Đường kính và dây của đường tròn

Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

- Trong một đường tròn:  Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Từ đề bài ta thấy dây $CD$ gần tâm hơn dây $AB$ nên $CD > AB.$

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

- Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

- Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

+ Hai dây đi qua tâm thì chưa chắc vuông góc với nhau  nên B sai.

Nên phương án A,B,C sai, D đúng.

Kẻ $OH \bot AB$ tại $H$ suy ra $H$ là trung điểm của $AB$.

Xét tam giác $OHB$ vuông tại $H$ có $OH = 2,5;OB = 6,5$. Theo định lý Pytago ta có $HB = \sqrt {O{B^2} - O{H^2}}  = \sqrt {6,{5^2} - 2,{5^2}}  = 6$

Mà $H$ là trung điểm của $AB$ nên $AB = 2HB = 12\,cm$

Vậy $AB = 12\,cm$.

Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$,

Kẻ $OE \bot AB$ tại $E$ suy ra $E$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OF \bot CD$ tại $F$.

Vì dây $AB = CD$ nên $OE = OF$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét tứ giác $OEIF$ có $\widehat E = \widehat F = \widehat I = 90^\circ$ nên $OEIF$ là hình chữ nhật và $OE = OF$ nên $OEIF$ là hình vuông$\Rightarrow OE = OF = EI$

Mà $AB = IA + IB = 9\,cm$ $\Rightarrow EB = 4,5\,cm \Rightarrow EI = EB - IB = 1,5\,cm$ nên $OE = OF = 1,5\,cm$

Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây $AB,CD$ là $1,5 + 1,5 = 3\,cm$.

Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$,

Kẻ $OE \bot AB$ tại $E$ suy ra $E$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OF \bot CD$ tại $F$ suy ra $F$ là trung điểm của $CD$,

Xét tứ giác $OEMF$ có $\widehat E = \widehat F = \widehat M = 90^\circ$ nên $OEIF$ là hình chữ nhật, suy ra $FM = OE$.

Ta có $CD = 8\,cm \Rightarrow FC = 4\,cm$ mà $MC = 1\,cm \Rightarrow FM = FC - MC = 4 - 1 = 3\,cm$ nên $OE = FM = \,3cm$

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $3\,cm$

Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$,

Kẻ $OE \bot AB$ tại $E$ suy ra $E$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OF \bot CD$ tại $F$ suy ra $F$ là trung điểm của $CD$,

Xét tứ giác $OEMF$ có $\widehat E = \widehat F = \widehat M = 90^\circ$ nên $OEIF$ là hình chữ nhật, suy ra $FM = OE$.

Ta có $CD = 8\,cm \Rightarrow FC = 4\,cm$ mà $MC = 1\,cm \Rightarrow FM = FC - MC = 4 - 1 = 3\,cm$ nên $OE = \,FM = 3cm$

$E$ là trung điểm của $AB$ nên $AE = \dfrac{{10}}{2} = 5cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OEA$ ta có $OA = \sqrt {A{E^2} + O{E^2}}  = \sqrt {34}$ nên $R = \sqrt {34}$

Lại có $OD = R = \sqrt {34} ;FD = \dfrac{{CD}}{2} = 4$ nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OFD$ ta có

$OF = \sqrt {O{D^2} - F{D^2}}  = \sqrt {34 - 16}  = 3\sqrt 2$. Do đó khoảng cách từ tâm đến dây $CD$ là $3\sqrt 2$$cm$ .

Lấy $I$ là trung điểm của $EF$

Xét tứ giác $AEFB$ có $AE\,{\rm{//}}FB$ (vì cùng vuông với $EF$) nên $AEFB$ là hình thang vuông tại $E;F$.

Ta có $OI$ là đường trung bình của hình thang $AEFB$ nên $OI\,{\rm{//}}\,AE{\rm{//}}FB$$\Rightarrow OI \bot EF$

Hay $OI \bot CD$ nên $I$ là trung điểm của $CD$ ( quan hệ giữa dây và đường kính)

Xét tam giác $OEF$ có $OI$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta OEF$ cân tại $O$

Suy ra $OE = OF.$

Kẻ đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AD$ tại $E$ và cắt $MN$ tại $F$ thì $EF \bot MN$ tại $F$  vì $AC{\rm{//MN}}$ .

Xét hai tam giác  vuông $OEA$ và tam giác $OFC$ có $\widehat {AEO} = \widehat {OFC} = 90^\circ ;\widehat {AOE} = \widehat {FOC}$ (đối đỉnh)

Nên $\Delta AEO \backsim \Delta CFO\,\left( {g - g} \right)$$\Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OF}} = \dfrac{{OA}}{{OC}}$ mà $OA = OB = 2.OC \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OF}} = \dfrac{{OA}}{{OC}} = 2 \Rightarrow OE = 2OF$

Hay $OE > OF$ suy ra $AD < MN$ (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn).

