Đồ thị hàm số y=ax+b

Để 3 đường thẳng trên là ba đường thẳng phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 1\\m \ne 1\\m \ne m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne  - 1\end{array} \right.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \({d_2}\) và \({d_3}\):

\(x + 2 = mx + 2 \Leftrightarrow x\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\m = 1\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 2\) nên giao điểm của \({d_2},{d_3}\) là \(M\left( {0;2} \right)\)

Để ba đường thẳng trên giao nhau tại 1 điểm thì \(M \in {d_1}\) . Nên \(2 = \left( {m + 2} \right).0 - 3m - 3 \Leftrightarrow 3m =  - 5 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{3}\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m = \dfrac{{ - 5}}{3}\).

Đồ thị hàm số $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường thẳng

Trường hợp 1: Nếu \(b = 0\) ta có hàm số \(y = ax\). Đồ thị của \(y = ax\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và điểm \(A(1;a).\)

Trường hợp 2: Nếu \(b \ne 0\) thì đồ thị \(y = ax + b\) là đường thẳng đi qua các điểm \(A(0;b),\,\,B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).\)

Đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;3} \right)$ nên hình 1 là đồ thị hàm số $y = 2x + 1$.

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với $A\left( {\dfrac{{ - 5}}{3};0} \right)$. Thay $x =  - \dfrac{5}{3};y = 0$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( { - \dfrac{5}{3} - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 20}}{3} = 0$ (Vô lý)

+) Với $B\left( {1;\dfrac{3}{4}} \right)$. Thay $x = 1;y = \dfrac{3}{4}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( {1 - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4}$ (Vô lý)

+) Với $D\left( {4;\dfrac{4}{3}} \right)$. Thay $x = 4;y = \dfrac{4}{3}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( {4 - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{31}}{3} = \dfrac{4}{3}$ (Vô lý)

+)Với $C\left( { \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$. Thay $x =  \dfrac{2}{3};y = \dfrac{1}{3}$ vào $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ ta được $3\left( { \dfrac{2}{3} - 1} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$ (luôn đúng)

$ \Rightarrow C$ thuộc đồ thị hàm số $y = 3\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ ta được

$2x - 2 = 3 - 4x \Leftrightarrow 6x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}$

Thay $x = \dfrac{5}{6}$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}:y = 2x - 2$ ta được $y = 2.\dfrac{5}{6} - 2 =  - \dfrac{1}{3}$

Giao điểm của đường thẳng $d$ và trục tung có hoành độ $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình $y = 3x - \dfrac{1}{2}$ ta được $y = 3.0 - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{2}$.

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $D\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x =  - 3$ nên tọa độ giao điểm là $\left( { - 3;0} \right).$

Thay $x =  - 3;y = 0$ vào $y = \left( {1 - m} \right)x + m$ ta được $\left( {1 - m} \right).\left( { - 3} \right) + m = 0 $

\( \Leftrightarrow - 3 + 3m + m = 0\)

$\Leftrightarrow 4m - 3 = 0$

$\Leftrightarrow 4m=3$

$ \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{4}.$

Vậy $m = \dfrac{3}{4}.$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ $y =  - 4$ nên tọa độ giao điểm là $\left( {0; - 4} \right)$

Thay $x = 0;y =  - 4$ vào $y = \left( {3 - 2m} \right)x + m - 2$ ta được $\left( {3 - 2m} \right).0 + m - 2 =  - 4 \Leftrightarrow m =  - 2$.

Vậy $m =  - 2$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$:

$mx - 2 = \dfrac{1}{2}x + 1$ (*)

Để hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại một điểm có hoành độ $x =  - 4$ thì $x =  - 4$ thỏa mãn phương trình (*).

Suy ra $m.\left( { - 4} \right) - 2 = \dfrac{1}{2}.\left( { - 4} \right) + 1 $$\Leftrightarrow  - 4m - 2 =  - 2 + 1 \Leftrightarrow  - 4m = 1$

$\Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{4}$.

Thay $y = 4$ vào phương trình đường thẳng ${d_2}$ ta được $x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$.

Suy ra tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $\left( {3;4} \right)$.

Thay $x = 3;y = 4$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}$ ta được $\left( {m + 1} \right).3 - 1 = 4 \Leftrightarrow m + 1 = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}$.

Vậy $m = \dfrac{2}{3}$.

