Đồ thị hàm số y=ax+b

Đường thẳng \(y = \left( {2m + 1} \right)x + 3\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\,\,0} \right)\)

\( \Leftrightarrow 0 = \left( {2m + 1} \right).\left( { - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1.\)

Điểm \(M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)\) có hoành độ \({x_M} =  - 2\) và thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 3{x^2}\)

\( \Rightarrow {y_M} =  - 3.{\left( { - 2} \right)^2} =  - 12.\)

Ta có điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng  \(\left( d \right):\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2} + m\) nên thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) ta được: 

\(\begin{array}{l} - 1 = \left( {m - 1} \right).1 + \dfrac{1}{2}{m^2} + m \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{m^2} + m + m - 1 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}m\left( {m + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m = 0,\,\,m =  - 4\) thỏa mãn bài toán.

Ta thấy \(M\left( {3;1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \(1 = a.3 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{3}\)

Đồ thị hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng

Trường hợp 1:  Nếu \(b = 0\) ta có hàm số \(y = ax\). Đồ thị của \(y = ax\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và điểm \(A(1;a).\)

Trường hợp 2: Nếu \(b \ne 0\) thì đồ thị \(y = ax + b\) là đường thẳng đi qua các điểm \(A(0;b),\,\,B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).\)

Đồ thị hàm số \(y = 3x - 2\) là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {0; - 2} \right)\) và \(\left( {1;1} \right)\) nên hình 2 là đồ thị hàm số \(y = 3x - 2\).

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {0; - 1} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\) .

Thay tọa độ hai điểm vào mỗi hàm số ta thấy với hàm số \(y = 2x - 1\)

+) Thay \(x = 0;y =  - 1\) và vào hàm số \(y = 2x - 1\) ta được \( - 1 = 2.0 - 1 \Leftrightarrow  - 1 =  - 1\) (luôn đúng)

+) Thay \(x = 2;y = 3\) và vào hàm số \(y = 2x - 1\) ta được \(3 = 2.2 - 1 \Leftrightarrow 3 = 3\) (luôn đúng)

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2x - 1\) là đường thẳng như hình vẽ.

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với \(A\left( {1;\dfrac{{22}}{5}} \right)\). Thay \(x = 1;y = \dfrac{{22}}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{22}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{23}}{5} = \dfrac{{22}}{5}\) (Vô lý)

+) Với \(B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\). Thay \(x = \dfrac{1}{5};y = \dfrac{3}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\) (Luôn đúng)

+) Với \(C\left( { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right)\). Thay \(x =  - \dfrac{2}{{25}};y =  - \dfrac{3}{5}\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.\dfrac{{ - 2}}{{25}} - \dfrac{2}{5} =  - \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow  - \dfrac{4}{5} =  - \dfrac{3}{5}\) (Vô lý)

+)Với \(D\left( {2;10} \right)\). Thay \(x = 2;y = 10\) vào \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\) ta được \(5.2 - \dfrac{2}{5} = 10 \Leftrightarrow \dfrac{{48}}{5} = 10\) (Vô lý)

\( \Rightarrow B\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 5x - \dfrac{2}{5}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) ta được

\(x - 1 = 2 - 3x \Leftrightarrow 4x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}\)

Thay \(x = \dfrac{3}{4}\) vào phương trình đường thẳng \({d_1}:y = x - 1\) ta được \(y = \dfrac{3}{4} - 1 =  - \dfrac{1}{4}\).

Giao điểm của đường thẳng \(d\) và trục tung có hoành độ \(x = 0\). Thay \(x = 0\) vào phương trình \(y = 2x + 6\) ta được \(y = 2.0 + 6 = 6\).

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \(M\left( {0;6} \right)\).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = 9\) nên tọa độ giao điểm là \(\left( {9;0} \right)\)

Thay \(x = 9;y = 0\) vào \(y = \dfrac{{m + 2}}{3}x - 2m + 1\) ta được \(\dfrac{{m + 2}}{3}.9 - 2m + 1 = 0 \)\(\Leftrightarrow 3m + 6 - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 7\).

Vậy \(m =  - 7\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 3\) nên tọa độ giao điểm là \(\left( {0;3} \right)\)

Thay \(x = 0;y = 3\) vào \(y = \left( {2 - m} \right)x - \dfrac{{5 + m}}{2}\)  ta được \(\left( {2 - m} \right).0 - \dfrac{{5 + m}}{2} = 3 \Leftrightarrow 5 + m =  - 6 \Leftrightarrow m =  - 11.\).

