“Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài…”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là:
Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.
Cho đường tròn \(\left( O \right)\)có hai dây \(AB,CD\) không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) lớn hơn khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(CD\). Kết luận nào sau đây là đúng?
- Trong một đường tròn: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Từ đề bài ta thấy dây \(CD\) gần tâm hơn dây \(AB\) nên \(CD > AB.\)
“Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì …của dây ấy”. Điền vào dấu \(...\) cụm từ thích hợp.
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
+ Hai dây đi qua tâm thì chưa chắc vuông góc với nhau nên B sai.
Nên phương án A,B,C sai, D đúng.
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có bán kính \(R = 6,5\,cm\). Khoảng cách từ tâm đến dây \(AB\) là \(2,5\,cm\). Tính độ dài dây \(AB\).
Kẻ \(OH \bot AB\) tại \(H\) suy ra \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Xét tam giác \(OHB\) vuông tại \(H\) có \(OH = 2,5;OB = 6,5\). Theo định lý Pytago ta có \(HB = \sqrt {O{B^2} - O{H^2}} = \sqrt {6,{5^2} - 2,{5^2}} = 6\)
Mà \(H\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AB = 2HB = 12\,cm\)
Vậy \(AB = 12\,cm\).
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai dây \(AB,CD\) bằng nhau và vuông góc với nhau tại \(I\) . Giả sử \(IA = 6cm;IB = 3cm\) . Tổng khoảng cách từ tâm \(O\) dây \(AB,CD\) là
Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\),
Kẻ \(OE \bot AB\) tại \(E\) suy ra \(E\) là trung điểm của \(AB\), kẻ \(OF \bot CD\) tại \(F\).
Vì dây \(AB = CD\) nên \(OE = OF\) (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Xét tứ giác \(OEIF\) có \(\widehat E = \widehat F = \widehat I = 90^\circ \) nên \(OEIF\) là hình chữ nhật và \(OE = OF\) nên \(OEIF\) là hình vuông\( \Rightarrow OE = OF = EI\)
Mà \(AB = IA + IB = 9\,cm\) \( \Rightarrow EB = 4,5\,cm \Rightarrow EI = EB - IB = 1,5\,cm\) nên \(OE = OF = 1,5\,cm\)
Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây \(AB,CD\) là \(1,5 + 1,5 = 3\,cm\).
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai dây \(AB,CD\) vuông góc với nhau ở \(M\). Biết\(\,CD = 8\,cm;\,MC = 1\,cm\). Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là
Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\),
Kẻ \(OE \bot AB\) tại \(E\) suy ra \(E\) là trung điểm của \(AB\), kẻ \(OF \bot CD\) tại \(F\) suy ra \(F\) là trung điểm của \(CD\),
Xét tứ giác \(OEMF\) có \(\widehat E = \widehat F = \widehat M = 90^\circ \) nên \(OEIF\) là hình chữ nhật, suy ra \(FM = OE\).
Ta có \(CD = 8\,cm \Rightarrow FC = 4\,cm\) mà \(MC = 1\,cm \Rightarrow FM = FC - MC = 4 - 1 = 3\,cm\) nên \(OE = FM = \,3cm\)
Vậy khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là \(3\,cm\)
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có hai dây \(AB,CD\) vuông góc với nhau ở \(M\). Biết\(AB = 10\,cm;\,CD = 8\,cm;\,MC = 1\,cm\). Bán kính \(R\) và khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(CD\) lần lượt là
Xét đường tròn tâm \(\left( O \right)\),
Kẻ \(OE \bot AB\) tại \(E\) suy ra \(E\) là trung điểm của \(AB\), kẻ \(OF \bot CD\) tại \(F\) suy ra \(F\) là trung điểm của \(CD\),
Xét tứ giác \(OEMF\) có \(\widehat E = \widehat F = \widehat M = 90^\circ \) nên \(OEIF\) là hình chữ nhật, suy ra \(FM = OE\).
