Nhắc lại và bổ sung khái niệm hàm số và đồ thị hàm số

Thay $x = a$ vào hai hàm số đã cho ta được $f\left( a \right) =  - 2{a^2}$, $g\left( a \right) = 3a + 5$

Khi đó $\dfrac{1}{2}f\left( a \right) = g\left( a \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\left( { - 2{a^2}} \right) = 3a + 5 \Leftrightarrow  - {a^2} = 3a + 5 \Leftrightarrow {a^2} + 3a + 5 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {a + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0$ (vô lý vì ${\left( {a + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \ge \dfrac{{11}}{4} > 0;\forall a$)

Vậy không có giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$. Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} > {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
- Hàm số nghịch biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} > {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Thay $x = 2$ vào hàm số ta được $f\left( 2 \right) = {2^3} + 2 = 10$.

Thay $x = 3$ vào hàm số ta được $f\left( 3 \right) = {3.3^2} + 2.3 + 1 = 34$.

Thay $x = 2$ vào hàm số ta được $f\left( 2 \right) = {3.2^2} + 2.2 + 1 = 17$.

Suy ra $f\left( 3 \right) - 2f\left( 2 \right) = 34 - 2.17 = 0$

Thay $x =  - 1$ vào hàm số $f\left( x \right) = 6{x^4}$ ta được $f\left( { - 1} \right) = 6.{\left( { - 1} \right)^4} = 6$.

Thay $x = \dfrac{2}{3}$ vào hàm số $h\left( x \right) = 7 - \dfrac{{3x}}{2}$ ta được $h\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = 7 - \dfrac{{3.\dfrac{2}{3}}}{2} = 6$.

Nên $f\left( { - 1} \right) = h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)$.

Thay $x = a$ vào hai hàm số đã cho ta được $f\left( a \right) = 2{a^2}$, $g\left( a \right) = 4a - 2$

Khi đó $f\left( a \right) = g\left( a \right) \Leftrightarrow 2{a^2} = 4a - 2 \Leftrightarrow 2{a^2} - 4a + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - 2a + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a = 1.$

Vậy có một giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,N,P,Q$ vào hàm số $f\left( x \right) = 3x - 2$ ta được

+) Với $M\left( {0;1} \right)$, thay $x = 0;y = 1$ ta được $1 = 3.0 - 2 \Leftrightarrow 1 =  - 2$ (Vô lý) nên $M \notin \left( C \right)$.

+) Với $N\left( {2;3} \right)$, thay $x = 2;y = 3$ ta được $3 = 3.2 - 2 \Leftrightarrow 3 = 4$ (Vô lý) nên $N \notin \left( C \right)$.

+) Với $P\left( { - 2; - 8} \right)$, thay $x =  - 2;y =  - 8$ ta được $- 8 = 3.\left( { - 2} \right) - 2 \Leftrightarrow  - 8 =  - 8$ (luôn đúng) nên $P \in \left( C \right)$.

+) Với $Q\left( { - 2;0} \right)$, thay $x =  - 2;y = 0$ ta được $0 = 3.\left( { - 2} \right) - 2 \Leftrightarrow 0 =  - 8$ (Vô lý) nên $Q \notin \left( C \right)$.

Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,O,P,Q;A$ vào hàm số $f\left( x \right) = 3x$ ta được

+) Với $M\left( {1;1} \right)$, thay $x = 1;y = 1$ ta được $1 = 3.1 \Leftrightarrow 1 = 3$ (Vô lý) nên $M \notin \left( C \right)$.

+) Với $O\left( {0;0} \right)$, thay $x = 0;y = 0$ ta được $0 = 3.0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng) nên $O \in \left( C \right)$

+) Với $P\left( { - 1; - 3} \right)$, thay $x = -1;y =  - 3$ ta được $- 3 = 3.\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow  - 3 =  - 3$ (luôn đúng) nên $P \in \left( C \right)$.

+) Với $Q\left( {3;9} \right)$, thay $x = 3;y = 9$ ta được $9 = 3.3 \Leftrightarrow 9 = 9$ (luôn đúng) nên $Q \in \left( C \right)$.

+) Với $A\left( { - 2;6} \right)$, thay $x =  - 2;y = 6$ ta được $6 = \left( { - 2} \right).3 \Leftrightarrow 6 =  - 6$ (vô lý) nên $A \notin \left( C \right)$.

Vậy có ba điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ trong số các điểm đã cho.

