Cho hai hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^2}$ và $g\left( x \right) = 3x + 5$. Giá trị nào của $a$ để $\dfrac{1}{2}f\left( a \right) = g\left( a \right)$
Thay $x = a$ vào hai hàm số đã cho ta được $f\left( a \right) = - 2{a^2}$, $g\left( a \right) = 3a + 5$
Khi đó $\dfrac{1}{2}f\left( a \right) = g\left( a \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\left( { - 2{a^2}} \right) = 3a + 5 \Leftrightarrow - {a^2} = 3a + 5 \Leftrightarrow {a^2} + 3a + 5 = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {a + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0$ (vô lý vì ${\left( {a + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \ge \dfrac{{11}}{4} > 0;\forall a$)
Vậy không có giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số $f\left( x \right) = 5,5x$ có đồ thị $\left( C \right)$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right).$
Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,N,P,Q$ vào hàm số $f\left( x \right) = 5,5x$ ta được
+) Với $M\left( {0;1} \right)$, thay $x = 0;y = 1$ ta được $1 = 5,5.0 \Leftrightarrow 1 = 0$ (Vô lý) nên $M \notin \left( C \right)$.
+) Với $N\left( {2;11} \right)$, thay $x = 2;y = 11$ ta được $2.5,5 = 11 \Leftrightarrow 11 = 11$ (luôn đúng) nên $N \in \left( C \right)$
+) Với $P\left( { - 2;11} \right)$, thay $x = - 2;y = 11$ ta được $11 = 5,5.\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow 11 = - 11$ (Vô lý) nên $P \notin \left( C \right)$.
+) Với $M\left( { - 2;12} \right)$, thay $x = - 2;y = 12$ ta được $12 = 5,5.\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow 12 = - 11$ (Vô lý) nên $Q \notin \left( C \right)$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}x$ có đồ thị $\left( C \right)$ và các điểm $M\left( {0;4} \right);P\left( {4; - 1} \right);Q\left( { - 4;1} \right);A\left( {8; - 2} \right);O\left( {0;0} \right).$ Có bao nhiêu điểm trong số các điểm trên thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$.
Lần lượt thay tọa độ các điểm $M,O,P,Q;A$ vào hàm số $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}x$ ta được
+) Với $M\left( {0;4} \right)$, thay $x = 0;y = 4$ ta được $4 = - \dfrac{1}{4}.0 \Leftrightarrow 4 = 0$ (Vô lý) nên $M \notin \left( C \right)$.
+) Với $O\left( {0;0} \right)$, thay $x = 0;y = 0$ ta được $0 = - \dfrac{1}{4}.0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng) nên $O \in \left( C \right)$
+) Với $P\left( {4; - 1} \right)$, thay $x = 4;y = - 1$ ta được $ - 1 = - \dfrac{1}{4}.4 \Leftrightarrow - 1 = - 1$ (luôn đúng) nên $P \in \left( C \right)$.
+) Với $Q\left( { - 4;1} \right)$, thay $x = - 4;y = 1$ ta được $1 = \dfrac{{ - 1}}{4}.\left( { - 4} \right) \Leftrightarrow 1 = 1$ (luôn đúng) nên $Q \in \left( C \right)$.
+) Với $A\left( {8; - 2} \right)$, thay $x = 8;y = - 2$ ta được $ - 2 = \dfrac{{ - 1}}{4}.8 \Leftrightarrow - 2 = -2$ (luôn đúng) nên $A \in \left( C \right)$.
Vậy có bốn điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ trong số các điểm đã cho.
Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm $M\left( {1;4} \right)$?
+) Thay $x = 1;y = 4$ vào $2x + y - 3 = 0$ ta được $2.1 + 4 - 3 = 3 \ne 0$
+) Thay $x = 1;y = 4$ vào $y - 5 = 0$ ta được $4 - 5 = - 1 \ne 0$
+) Thay $x = 1;y = 4$ vào $4x - y = 0$ ta được $4.1 - 4 = 0$
+) Thay $x = 1;y = 4$ vào $5x + 3y - 1 = 0$ ta được $5.1 + 3.4 - 1 = 16 \ne 0$
Vậy đường thẳng $d:4x - y = 0$ đi qua $M\left( {1;4} \right)$.
Hàm số $y = 1 - 4x$ là hàm số?
TXĐ: $D = \mathbb{R}$
Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ . Ta có $f\left( {{x_1}} \right) = 1 - 4{x_1};f\left( {{x_2}} \right) = 1 - 4{x_2}$.
Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 1 - 4{x_1} - \left( {1 - 4{x_2}} \right)$$ = 1 - 4{x_1} - 1 + 4{x_2} = 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)$$ > 0$ (vì ${x_1} < {x_2}$)
Vậy $y = 1 - 4x$ là hàm số nghịch biến.
Hàm số $y = 5x - 16$ là hàm số?
TXĐ: $D = \mathbb{R}$
Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ . Ta có $f\left( {{x_1}} \right) = 5{x_1} - 16;f\left( {{x_2}} \right) = 5{x_2} - 16$.
Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 5{x_1} - 16 - \left( {5{x_2} - 16} \right)$$ = 5{x_1} - 16 - 5{x_2} + 16 = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0$ (vì ${x_1} < {x_2}$)
Vậy $y = 5x - 16$ là hàm số đồng biến.
Cho hàm số $y = \left( {3m - 2} \right)x + 5m$. Tìm $m$ để hàm số nhận giá trị là $2$ khi $x = - 1$.
Thay $x = - 1;y = 2$ vào $y = \left( {3m - 2} \right)x + 5m$ ta được $2 = \left( {3m - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 5m $$\Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0.$
Cho hàm số $y = mx - 3m + 2$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {2; - 3} \right)$.
Thay $x = 2;y = - 3$ vào $y = mx - 3m + 2$ ta được $m.2 - 3m + 2 = - 3 \Leftrightarrow - m = - 5 \Leftrightarrow m = 5$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x + 3}}$. Tính $f\left( {{a^2}} \right)$ với $a < 0$.
Thay $x = {a^2}$ vào $f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x + 3}}$ ta được $f\left( {{a^2}} \right) = \dfrac{{\sqrt {{a^2}} + 1}}{{2\sqrt {{a^2}} + 3}} = \dfrac{{\left| a \right| + 1}}{{2\left| a \right| + 3}} = \dfrac{{ - a + 1}}{{ - 2a + 3}} = \dfrac{{1 - a}}{{3 - 2a}}$ (vì $a < 0 \Rightarrow \left| a \right| = - a$)
Cho hàm số $y = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2 - 1$. Tìm $x$ để $y = 0$.
$\begin{array}{l}y = 0 \Leftrightarrow \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)x = \sqrt 2 + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}x = \sqrt 2 + 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 + 1}}{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}\end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 2 - 1\end{array}$.
