Câu hỏi:
2 năm trước
Một hình nón có bán kính đáy bằng $2\,cm,$ chiều cao bằng đường kính một hình cầu. Diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao hình nón.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi \(h\) là chiều cao hình nón \(\left( {h > 0} \right)\) . Đường sinh của hình nón bằng \(l = \sqrt {{h^2} + 4} \)
Diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi .2.\sqrt {{h^2} + 4} + \pi {.2^2} = \pi \left( {2\sqrt {{h^2} + 4} + 4} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Vì chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu nên bán kính hình cầu là \(\dfrac{h}{2}\,\left( {cm} \right)\)
Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi .{\left( {\dfrac{h}{2}} \right)^2} = \pi {h^2}\)
Theo bài ra ta có
\(\pi \left( {2\sqrt {{h^2} + 4} + 4} \right) = \pi {h^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4} + 4 = {h^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4} = {h^2} - 4\,\,\left( {h > 2} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {{h^2} + 4} \right) = {h^4} - 8{h^2} + 16\\ \Leftrightarrow {h^4} - 12{h^2} = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{h^2} = 0\\{h^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\left( L \right)\\h = - 2\sqrt 3 \left( L \right)\\h = 2\sqrt 3 \,\left( N \right)\end{array} \right.\)
Vậy chiều cao hình nón là \(2\sqrt 3 \,cm.\)
Hướng dẫn giải:
+ Tính đường sinh của hình nón \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \)
+ Tính diện tích toàn phần hình nón: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi Rl + \pi {R^2}.$
+ Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu: $S = 4\pi {R^2}$
Dựa vào đề bài để có phương trình từ đó tìm được \(h.\)