Vậy \(m =  - 11\)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\dfrac{m}{2}x + 1 = 3x - 2\) (*)

Để hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm có hoành độ \(x =  - 1\) thì \(x =  - 1\) thỏa mãn phương trình

(*). Suy ra \(\dfrac{m}{2}.\left( { - 1} \right) + 1 = 3.\left( { - 1} \right) - 2 \)\(\Leftrightarrow  - \dfrac{m}{2} + 1 =  - 5 \)\(\Leftrightarrow  - \dfrac{m}{2} =  - 6 \Leftrightarrow m = 12.\)

Thay \(y = 3\) vào phương trình đường thẳng \({d_2}\) ta được \( - x - 1 = 3 \Leftrightarrow x =  - 4\).

Suy ra tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\left( { - 4;3} \right)\).

Thay \(x =  - 4;y = 3\) vào phương trình đường thẳng \({d_1}\) ta được \(2\left( {m - 2} \right).\left( { - 4} \right) + m = 3 \Leftrightarrow  - 7m + 16 = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{{13}}{7}\).

Vậy \(m = \dfrac{{13}}{7}\).

Để hai đồ thị hàm số \(y = 3x - 2m\) và \(y =  - x + 1 - m\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì

\(\left\{ \begin{array}{l}3 \ne  - 1\\ - 2m = 1 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\).

+) Thay tọa độ điểm \(M\left( {0;5} \right)\) vào phương trình đường thẳng  \({d_2}\) ta được \(5 = 5.0 - 1 \Leftrightarrow 5 =  - 1\) (vô lý )

Nên \(B \notin {d_2}\). Suy ra A,D sai.

+) Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

* Phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\): \( - x + 5 = 5x - 1 \Leftrightarrow 6x = 6 \Leftrightarrow x = 1\)\( \Rightarrow y =  - 1 + 5 \Leftrightarrow y = 4\)

Suy ra tọa độ giao điểm của \({d_1}\)và \({d_2}\) là \(\left( {1;4} \right)\).

* Thay \(x = 1;y = 4\) vào phương trình đường thẳng \({d_3}\) ta được \(4 =  - 2.1 + 6 \Leftrightarrow 4 = 4\) (luôn đúng)

Vậy ba đường thẳng trên đồng quy tại điểm \(N\left( {1;4} \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_3}\):

\(6 - 5x = 3x + 2 \Leftrightarrow 8x = 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \)\(\Rightarrow y = \dfrac{7}{2}\). Suy ra giao điểm của \({d_1}\) và \({d_3}\) là \(M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\)

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì \(M \in {d_2}\) nên \(\dfrac{7}{2} = \left( {m + 2} \right).\dfrac{1}{2} + m \)\(\Leftrightarrow \dfrac{{3m}}{2} + 1 = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{3}.\)

Vậy \(m = \dfrac{5}{3}\).

\(B\left( {x;0} \right)\) là giao điểm của \(d\) với trục hoành nên \(0 =  - 3x + 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow B\left( {\dfrac{2}{3};0} \right)\)

\(A\left( {0;y} \right)\) là giao điểm của \(d\) với trục tung nên \(y =  - 3.0 + 2 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\).

Suy ra \(OA = \left| 2 \right| = 2;OB = \left| {\dfrac{2}{3}} \right| = \dfrac{2}{3}\).

Vì tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) nên \({S_{OAB}} = \dfrac{{OA.OB}}{2} = \dfrac{{2.\dfrac{2}{3}}}{2} = \dfrac{2}{3}\) (đvdt)

+) Phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\dfrac{{4 - x}}{3} = 8 - 2x \Leftrightarrow 24 - 6x = 4 - x \Leftrightarrow 5x = 20 \Leftrightarrow x = 4\)\( \Rightarrow y = 0\) nên \(A\left( {4;0} \right)\)

+) \(B\left( {0;{y_B}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \({d_1}\) và trục tung. Khi đó ta có \({y_B} = \dfrac{{4 - 0}}{3} \Rightarrow {y_B} = \dfrac{4}{3}\).

Suy ra tổng tung độ \({y_A} + {y_B} = 0 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3}.\)

Nhận thấy \(M \in {d_2}\).

Ta thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình \({d_1}\) được phương trình \(3 =  - \left( {2m - 2} \right).1 + 4m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}.\)