Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng cắt đường tròn.

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Hay \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A.\)

Vì \(OH < R\) nên a cắt \(\left( O \right).\)

+) Vì \(d > R\left( {5\,cm < 3\,cm} \right)\) nên đường thẳng không cắt đường tròn hay (1) điền là: Không cắt nhau.

+) Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên \(d = R = 9\,cm\) hay (2) điền là \(9\,cm\)

Vì \(A\left( { - 2;3} \right)\) nên khoảng cách từ \(A\) đến trục hoành là \({d_1} = \left| {{y_A}} \right| = 3\), khoảng cách từ \(A\) đến trục tung là \({d_2} = \left| {{x_A}} \right| = 2\)

Nhân thấy \({d_2} = R\left( { = 2} \right)\) nên trục tung tiếp xúc với đường tròn \(\left( {A;2} \right)\).

Và \({d_2} = 3 > 2 = R\) nên trục hoành không cắt đường tròn \(\left( {A;2} \right)\).

Vì hai đường thẳng song song \(a,b\) cách nhau một khoảng là \(3\,cm\) mà \(I \in a\) nên khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(b\) là \(d = 3\,cm\).

Suy ra \(d < R\left( {3\,cm < 3,5\,cm} \right)\) nên đường tròn \(\left( {I;3,5cm} \right)\) và đường thẳng \(b\) cắt nhau.

Vì \(AB\) là tiếp tuyến và \(B\) là tiếp điểm nên \(OB = R = 6\,cm\); \(AB \bot OB\) tại \(B\).

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) ta được \(AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\,cm\)

Vậy \(AB = \,8\,cm\).

Kẻ \(OH \bot EF\) tại \(H\) và cắt \(AB\) tại \(I\) suy ra \(OI \bot AB\) ( vì \(AB{\rm{//}}EF\))

Xét \(\left( O \right)\) có \(OI \bot AB\) tại \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AB\) (liên hệ giữa đường kính và dây)

\( \Rightarrow IA = IB = \dfrac{{AB}}{2} = 4,8\,cm\). Lại có \(OA = 6\,cm\).

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(OIA\) ta có \(OI = \sqrt {O{A^2} - I{A^2}}  = \sqrt {{6^2} - 4,{8^2}}  = 3,6\,cm\).

Mà \(AI\,{\rm{//}}\,EH\) nên \(\dfrac{{AI}}{{EH}} = \dfrac{{OI}}{{OH}} = \dfrac{{3,6}}{6} = \dfrac{3}{5}\)\( \Rightarrow EH = \dfrac{{AI.5}}{3} = \dfrac{{4,8.5}}{3} = 8\)

\(\Delta OEF\) cân tại \(O\) (vì \(\widehat E = \widehat F = \widehat {BAO} = \widehat {ABO}\)) có \(OH \bot EF\) nên \(H\) là trung điểm của \(EF\)

\( \Rightarrow EF = 2EH = 16\,cm\)\( \Rightarrow {S_{EOF}} = \dfrac{{6.16}}{2} = 48\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét \(\left( O \right)\) có \(OB = OC = OD\)\( \Rightarrow BO = \dfrac{{DC}}{2}\)\( \Rightarrow \Delta BDC\) vuông tại \(B\) (tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)

Suy ra \(BD \bot AC\).

Xét \(\Delta ADC\) có \(BD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên \(\Delta ADC\) cân tại \(D \Rightarrow DA = DC = 2R = 10cm\)

Vậy \(AD = 10cm\)

Kẻ đường thẳng \(OA \bot a\) tại \(A\) cắt \(b\) tại \(B\) thì \(OB \bot b\) tại \(B\) vì \(a{\rm{//}}b\).

Vì \(\left( O \right)\) tiếp xúc với cả \(a,b\) nên \(OA = OB\). Lại có \(AB = 6\,cm \Rightarrow OA = OB = \dfrac{6}{2} = 3\,cm\)

Hay tâm \(O\) cách \(a\) và \(b\) một khoảng cùng bằng \(3\,cm\)

Nên \(O\) chạy trên đường thẳng \(c\) song song và cách đều \(a,b\) một khoảng \(3\,cm.\)

Gọi K là trung điểm của MN

Tam giác MON vuông tại O có OK là trung tuyến \( \Rightarrow KM = KN = KO\)

Suy ra:  Đường tròn (K; KO) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN.

Ta có OK là đường trung bình của hình thang AMNB nên \(OK // AM\)

\( \Rightarrow OK \bot AB\)

Suy ra OK là tiếp tuyến của đường tròn (K). Vậy đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định là đường thẳng AB. 

Vẽ \(OH \bot MN,{\rm{ }}H \in MN.\;\) Vì \(AM.BN = {R^2}\; = AO.BO\) nên \(\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{AO}}{{BN}}\)

 Xét ΔAOM và ΔBNO có: \(\widehat {MAO} = \widehat {NBO} = 90^\circ ;\,\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{AO}}{{BN}}\) \( \Rightarrow \Delta AOM\backsim\Delta BNO{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{O_1}};\,\widehat {{O_2}} = \widehat {{N_2}}\)

Do đó góc MON bằng \({90^0}\)

Ta có: \(\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{OM}}{{ON}} \) (do \(\Delta AOM\backsim\Delta BNO\)) \(\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{OM}} = \dfrac{{OA}}{{ON}}\)

Do đó \(\Delta AOM\backsim\Delta ONM{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)

\( ΔAOM = ΔHOM\) (cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow AO = OH \Rightarrow OH = R,\) do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Vẽ \(OH \bot MN,{\rm{ }}H \in MN.\;\) Vì \(AM.BN = {R^2}\; = AO.BO\) nên \(\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{AO}}{{BN}}\)

 Xét ΔAOM và ΔBNO có: \(\widehat {MAO} = \widehat {NBO} = 90^\circ ;\,\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{AO}}{{BN}}\) \( \Rightarrow \Delta AOM\backsim\Delta BNO{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{O_1}};\,\widehat {{O_2}} = \widehat {{N_2}}\)

Do đó góc MON bằng \({90^0}\)

Ta có: \(\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{OM}}{{ON}} \) (do \(\Delta AOM\backsim\Delta BNO\)) \(\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{OM}} = \dfrac{{OA}}{{ON}}\)

Do đó \(\Delta AOM\backsim\Delta ONM{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)

\( ΔAOM = ΔHOM\) (cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow AO = OH \Rightarrow OH = R,\) do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung.

Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Nên $d \bot OA$ tại tiếp điểm $A$.

Vì $OH > R$ nên a không cắt $\left( O \right).$

+) Vì $d < R\left( {4cm < 5cm} \right)$ nên đường thẳng cắt đường tròn

+) Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên $d = R = 8\,cm$

Xét tam giác \(OAO'\)  có \(O{A^2} + O'{A^2} = OO{'^2}\) (vì \({4^2} + {3^2} = {5^2}\)) nên tam giác \(OAO'\)  vuông tại \(A\).

Xét tam giác \(OAO'\)  có \(AH\) là đường cao nên \(AH.OO' = OA.O'A \Rightarrow AH = \dfrac{{OA.O'A}}{{OO'}} = \dfrac{{4.3}}{5} = \dfrac{{12}}{5}\)

Mà \(AB = 2AH\) nên \(AB = \dfrac{{24}}{5} = 4,8cm\)

Ta có: \(d\left( {O;\,\,a} \right) = \sqrt 8 ;\,\,\,\,R = 3 \Rightarrow d\left( {O;\,\,a} \right) < R\)
Nên đường thẳng \(a\) cắt đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) tại hai điểm phân biệt.