Đồ thị hàm số y=ax+b

Đường thẳng $y = \left( {2m + 1} \right)x + 3$ đi qua điểm $A\left( { - 1;\,\,0} \right)$

$\Leftrightarrow 0 = \left( {2m + 1} \right).\left( { - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1.$

Điểm $M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)$ có hoành độ ${x_M} =  - 2$ và thuộc đồ thị hàm số $y =  - 3{x^2}$

$\Rightarrow {y_M} =  - 3.{\left( { - 2} \right)^2} =  - 12.$

Ta có điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ thuộc đường thẳng  $\left( d \right):\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2} + m$ nên thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ ta được: 

$\begin{array}{l} - 1 = \left( {m - 1} \right).1 + \dfrac{1}{2}{m^2} + m \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{m^2} + m + m - 1 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}m\left( {m + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right..\end{array}$

Vậy $m = 0,\,\,m =  - 4$ thỏa mãn bài toán.

Ta thấy $M\left( {3;1} \right)$ thuộc đồ thị hàm số nên $1 = a.3 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{3}$

Đồ thị hàm số $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường thẳng

Trường hợp 1:  Nếu $b = 0$ ta có hàm số $y = ax$. Đồ thị của $y = ax$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm $A(1;a).$

Trường hợp 2: Nếu $b \ne 0$ thì đồ thị $y = ax + b$ là đường thẳng đi qua các điểm $A(0;b),\,\,B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).$

Đồ thị hàm số $y = 3x - 2$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {0; - 2} \right)$ và $\left( {1;1} \right)$ nên hình 2 là đồ thị hàm số $y = 3x - 2$.

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {0; - 1} \right)$ và $\left( {2;3} \right)$ .

Thay tọa độ hai điểm vào mỗi hàm số ta thấy với hàm số $y = 2x - 1$

+) Thay $x = 0;y =  - 1$ và vào hàm số $y = 2x - 1$ ta được $- 1 = 2.0 - 1 \Leftrightarrow  - 1 =  - 1$ (luôn đúng)

+) Thay $x = 2;y = 3$ và vào hàm số $y = 2x - 1$ ta được $3 = 2.2 - 1 \Leftrightarrow 3 = 3$ (luôn đúng)

Vậy đồ thị hàm số $y = 2x - 1$ là đường thẳng như hình vẽ.

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với $A\left( {1;\dfrac{{22}}{5}} \right)$. Thay $x = 1;y = \dfrac{{22}}{5}$ vào $y = 5x - \dfrac{2}{5}$ ta được $5.1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{22}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{23}}{5} = \dfrac{{22}}{5}$ (Vô lý)

+) Với $B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)$. Thay $x = \dfrac{1}{5};y = \dfrac{3}{5}$ vào $y = 5x - \dfrac{2}{5}$ ta được $5.\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$ (Luôn đúng)

+) Với $C\left( { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right)$. Thay $x =  - \dfrac{2}{{25}};y =  - \dfrac{3}{5}$ vào $y = 5x - \dfrac{2}{5}$ ta được $5.\dfrac{{ - 2}}{{25}} - \dfrac{2}{5} =  - \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow  - \dfrac{4}{5} =  - \dfrac{3}{5}$ (Vô lý)

+)Với $D\left( {2;10} \right)$. Thay $x = 2;y = 10$ vào $y = 5x - \dfrac{2}{5}$ ta được $5.2 - \dfrac{2}{5} = 10 \Leftrightarrow \dfrac{{48}}{5} = 10$ (Vô lý)

$\Rightarrow B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = 5x - \dfrac{2}{5}$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ ta được

$x - 1 = 2 - 3x \Leftrightarrow 4x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}$

Thay $x = \dfrac{3}{4}$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}:y = x - 1$ ta được $y = \dfrac{3}{4} - 1 =  - \dfrac{1}{4}$.

Giao điểm của đường thẳng $d$ và trục tung có hoành độ $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình $y = 2x + 6$ ta được $y = 2.0 + 6 = 6$.

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $M\left( {0;6} \right)$.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = 9$ nên tọa độ giao điểm là $\left( {9;0} \right)$

Thay $x = 9;y = 0$ vào $y = \dfrac{{m + 2}}{3}x - 2m + 1$ ta được $\dfrac{{m + 2}}{3}.9 - 2m + 1 = 0$$\Leftrightarrow 3m + 6 - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 7$.

