}$
Nên $I$ là điểm cách đều $A,B,D,C$ hay $A,B,D,C$ cùng nằm trên dường tròn tâm $I$ đường kính $AD$.
Đường tròn đi qua bốn điểm $B,N,M,C$ là
Gọi $D$ là trung điểm $BC$.
Xét hai tam giác vuông $BNC$ và $BMC$ có $ND,MD$ là hai đường trung tuyến
$ \Rightarrow DN = DB = DC = DM = \dfrac{{BC}}{2}$ nên bốn điểm $B,N,M,C$ cùng thuộc đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.
Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm $A, B, D, C.$
Từ câu trước ta có bốn điểm $A,B,D,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$ suy ra ta cần tính độ dài $AD$.
Vì $BC = 8\,cm \Rightarrow BH = 4\,cm$. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AHB$ ta được $AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {4 + 16} = 2\sqrt 5 $
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABD$ ta có $A{B^2} = AH.AD$$\Rightarrow AD = \dfrac{{A{B^2}}}{{AH}} = \dfrac{{20}}{2} = 10$
Vậy đường kính cần tìm là $10\,cm$.
Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$ nên $AH$ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {DAB}$
Suy ra $\Delta ACD = \Delta ABD\left( {c - g - c} \right)$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ $.
Lấy $I$ là trung điểm $AD$. Xét hai tam giác vuông $ABD$ và $ACD$ có $IA = ID = IB = IC = \dfrac{{AD}}{2}$
Nên $I$ là điểm cách đều $A,B,D,C$ hay $A,B,D,C$ cùng nằm trên dường tròn tâm $I$ đường kính $AD$.
Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$ nên $AH$ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {DAB}$
Suy ra $\Delta ACD = \Delta ABD\left( {c - g - c} \right)$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ $.
Lấy $I$ là trung điểm $AD$. Xét hai tam giác vuông $ABD$ và $ACD$ có $IA = ID = IB = IC = \dfrac{{AD}}{2}$
Nên $I$ là điểm cách đều $A,B,D,C$ hay $A,B,D,C$ cùng nằm trên dường tròn tâm $I$ đường kính $AD$.
Gọi $G$ là giao điểm của $BM$ và $CN$ . Xác định vị trí tương đối của điểm $G$ và điểm $A$ với đường tròn tìm được ở ý trước.
Từ câu trước ta xác định vị trí tương đối của điểm $G$ với đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.
Gọi cạnh của tam giác đều $ABC$ là $a$.$\left( {a > 0} \right)$
Ta có $G$ là trực tâm $\Delta ABC$ nên $G$ cũng là trọng tâm $\Delta ABC$ suy ra $GD = \dfrac{1}{3}AG$.
$D$ là trung điểm $BC \Rightarrow AD \bot BD$; $DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông $ADC$ ta có $AD = \sqrt {A{C^2} - D{C^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$$ \Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$
Nhận thấy $GD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} < \dfrac{a}{2} = \dfrac{{BC}}{2}$ nên điểm $G$ nằm trong đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.
Và $AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} > \dfrac{a}{2} = \dfrac{{BC}}{2}$ nên điểm $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.
Đường tròn đi qua bốn điểm $B,N,M,C$ là
Gọi $D$ là trung điểm $BC$.
Xét hai tam giác vuông $BNC$ và $BMC$ có $ND,MD$ là hai đường trung tuyến
$ \Rightarrow DN = DB = DC = DM = \dfrac{{BC}}{2}$ nên bốn điểm $B,N,M,C$ cùng thuộc đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.
Đường tròn đi qua bốn điểm $B,N,M,C$ là
Gọi $D$ là trung điểm $BC$.
Xét hai tam giác vuông $BNC$ và $BMC$ có $ND,MD$ là hai đường trung tuyến
$ \Rightarrow DN = DB = DC = DM = \dfrac{{BC}}{2}$ nên bốn điểm $B,N,M,C$ cùng thuộc đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(2cm.\) Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC,\,\,G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) thì \(R = AG = \dfrac{2}{3}.AI\)
Trong tam giác \(ABI\) vuông tại \(I\) có:
\(A{I^2} = A{B^2} - I{B^2} = {2^2} - 1 = 3 \Rightarrow AI = \sqrt 3 \,\,\,\left( {cm} \right).\)
Khi đó: \(R = \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}cm.\)
Tâm đối xứng của đường tròn là:
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn.
Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Đường tròn có… trục đối xứng.”
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn
Nên đường tròn có vô số trục đối xứng.
Giao ba đường trung trực của tam giác là
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(M\) bất kỳ, biết rằng \(OM > R\). Chọn khẳng định đúng?
Vì \(OM > R\) nên điểm \(M\) nằm bên ngoài đường tròn.
Tính bán kính \(R\) của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông \(ABCD\) cạnh \(3cm\)
Gọi \(O\) là giao hai đường chéo của hình vuông \(ABCD\). Khi đó theo tình chất của hình vuông ta có \(OA = OB = OC = OD\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\), bán kính \(R = OA = \dfrac{{AC}}{2}\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {3^2} + {3^2} = 18 \Rightarrow AC = 3\sqrt 2 \)\( \Rightarrow R = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy \(R = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn câu đúng. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD,CE\) . Chọn khẳng định đúng.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Xét tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) có \(EI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) (vì \(EI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\) có \(DI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) (vì \(DI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Từ đó ta có \(ID = IE = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\) nên bốn điểm \(B,E,D,C\) cùng nằm trên một đường tròn có bán kính \(R = \dfrac{{BC}}{2}\).
Ta thấy \(IA > ID\) nên điểm \(A\) không thuộc đường tròn trên.
Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm \(A,B,D,C\).
Từ câu trước ta có \(A,B,D,C\) cùng nằm trên dường tròn tâm \(I\) đường kính \(AD\)nên ta cần tính độ dài \(AD\).
Vì \(BC = 6\,cm \Rightarrow BH = 3\,cm\). Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(AHB\) ta được \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABD\) ta có \(A{B^2} = AH.AD \Rightarrow AD = \dfrac{{A{B^2}}}{{AH}} = \dfrac{{{5^2}}}{4} = 6,25\)
Vậy đường kính cần tìm là \(6,25\,cm\).
Chọn câu đúng?
Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên \(AH\) cũng là đường phân giác \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {DAB}\)
Suy ra \(\Delta ACD = \Delta ABD\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \) và \(CD = DB\) nên A, B đúng.
Lấy \(I\) là trung điểm \(AD\). Xét hai tam giác vuông \(ABD\) và \(ACD\) có \(IA = ID = IB = IC = \dfrac{{AD}}{2}\)
Nên \(I\) là điểm cách đều \(A,B,D,C\) hay \(A,B,D,C\) cùng nằm trên dường tròn tâm \(I\) đường kính \(AD\) nên đáp án C đúng.
Chọn câu đúng?
Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên \(AH\) cũng là đường phân giác \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {DAB}\)
Suy ra \(\Delta ACD = \Delta ABD\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \) và \(CD = DB\) nên A, B đúng.
Lấy \(I\) là trung điểm \(AD\). Xét hai tam giác vuông \(ABD\) và \(ACD\) có \(IA = ID = IB = IC = \dfrac{{AD}}{2}\)
Nên \(I\) là điểm cách đều \(A,B,D,C\) hay \(A,B,D,C\) cùng nằm trên dường tròn tâm \(I\) đường kính \(AD\) nên đáp án C đúng.
