Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2} + m\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1} \right).\)

Ta có điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng  \(\left( d \right):\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + \dfrac{1}{2}{m^2} + m\) nên thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) ta được: 

\(\begin{array}{l} - 1 = \left( {m - 1} \right).1 + \dfrac{1}{2}{m^2} + m \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{m^2} + m + m - 1 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}m\left( {m + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m = 0,\,\,m =  - 4\) thỏa mãn bài toán.