Để hai đồ thị hàm số \(y =  - 2x + m + 2\) và \(y = 5x + 5 - 2m\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì

$\left\{ \begin{array}{l} - 2 \ne 5\\m + 2 = 5 - 2m\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow 3m = 3 \Leftrightarrow m = 1$.

+) Thay tọa độ điểm $A\left( {2;1} \right)$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}$ ta được $1 =  - 2.2 \Leftrightarrow 1 =  - 4$ ( vô lý) nên $A \notin {d_1}$ hay $A\left( {2;1} \right)$ không là giao điểm của ${d_1}$ và ${d_3}$. Suy ra A sai.

+) Thay tọa độ điểm $B\left( {1;4} \right)$ vào phương trình đường thẳng  ${d_2}$ ta được $4 =  - 3.1 - 1 \Leftrightarrow 4 =  - 4$ (vô lý )

Nên $B \notin {d_2}$. Suy ra C sai.

+) Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

* Phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$: $ - 2x =  - 3x - 1 \Leftrightarrow x =  - 1$$ \Rightarrow y =  - 2.\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow y = 2$

Suy ra tọa độ giao điểm của ${d_1}$và ${d_2}$ là $\left( { - 1;2} \right)$.

* Thay $x =  - 1;y = 2$ vào phương trình đường thẳng ${d_3}$ ta được $2 =  - 1 + 3 \Leftrightarrow 2 = 2$ (luôn đúng)

Vậy ba đường thẳng trên đồng quy tại điểm $M\left( { - 1;2} \right)$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$:

$x = 4 - 3x \Leftrightarrow x = 1$$ \Rightarrow y = 1$. Suy ra giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $M\left( {1;1} \right)$

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì $M \in {d_3}$ nên $1 = m.1 - 3 \Leftrightarrow m = 4$.

Vậy $m = 4$.

$A\left( {x;0} \right)$ là giao điểm của $d$ với trục hoành nên $0 =  - 2x - 4 \Leftrightarrow x =  - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right)$

$B\left( {0;y} \right)$ là giao điểm của $d$ với trục tung nên $y =  - 2.0 - 4 \Leftrightarrow y =  - 4 \Rightarrow B\left( {0; - 4} \right)$.

Suy ra $OA = \left| { - 2} \right| = 2;OB = \left| { - 4} \right| = 4$.

Vì tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên ${S_{OAB}} = \dfrac{{OA.OB}}{2} = \dfrac{{2.4}}{2} = 4$ (đvdt)

+) Phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là $ - x + 2 = 5 - 4x \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1$ nên ${x_A} = 1$

+) $B\left( {{x_B};0} \right)$ là giao điểm của đường thẳng ${d_1}$ và trục hoành. Khi đó ta có $0 =  - {x_B} + 2 \Rightarrow {x_B} = 2$.

Suy ra tổng hoành độ ${x_A} + {x_B} = 1 + 2 = 3$.

+) Nhận thấy $M \in {d_2}$.

+) Ta thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình ${d_1}$ được phương trình $ - 1 = 2.m + 1 \Leftrightarrow m =  - 1$

Vậy $m =  - 1$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_2}$ và ${d_3}$:

$3x + 1 = 2x - 5 \Leftrightarrow x =  - 6$$ \Rightarrow y =  - 17$. Suy ra giao điểm của ${d_3}$ và ${d_2}$ là $M\left( { - 6; - 17} \right).$

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì $M \in {d_1}$ nên $ - 17 = \left( {m + 2} \right).\left( { - 6} \right) - 3 \Leftrightarrow 6\left( {m + 2} \right) = 14 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$

Vậy $m = \dfrac{1}{3}$.

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\) .

Thay tọa độ hai điểm vào mỗi hàm số ta thấy với hàm số \(y = 3x - 3\)

+) Thay \(x = 1;y = 0\) và vào hàm số \(y = 3x - 3\) ta được \(0 = 3 - 3 \Leftrightarrow 0 = 0\) (luôn đúng)

+) Thay \(x = 2;y = 3\) và vào hàm số \(y = 3x - 3\) ta được \(3 = 3.2 - 3 \Leftrightarrow 3 = 3\) (luôn đúng)

Vậy đồ thị hàm số \(y = 3x - 3\) là đường thẳng như hình vẽ.