Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(4cm.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(CM\) và \(DN.\)  Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm \(A,D,E,M\) là

+) Ta có \(\widehat {CDN} = \widehat {ECN}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {CNE}\)) nên \(\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {CEN} = 90^\circ  \Rightarrow CM \bot DN\)

+) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DM\).

Xét tam giác vuông \(ADM\) ta có \(AI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}\). Xét tam giác vuông \(DEM\) ta có \(EI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}\)

Nên \(EI = ID = IM = IA = \dfrac{{DM}}{2}\)

Do đó bốn điểm \(A,D,E,M\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = \dfrac{{DM}}{2}\).

Xét tam giác \(ADM\) vuông tại \(A\) có \(AD = 4cm;AM = \dfrac{{AB}}{2} = 2cm\) nên theo định lý Pytago ta có \(DM = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5 \)

Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm \(A,D,E,M\) là \(R = \dfrac{{DM}}{2} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 cm\)