Ta có \(CD = 8\,cm \Rightarrow FC = 4\,cm\) mà \(MC = 1\,cm \Rightarrow FM = FC - MC = 4 - 1 = 3\,cm\) nên \(OE = \,FM = 3cm\)
\(E\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AE = \dfrac{{10}}{2} = 5cm\)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(OEA\) ta có \(OA = \sqrt {A{E^2} + O{E^2}} = \sqrt {34} \) nên \(R = \sqrt {34} \)
Lại có \(OD = R = \sqrt {34} ;FD = \dfrac{{CD}}{2} = 4\) nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(OFD\) ta có
\(OF = \sqrt {O{D^2} - F{D^2}} = \sqrt {34 - 16} = 3\sqrt 2 \). Do đó khoảng cách từ tâm đến dây \(CD\) là \(3\sqrt 2 \)\(cm\) .
Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) , đường kính \(AB\) và một dây \(MN\) . Kẻ \(AE\) và \(BF\) vuông góc với \(MN\) lần lượt tại \(E\) và \(F\) . So sánh độ dài \(OE\) và \(OF\) .
Lấy \(I\) là trung điểm của \(EF\)
Xét tứ giác \(AEFB\) có \(AE\,{\rm{//}}FB\) (vì cùng vuông với \(EF\)) nên \(AEFB\) là hình thang vuông tại \(E;F\).
Ta có \(OI\) là đường trung bình của hình thang \(AEFB\) nên \(OI\,{\rm{//}}\,AE{\rm{//}}FB\)\( \Rightarrow OI \bot EF\)
Hay \(OI \bot CD\) nên \(I\) là trung điểm của \(CD\) ( quan hệ giữa dây và đường kính)
Xét tam giác \(OEF\) có \(OI\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta OEF\) cân tại \(O\)
Suy ra \(OE = OF.\)
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) , đường kính \(AB\) . Lấy điểm \(C\) là trung điểm đoạn \(OB.\) Kẻ dây \(MN\) qua \(C\) và dây \(AD//MN\). So sánh độ dài \(AD\) và \(MN\) .
Kẻ đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(AD\) tại \(E\) và cắt \(MN\) tại \(F\) thì \(EF \bot MN\) tại \(F\) vì \(AC{\rm{//MN}}\) .
Xét hai tam giác vuông \(OEA\) và tam giác \(OFC\) có \(\widehat {AEO} = \widehat {OFC} = 90^\circ ;\widehat {AOE} = \widehat {FOC}\) (đối đỉnh)
Nên \(\Delta AEO \backsim \Delta CFO\,\left( {g - g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OF}} = \dfrac{{OA}}{{OC}}\) mà \(OA = OB = 2.OC \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OF}} = \dfrac{{OA}}{{OC}} = 2 \Rightarrow OE = 2OF\)
Hay \(OE > OF\) suy ra \(AD < MN\) (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn).
Cho đường tròn \(\left( O \right),\) dây cung \(AB\) và \(CD\) với \(CD = AB\). Giao điểm \(K\) của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\) nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn \(\left( {O;OK} \right),\) đường tròn này cắt \(KA\) và \(KC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) . So sánh KM và KN.
Xét đường tròn \(\left( {O;OB} \right)\)
Kẻ \(OE \bot CD;OF \bot AB\) tại \(E,F\) mà \(CD = AB \Rightarrow OE = OF\) (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)
Xét đường tròn \(\left( {O;OK} \right)\) có \(OE \bot KN;OF \bot KM\) tại \(E,F\) mà \(OE = OF \Rightarrow KN = KM\)( liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Cho đường tròn \(\left( {O;8\,cm} \right).\) Dây \(AB\) và \(CD\) song song, có độ dài lần lượt là \(14cm\) và \(10\,cm\) .Tính khoảng cách giữa hai dây.
Kẻ đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(CD\) tại \(E\) và cắt \(AB\) tại \(F\) thì \(EF \bot AB\) vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Khi đó \(E\) là trung điểm của \(CD\) và \(F\) là trung điểm của \(AB\) ( đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó). Nên \(ED = \dfrac{{CD}}{2} = 5cm;\,FB = \dfrac{{AB}}{2} = 7\,cm\); \(OD = OB = 8\,cm\)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(OED\) ta được \(OE = \sqrt {O{D^2} - E{D^2}} = \sqrt {{8^2} - {5^2}} = \sqrt {39} \,cm\)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(OFB\) ta được \(OF = \sqrt {O{B^2} - F{B^2}} = \sqrt {{8^2} - {7^2}} = \sqrt {15} \,cm\)
Vậy khoảng cách giữa hai dây là \(EF = OE + OF = \sqrt {39} + \sqrt {15} \,cm\).