Vậy $m =  - 7$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = 3$ nên tọa độ giao điểm là $\left( {0;3} \right)$

Thay $x = 0;y = 3$ vào $y = \left( {2 - m} \right)x - \dfrac{{5 + m}}{2}$  ta được $\left( {2 - m} \right).0 - \dfrac{{5 + m}}{2} = 3 \Leftrightarrow 5 + m =  - 6 \Leftrightarrow m =  - 11.$.

Vậy $m =  - 11$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $\dfrac{m}{2}x + 1 = 3x - 2$ (*)

Để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có hoành độ $x =  - 1$ thì $x =  - 1$ thỏa mãn phương trình

(*). Suy ra $\dfrac{m}{2}.\left( { - 1} \right) + 1 = 3.\left( { - 1} \right) - 2$$\Leftrightarrow  - \dfrac{m}{2} + 1 =  - 5$$\Leftrightarrow  - \dfrac{m}{2} =  - 6 \Leftrightarrow m = 12.$

Thay $y = 3$ vào phương trình đường thẳng ${d_2}$ ta được $- x - 1 = 3 \Leftrightarrow x =  - 4$.

Suy ra tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $\left( { - 4;3} \right)$.

Thay $x =  - 4;y = 3$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}$ ta được $2\left( {m - 2} \right).\left( { - 4} \right) + m = 3 \Leftrightarrow  - 7m + 16 = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{{13}}{7}$.

Vậy $m = \dfrac{{13}}{7}$.

Để hai đồ thị hàm số $y = 3x - 2m$ và $y =  - x + 1 - m$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì

$\left\{ \begin{array}{l}3 \ne  - 1\\ - 2m = 1 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1$.

+) Thay tọa độ điểm $M\left( {0;5} \right)$ vào phương trình đường thẳng  ${d_2}$ ta được $5 = 5.0 - 1 \Leftrightarrow 5 =  - 1$ (vô lý )

Nên $B \notin {d_2}$. Suy ra A,D sai.

+) Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

* Phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$: $- x + 5 = 5x - 1 \Leftrightarrow 6x = 6 \Leftrightarrow x = 1$$\Rightarrow y =  - 1 + 5 \Leftrightarrow y = 4$

Suy ra tọa độ giao điểm của ${d_1}$và ${d_2}$ là $\left( {1;4} \right)$.

* Thay $x = 1;y = 4$ vào phương trình đường thẳng ${d_3}$ ta được $4 =  - 2.1 + 6 \Leftrightarrow 4 = 4$ (luôn đúng)

Vậy ba đường thẳng trên đồng quy tại điểm $N\left( {1;4} \right)$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_3}$:

$6 - 5x = 3x + 2 \Leftrightarrow 8x = 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow y = \dfrac{7}{2}$. Suy ra giao điểm của ${d_1}$ và ${d_3}$ là $M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì $M \in {d_2}$ nên $\dfrac{7}{2} = \left( {m + 2} \right).\dfrac{1}{2} + m$$\Leftrightarrow \dfrac{{3m}}{2} + 1 = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{3}.$

Vậy $m = \dfrac{5}{3}$.

$B\left( {x;0} \right)$ là giao điểm của $d$ với trục hoành nên $0 =  - 3x + 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow B\left( {\dfrac{2}{3};0} \right)$

$A\left( {0;y} \right)$ là giao điểm của $d$ với trục tung nên $y =  - 3.0 + 2 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow A\left( {0;2} \right)$.

Suy ra $OA = \left| 2 \right| = 2;OB = \left| {\dfrac{2}{3}} \right| = \dfrac{2}{3}$.

Vì tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên ${S_{OAB}} = \dfrac{{OA.OB}}{2} = \dfrac{{2.\dfrac{2}{3}}}{2} = \dfrac{2}{3}$ (đvdt)

+) Phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $\dfrac{{4 - x}}{3} = 8 - 2x \Leftrightarrow 24 - 6x = 4 - x \Leftrightarrow 5x = 20 \Leftrightarrow x = 4$$\Rightarrow y = 0$ nên $A\left( {4;0} \right)$

+) $B\left( {0;{y_B}} \right)$ là giao điểm của đường thẳng ${d_1}$ và trục tung. Khi đó ta có ${y_B} = \dfrac{{4 - 0}}{3} \Rightarrow {y_B} = \dfrac{4}{3}$.

Suy ra tổng tung độ ${y_A} + {y_B} = 0 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3}.$

Nhận thấy $M \in {d_2}$.

Ta thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình ${d_1}$ được phương trình $3 =  - \left( {2m - 2} \right).1 + 4m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$

Vậy $m = \dfrac{1}{2}.$