Cho hai hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^2}$ và $g\left( x \right) = 3x + 5$. Giá trị nào của $a$ để $\dfrac{1}{2}f\left( a \right) = g\left( a \right)$
Thay $x = a$ vào hai hàm số đã cho ta được $f\left( a \right) = - 2{a^2}$, $g\left( a \right) = 3a + 5$
Khi đó $\dfrac{1}{2}f\left( a \right) = g\left( a \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\left( { - 2{a^2}} \right) = 3a + 5 \Leftrightarrow - {a^2} = 3a + 5 \Leftrightarrow {a^2} + 3a + 5 = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {a + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0$ (vô lý vì ${\left( {a + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \ge \dfrac{{11}}{4} > 0;\forall a$)
Vậy không có giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\). Với \({x_1},{x_2} \in D;{x_1} > {x_2}\), khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập \(D\). Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} > {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
- Hàm số nghịch biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} > {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + x\). Tính \(f\left( 2 \right)\)
Thay \(x = 2\) vào hàm số ta được \(f\left( 2 \right) = {2^3} + 2 = 10\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 1\). Tính \(f\left( 3 \right) - 2f\left( 2 \right).\)
Thay \(x = 3\) vào hàm số ta được \(f\left( 3 \right) = {3.3^2} + 2.3 + 1 = 34\).
Thay \(x = 2\) vào hàm số ta được \(f\left( 2 \right) = {3.2^2} + 2.2 + 1 = 17\).
Suy ra \(f\left( 3 \right) - 2f\left( 2 \right) = 34 - 2.17 = 0\)
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^4}\) và \(h\left( x \right) = 7 - \dfrac{{3.x}}{2}\). So sánh \(f\left( { - 1} \right)\) và \(h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\)
Thay \(x = - 1\) vào hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^4}\) ta được \(f\left( { - 1} \right) = 6.{\left( { - 1} \right)^4} = 6\).
Thay \(x = \dfrac{2}{3}\) vào hàm số \(h\left( x \right) = 7 - \dfrac{{3x}}{2}\) ta được \(h\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = 7 - \dfrac{{3.\dfrac{2}{3}}}{2} = 6\).
Nên \(f\left( { - 1} \right) = h\left( {\dfrac{2}{3}} \right)\).
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2}\) và \(g\left( x \right) = 4x - 2\). Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để \(f\left( a \right) = g\left( a \right)\)
Thay \(x = a\) vào hai hàm số đã cho ta được \(f\left( a \right) = 2{a^2}\), \(g\left( a \right) = 4a - 2\)
Khi đó \(f\left( a \right) = g\left( a \right) \Leftrightarrow 2{a^2} = 4a - 2 \Leftrightarrow 2{a^2} - 4a + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - 2a + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a = 1.\)
Vậy có một giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\)
Lần lượt thay tọa độ các điểm \(M,N,P,Q\) vào hàm số \(f\left( x \right) = 3x - 2\) ta được
+) Với \(M\left( {0;1} \right)\), thay \(x = 0;y = 1\) ta được \(1 = 3.0 - 2 \Leftrightarrow 1 = - 2\) (Vô lý) nên \(M \notin \left( C \right)\).
+) Với \(N\left( {2;3} \right)\), thay \(x = 2;y = 3\) ta được \(3 = 3.2 - 2 \Leftrightarrow 3 = 4\) (Vô lý) nên \(N \notin \left( C \right)\).
+) Với \(P\left( { - 2; - 8} \right)\), thay \(x = - 2;y = - 8\) ta được \( - 8 = 3.\left( { - 2} \right) - 2 \Leftrightarrow - 8 = - 8\) (luôn đúng) nên \(P \in \left( C \right)\).
+) Với \(Q\left( { - 2;0} \right)\), thay \(x = - 2;y = 0\) ta được \(0 = 3.\left( { - 2} \right) - 2 \Leftrightarrow 0 = - 8\) (Vô lý) nên \(Q \notin \left( C \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3x\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và các điểm \(M\left( {1;1} \right);P\left( { - 1; - 3} \right);Q\left( {3;9} \right);A\left( { - 2;6} \right);O\left( {0;0} \right)\). Có bao nhiêu điểm trong số các điểm trên thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).
Lần lượt thay tọa độ các điểm \(M,O,P,Q;A\) vào hàm số \(f\left( x \right) = 3x\) ta được
+) Với \(M\left( {1;1} \right)\), thay \(x = 1;y = 1\) ta được \(1 = 3.1 \Leftrightarrow 1 = 3\) (Vô lý) nên \(M \notin \left( C \right)\).
+) Với \(O\left( {0;0} \right)\), thay \(x = 0;y = 0\) ta được \(0 = 3.0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (luôn đúng) nên \(O \in \left( C \right)\)
+) Với \(P\left( { - 1; - 3} \right)\), thay \(x = -1;y = - 3\) ta được \( - 3 = 3.\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow - 3 = - 3\) (luôn đúng) nên \(P \in \left( C \right)\).
+) Với \(Q\left( {3;9} \right)\), thay \(x = 3;y = 9\) ta được \(9 = 3.3 \Leftrightarrow 9 = 9\) (luôn đúng) nên \(Q \in \left( C \right)\).
+) Với \(A\left( { - 2;6} \right)\), thay \(x = - 2;y = 6\) ta được \(6 = \left( { - 2} \right).3 \Leftrightarrow 6 = - 6\) (vô lý) nên \(A \notin \left( C \right)\).
Vậy có ba điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) trong số các điểm đã cho.
Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm \(N\left( {1;1} \right)\)?
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(2x + y - 3 = 0\) ta được \(2.1 + 1 - 3 = 0\) nên điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(2x + y - 3 = 0\)
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(y - 3 = 0\) ta được \(1 - 3 = - 2 \ne 0\)
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(4x + 2y = 0\) ta được \(4.1 + 2.1 = 6 \ne 0\)
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(5x + 3y - 1 = 0\) ta được \(5.1 + 3.1 - 1 = 7 \ne 0\)
Vậy đường thẳng \(d:2x + y - 3 = 0\) đi qua \(N\left( {1;1} \right)\).
Hàm số \(y = 5 - 3x\) là hàm số?
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Giả sử \({x_1} < {x_2}\) và \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) . Ta có \(f\left( {{x_1}} \right) = 5 - 3{x_1};f\left( {{x_2}} \right) = 5 - 3{x_2}\).
Xét hiệu \(H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 5 - 3{x_1} - \left( {5 - 3{x_2}} \right)\)\( = 5 - 3{x_1} - 5 + 3{x_2} = 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\)\( > 0\) (vì \({x_1} < {x_2}\))
Vậy \(y = 5 - 3x\) là hàm số nghịch biến.
Hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x + 3\) là hàm số?
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Giả sử \({x_1} < {x_2}\) và \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) . Ta có \(f\left( {{x_1}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_1} + 3;f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_2} + 3\).
Xét hiệu \(H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{1}{2}{x_1} + 3 - \left( {\dfrac{1}{2}{x_2} + 3} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}{x_1} + 3 - \dfrac{1}{2}{x_2} - 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0\) (vì \({x_1} < {x_2}\))
Vậy \(y = \dfrac{1}{2}x + 3\) là hàm số đồng biến.
Cho hàm số \(y = \dfrac{{5 - m}}{2}x - 2m - 1\). Tìm \(m\) để hàm số nhận giá trị là \( - 5\) khi \(x = 2\).
Thay \(x = 2;y = - 5\) vào \(y = \dfrac{{5 - m}}{2}x - 2m - 1\) ta được \( - 5 = \dfrac{{5 - m}}{2}.2 - 2m - 1 \Leftrightarrow - 3m + 4 = - 5 \Leftrightarrow - 3m = - 9 \Leftrightarrow m = 3.\)
Cho hàm số \(y = \left( {2 - 3m} \right)x - 6\). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - 3;6} \right)\).
Thay \(x = - 3;y = 6\) vào \(y = \left( {2 - 3m} \right)x - 6\) ta được \(6 = \left( {2 - 3m} \right).\left( { - 3} \right) - 6 \Leftrightarrow 9m = 18 \Leftrightarrow m = 2.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}}\). Tính \(f\left( {4{a^2}} \right)\) với \(a \ge 0\).
Thay \(x = 4{a^2}\) vào \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}}\) ta được \(f\left( {4{a^2}} \right) = \dfrac{{2\sqrt {4{a^2}} - 2}}{{\sqrt {4{a^2}} + 4}} \)\(= \dfrac{{2\left| {2a} \right| - 2}}{{\left| {2a} \right| + 4}} \)\(= \dfrac{{4a - 2}}{{2a + 4}} \)\(= \dfrac{{2a - 1}}{{a + 2}}\) (vì \(a \ge 0 \Rightarrow \left| {2a} \right| = 2a\))
Cho hàm số \(y = \left( {\sqrt 3 + 2} \right)x - 4 - 4\sqrt 3 \). Tìm \(x\) để \(y = 3\).
Ta có \(y = 3 \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 2} \right)x - 4 - 4\sqrt 3 = 3\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 2} \right)x = 7 + 4\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 2} \right)x = {\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} \)\(\Leftrightarrow x = \sqrt 3 + 2\)
Vậy \(x = \sqrt 3 + 2\) .
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $D$. Với ${x_1},{x_2} \in D;{x_1} < {x_2}$, khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$. Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.
- Hàm số nghịch biến trên $D \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
Cho hàm số $f\left( x \right) = 3 - {x^2}$. Tính $f\left( { - 1} \right)$
Thay $x = - 1$ vào hàm số ta được $f\left( { - 1} \right) = 3 - {\left( { - 1} \right)^2} = 2$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 2$. Tính $2.f\left( 3 \right)$
Thay $x = 3$ vào hàm số ta được $f\left( 3 \right) = {3^3} - 3.3 - 2 = 16$$ \Rightarrow 2.f\left( 3 \right) = 2.16 = 32$.
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ và $h\left( x \right) = 10 - 3x$. So sánh $f\left( { - 2} \right)$ và $h\left( { - 1} \right)$
Thay $x = - 2$ vào hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^3}$ ta được $f\left( { - 2} \right) = - 2.{\left( { - 2} \right)^3} = 16$.
Thay $x = - 1$ vào hàm số $h\left( x \right) = 10 - 3x$ ta được $h\left( { - 1} \right) = 10 - 3\left( { - 1} \right) = 13$
Nên $f\left( { - 2} \right) > h\left( { - 1} \right)$.
Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ và $g\left( x \right) = 5x - 4$. Có bao nhiêu giá trị của $a$ để $f\left( a \right) = g\left( a \right)$
Thay $x = a$ vào hai hàm số đã cho ta được $f\left( a \right) = {a^2}$, $g\left( a \right) = 5a- 4$
Khi đó $f\left( a \right) = g\left( a \right) \Leftrightarrow {a^2} = 5a - 4 \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 4\end{array} \right.$
Vậy có hai giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
