Bài tập ôn tập chương 8

Ta có hình trụ có bán kính đáy là \(R\) và chiều cao \(h\) . Khi đó

+ Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rh\) nên A đúng

+ Diện tích toàn phần của hình trụ   là \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\) nên B đúng

+ Thể tích khối trụ là \(V = \pi {R^2}h\) nên C đúng, D sai.

Ta có

+ Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\)  là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) nên A đúng

+ Diện tích hình cầu có bán kính \(R\)  là \(S = 4\pi {R^2}\) nên  C đúng

+ Đường sinh của hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\)  là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \)  nên D đúng

+ Thể tích khối cầu có bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\) nên B sai.

Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi {.4}.6 = 48\pi \,\left( {c{m^2}} \right).\)

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn đáy ta có \(12 = 2\pi R \Rightarrow R = \dfrac{6}{\pi }\,\left( {cm} \right)\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là \({S_{tp}} = 2\pi .\dfrac{6}{\pi }.4 + 2\pi .{\left( {\dfrac{6}{\pi }} \right)^2} \) \( = 48+ \dfrac{{72}}{\pi }\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi chiều cao của hình trụ là \(h.\) Ta có \({S_{xq}} = 2\pi R.h \Leftrightarrow 2\pi {.5}.h = 300\pi  \Leftrightarrow h = 30\,cm.\)

Gọi chiều cao của hình trụ là \(h.\)

Ta có \({S_{xq}} = 2\pi {R}h\) ; \({S_{tp}} = 2\pi {R}h + 2\pi {R^2}\) mà theo giả thiết thì \({S_{tp}} = 2{S_{xq}}\) nên ta có

\(2\pi {R}h + 2\pi {R^2} = 2.2\pi {R}h \Leftrightarrow 2\pi {R^2} = 2\pi {R}h \)\(\Rightarrow h = R=1cm.\)

Gọi hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao \(h\) ,  từ đề bài suy ra \(h = 2R\) .

Khi đó \(V = \pi {R^2}h \Leftrightarrow \pi .{R^2}.2R = 54\pi  \Rightarrow {R^3} = 27 \Rightarrow R = 3\,cm\) nên \(h = 2R = 6\,cm.\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là \({S_{tp}} = 2\pi .Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi .3.6 + 2\pi {.3^2} = 54\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}}  = 13.\)

Diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .5.13 = 65\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Thể tích nón cụt là $V = \dfrac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2}) = \dfrac{1}{3}.\pi .11\left( {{4^2} + 4.7 + {7^2}} \right) = 341\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Giả sử hình trụ thứ nhất có bán kính đáy là \(R\)  và chiều cao là \(h.\)  Thể tích hình trụ thứ nhất là: ${V_1} = \pi {R^2}h$ (1)
Vì hình trụ thứ nhất có bán kính đáy bằng nửa bán kính đáy của hình trụ thứ hai và có chiều cao gấp bốn lần chiều cao của hình trụ thứ hai nên hình trụ thứ hai có bán kính đáy là \(2R\)  và chiều cao là \(\dfrac{h}{4}.\)  
Thể tích hình trụ thứ hai là: ${V_2} = \pi {\left( {2R} \right)^2}.\dfrac{h}{4} = \pi {R^2}h$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \({V_1} = {V_2} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\)

Gọi \(R\) là bán kính đáy và \(l\)  là đường sinh của hình nón.

Vì chu vi đáy là $48\left( {cm} \right) \Rightarrow 2\pi R = 48\, \Rightarrow R = \dfrac{{24}}{\pi }\,cm.$

Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi Rl \Leftrightarrow \pi .\dfrac{{24}}{\pi }.l = 960 \Rightarrow l = 40\,cm\)

Gọi \(l\)  là đường sinh của hình nón, \(h\)  là chiều cao của hình nón.

Ta có diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl\), diện tích đáy là \(S = \pi {r^2}\)

Vì diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên \(\pi rl = 2\pi {r^2} \Rightarrow l = 2r\)

Vì ${r^2} + {h^2} = {l^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = \sqrt {{{\left( {2r} \right)}^2} - {r^2}}  = r\sqrt 3 $

Khi đó thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}.\sqrt 3 r = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\)

Vì hình nón và một hình trụ có bán kính đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau nên gọi \(h\) là chiều cao và \(R\) là bán kính đáy khi đó thể tích hình nón ${V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$ và thể tích hình trụ ${V_t} = \pi {R^2}h$

Tỉ số thể tích của hình trụ và hình nón là \(\dfrac{{{V_t}}}{{{V_n}}} = \dfrac{{\pi {R^2}h}}{{\dfrac{1}{3}\pi {R^2}h}} = 3.\)

Gọi bán kính mặt cầu là \(R\) thì thể tích khối cầu  là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}.3,14.{R^3} = 123 \Leftrightarrow R \approx 3,1\,cm\)

Giả sử hình trụ có bán kính đáy \(R.\)

 Suy ra chiều cao của nó là \(1,5R.\)

Thể tích hình trụ là \({V_1} = \pi {R^2}h = \pi {R^2}.1,5R = 1,5\pi {R^3}\)

Thể tích hình cầu có bán kính \(R\)  là \({V_2} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)

\(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{1,5\pi {R^3}}}{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}} = \dfrac{9}{8}.\)

Bán kính hình cầu là \(r = 20:2 = 10\,cm\)

Vì hình cầu nội  tiếp hình trụ nên bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ và đường kính hình cầu bằng chiều cao hình trụ.

Do đó hình trụ có bán kính đáy là \(r = 10\,cm\)  và chiều cao là \(h = 2r = 20\,cm\)

Thể tích hình trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.10^2}.20 = 2000\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)

+ Thể tích hình trụ : ${V_1} = \pi {R^2}{h_1}$.

+ Thể tích hình nón : ${V_2} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2}.$

+ Thể  tích hình cầu :  \({V_3} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)

Ta có  ${V_1} = {V_2} = {V_3}$

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}\pi {R^2}{h_1} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\\\dfrac{1}{3}\pi {R^2}{h_2} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{h_1} = \dfrac{4}{3}R\\{h_2} = 4R\end{array} \right.\)

Gọi \(h\)  là chiều cao hình nón \(\left( {h > 0} \right)\) . Đường sinh của hình nón bằng \(l = \sqrt {{h^2} + 4} \)

Diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi .2.\sqrt {{h^2} + 4}  + \pi {.2^2} = \pi \left( {2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu nên bán kính hình cầu là \(\dfrac{h}{2}\,\left( {cm} \right)\)

Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi .{\left( {\dfrac{h}{2}} \right)^2} = \pi {h^2}\)

Theo bài ra ta có

\(\pi \left( {2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4} \right) = \pi {h^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4 = {h^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4}  = {h^2} - 4\,\,\left( {h > 2} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {{h^2} + 4} \right) = {h^4} - 8{h^2} + 16\\ \Leftrightarrow {h^4} - 12{h^2} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{h^2} = 0\\{h^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\left( L \right)\\h =  - 2\sqrt 3 \left( L \right)\\h = 2\sqrt 3 \,\left( N \right)\end{array} \right.\)

Vậy chiều cao hình nón là \(2\sqrt 3 \,cm.\)