Cho hình vuông \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\) . Gọi \(E\) là giao điểm của \(CM\) và \(DN\) . So sánh \(AE\) và \(DM.\)
+) Ta có \(\widehat {CDN} = \widehat {ECN}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {CNE}\)) nên \(\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {CEN} = 90^\circ \Rightarrow CM \bot DN\)
+) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DM\).
Xét tam giác vuông \(ADM\) ta có \(AI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}\). Xét tam giác vuông \(DEM\) ta có \(EI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}\)
Nên \(EI = ID = IM = IA = \dfrac{{DM}}{2}\)
Do đó bốn điểm \(A,D,E,M\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = \dfrac{{DM}}{2}\).
Xét \(\left( {I;\dfrac{{DM}}{2}} \right)\) có \(DM\) là đường kính và \(AE\) là dây không đi qua tâm nên \(DM > AE\).
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 20cm\) , dây \(CD\) có độ dài \(16cm\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) nằm giữa \(O\) và \(B\). Độ dài \(HA\) là
Xét \(\left( O \right)\) có \(AB \bot CD\) tại \(H\) và \(AB\) là đường kính nên \(H\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow HD = HC = \dfrac{{CD}}{2} = 8\,cm\)
Vì \(AB = 20 \Rightarrow OA = OB = OD = \dfrac{{20}}{2} = 10\,cm\).
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(OHD\) ta được \(OH = \sqrt {O{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6\)
Khi đó \(HA = OA + OH = 10 + 6 = 16\,cm\).
Cho đường thẳng \(d\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A;\,\,B.\) Biết khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(3cm\) và độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng \(8cm.\) Bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\) bằng:
Kẻ \(OH \bot AB.\)
Khi đó ta có \(H\) là trung điểm của \(AB.\) (mối liên liên hệ giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OH = 3cm\\AH = \dfrac{1}{2}AB = 4cm\end{array} \right..\)
Áp dụng định lý Py-ta-go cho \(\Delta AOH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(\begin{array}{l}O{A^2} = A{H^2} + H{O^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow R = OA = 5cm.\end{array}\)
Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Hai dây \(AB,\,\,CD\)song song với nhau sao cho tâm \(O\) nằm trong dải song song tạo bởi \(AB,\,\,CD\). Biết khoảng cách giữa hai dây đó bằng 11\(cm\) và \(AB = 10\sqrt 3 \,\,cm,\) \(CD = 16\,\,cm\). Tính \(R\).
Kẻ \(OH \bot AB,\,\,\,OK \bot CD\)\(\left( {H \in AB;\,\,K \in CD} \right).\)
Theo bài ra ta có \(HK = 11\,\,\left( {cm} \right)\).
Khi đó ta có \(H,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
\( \Rightarrow HB = \dfrac{{AB}}{2} = 5\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right);\) \(KD = \dfrac{{CD}}{2} = 8\,\,\left( {cm} \right).\)
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(O{B^2} = O{D^2} \Leftrightarrow H{B^2} + O{H^2} = O{K^2} + K{D^2}\)
Đặt \(OH = x\,\,\left( {0 < x < 11} \right)\)\( \Rightarrow OK = 11 - x.\)
Khi đó ta có: \(H{B^2} + {x^2} = {\left( {11 - x} \right)^2} + K{D^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} + {x^2} = {\left( {11 - x} \right)^2} + {8^2}\\ \Leftrightarrow 75 + {x^2} = {x^2} - 22x + 121 + 64\\ \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(R = OB = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2} + {5^2}} = 10\,\,\,\left( {cm} \right).\)
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ và dây $CD$ không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Cho đường tròn $\left( O \right)$ có hai dây $AB,CD$ không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?
- Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
“Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì $ \ldots $với dây ấy”. Điền vào dấu $...$ cụm từ thích hợp.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn
- Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
- Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn,
Nên phương án B,C,D đúng.