Xét đường tròn $\left( {O;OB} \right)$

Kẻ $OE \bot CD;OF \bot AB$ tại $E,F$ mà $CD = AB \Rightarrow OE = OF$ (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)

Xét đường tròn $\left( {O;OK} \right)$ có $OE \bot KN;OF \bot KM$ tại $E,F$ mà $OE = OF \Rightarrow KN = KM$( liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

Kẻ đường thẳng qua $O$ vuông góc với $CD$ tại $E$ và cắt $AB$ tại $F$ thì $EF \bot AB$ vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$.

Khi đó $E$ là trung điểm của $CD$ và $F$ là trung điểm của $AB$ ( đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó). Nên $ED = \dfrac{{CD}}{2} = 5cm;\,FB = \dfrac{{AB}}{2} = 7\,cm$; $OD = OB = 8\,cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OED$ ta được $OE = \sqrt {O{D^2} - E{D^2}}  = \sqrt {{8^2} - {5^2}}  = \sqrt {39} \,cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OFB$ ta được $OF = \sqrt {O{B^2} - F{B^2}}  = \sqrt {{8^2} - {7^2}}  = \sqrt {15} \,cm$

Vậy khoảng cách giữa hai dây là $EF = OE + OF = \sqrt {39}  + \sqrt {15} \,cm$.

+) Ta có $\widehat {CDN} = \widehat {ECN}$ (vì cùng phụ với $\widehat {CNE}$) nên $\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {CEN} = 90^\circ  \Rightarrow CM \bot DN$

+) Gọi $I$ là trung điểm của $DM$.

Xét tam giác vuông $ADM$ ta có $AI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}$. Xét tam giác vuông $DEM$ ta có $EI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}$

Nên $EI = ID = IM = IA = \dfrac{{DM}}{2}$

Do đó bốn điểm $A,D,E,M$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $R = \dfrac{{DM}}{2}$.

Xét $\left( {I;\dfrac{{DM}}{2}} \right)$ có $DM$ là đường kính  và $AE$ là dây không đi qua tâm nên $DM > AE$.

Xét $\left( O \right)$ có $AB \bot CD$ tại $H$ và $AB$ là đường kính nên $H$ là trung điểm của $CD$$\Rightarrow HD = HC = \dfrac{{CD}}{2} = 8\,cm$

Vì $AB = 20 \Rightarrow OA = OB = OD = \dfrac{{20}}{2} = 10\,cm$.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OHD$ ta được $OH = \sqrt {O{D^2} - D{H^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}}  = 6$

Khi đó $HA = OA + OH = 10 + 6 = 16\,cm$.

Kẻ $OH \bot AB.$

Khi đó ta có $H$ là trung điểm của $AB.$ (mối liên liên hệ giữa đường kính và dây cung)

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OH = 3cm\\AH = \dfrac{1}{2}AB = 4cm\end{array} \right..$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho $\Delta AOH$ vuông tại $H$ ta có:

$\begin{array}{l}O{A^2} = A{H^2} + H{O^2} = {4^2} + {3^2} = 25\\ \Rightarrow R = OA = 5cm.\end{array}$

Kẻ $OH \bot AB,\,\,\,OK \bot CD$$\left( {H \in AB;\,\,K \in CD} \right).$

Theo bài ra ta có $HK = 11\,\,\left( {cm} \right)$.

Khi đó ta có $H,\,\,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

$\Rightarrow HB = \dfrac{{AB}}{2} = 5\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right);$ $KD = \dfrac{{CD}}{2} = 8\,\,\left( {cm} \right).$

Áp dụng định lí Pytago ta có: $O{B^2} = O{D^2} \Leftrightarrow H{B^2} + O{H^2} = O{K^2} + K{D^2}$

Đặt $OH = x\,\,\left( {0 < x < 11} \right)$$\Rightarrow OK = 11 - x.$

Khi đó ta có: $H{B^2} + {x^2} = {\left( {11 - x} \right)^2} + K{D^2}$

  $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} + {x^2} = {\left( {11 - x} \right)^2} + {8^2}\\ \Leftrightarrow 75 + {x^2} = {x^2} - 22x + 121 + 64\\ \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $R = OB = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2} + {5^2}}  = 10\,\,\,\left( {cm} \right).$

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

- Trong một đường tròn:  Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

- Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

- Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn,

Nên phương án B,C,D đúng.