+) Thay $x = 1;y = 1$ vào $2x + y - 3 = 0$ ta được $2.1 + 1 - 3 = 0$ nên điểm $N$ thuộc đường thẳng $2x + y - 3 = 0$

+) Thay $x = 1;y = 1$ vào $y - 3 = 0$ ta được $1 - 3 =  - 2 \ne 0$

+) Thay $x = 1;y = 1$ vào $4x + 2y = 0$ ta được $4.1 + 2.1 = 6 \ne 0$

+) Thay $x = 1;y = 1$ vào $5x + 3y - 1 = 0$ ta được $5.1 + 3.1 - 1 = 7 \ne 0$

Vậy đường thẳng $d:2x + y - 3 = 0$ đi qua $N\left( {1;1} \right)$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ . Ta có $f\left( {{x_1}} \right) = 5 - 3{x_1};f\left( {{x_2}} \right) = 5 - 3{x_2}$.

Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 5 - 3{x_1} - \left( {5 - 3{x_2}} \right)$$= 5 - 3{x_1} - 5 + 3{x_2} = 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)$$> 0$ (vì ${x_1} < {x_2}$)

Vậy $y = 5 - 3x$ là hàm số nghịch biến.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ . Ta có $f\left( {{x_1}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_1} + 3;f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_2} + 3$.

Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_1} + 3 - \left( {\dfrac{1}{2}{x_2} + 3} \right)$$= \dfrac{1}{2}{x_1} + 3 - \dfrac{1}{2}{x_2} - 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0$ (vì ${x_1} < {x_2}$)

Vậy $y = \dfrac{1}{2}x + 3$ là hàm số đồng biến.

Thay $x = 2;y =  - 5$ vào $y = \dfrac{{5 - m}}{2}x - 2m - 1$ ta được $- 5 = \dfrac{{5 - m}}{2}.2 - 2m - 1 \Leftrightarrow  - 3m + 4 =  - 5 \Leftrightarrow  - 3m =  - 9 \Leftrightarrow m = 3.$

Thay $x =  - 3;y = 6$ vào $y = \left( {2 - 3m} \right)x - 6$ ta được $6 = \left( {2 - 3m} \right).\left( { - 3} \right) - 6 \Leftrightarrow 9m = 18 \Leftrightarrow m = 2.$

Thay $x = 4{a^2}$ vào $f\left( x \right) = \dfrac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 4}}$ ta được $f\left( {4{a^2}} \right) = \dfrac{{2\sqrt {4{a^2}}  - 2}}{{\sqrt {4{a^2}}  + 4}}$$= \dfrac{{2\left| {2a} \right| - 2}}{{\left| {2a} \right| + 4}}$$= \dfrac{{4a - 2}}{{2a + 4}}$$= \dfrac{{2a - 1}}{{a + 2}}$ (vì $a \ge 0 \Rightarrow \left| {2a} \right| = 2a$)

Ta có $y = 3 \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + 2} \right)x - 4 - 4\sqrt 3  = 3$$\Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + 2} \right)x = 7 + 4\sqrt 3$$\Leftrightarrow \left( {\sqrt 3  + 2} \right)x = {\left( {\sqrt 3  + 2} \right)^2}$$\Leftrightarrow x = \sqrt 3  + 2$

Vậy $x = \sqrt 3  + 2$ .

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$. Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
- Hàm số nghịch biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Thay $x =  - 1$ vào hàm số ta được $f\left( { - 1} \right) = 3 - {\left( { - 1} \right)^2} = 2$.

Thay $x = 3$ vào hàm số ta được $f\left( 3 \right) = {3^3} - 3.3 - 2 = 16$$\Rightarrow 2.f\left( 3 \right) = 2.16 = 32$.

Thay $x =  - 2$ vào hàm số $f\left( x \right) =  - 2{x^3}$ ta được $f\left( { - 2} \right) =  - 2.{\left( { - 2} \right)^3} = 16$.

Thay $x =  - 1$ vào hàm số $h\left( x \right) = 10 - 3x$ ta được $h\left( { - 1} \right) = 10 - 3\left( { - 1} \right) = 13$

Nên $f\left( { - 2} \right) > h\left( { - 1} \right)$.

Thay $x = a$ vào hai hàm số đã cho ta được $f\left( a \right) = {a^2}$, $g\left( a \right) = 5a- 4$

Khi đó $f\left( a \right) = g\left( a \right) \Leftrightarrow {a^2} = 5a - 4 \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.$

Vậy có hai giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.