Hệ phương trình đối xứng

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy - 2xy = 20\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 20\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\36 - 2xy = 20\end{array} \right.$

 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\x\left( {6 - x} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\{x^2} - 6x + 8 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right.$

Với $x = 2 \Rightarrow y = 6 - 2 = 4$

Với $x = 4 \Rightarrow y = 6 - 4 = 2$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {2;4} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {4;2} \right)$

Từ giả thiết $x > y$ nên $x = 4;y = 2 \Rightarrow 3x + 2y = 3.4 + 2.2 = 16$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^2}y + x{y^2} = 6\\xy + x + y = 5\end{array} \right.{\rm{  }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = 5\\xy\left( {x + y} \right) = 6\end{array} \right.$

Đặt $S = x + y;P = xy\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\S.P = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 5 - P\\\left( {5 - P} \right).P = 6\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình $\left( 1 \right):$

 $\,5P - {P^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {P^2} - 5P + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {P - 2} \right)\left( {P - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 2 \Rightarrow S = 3\left( {tm\,{S^2} \ge 4P} \right)\\P = 3 \Rightarrow S = 2\left( {ktm\,{S^2} \ge 4P} \right)\end{array} \right.$

Với $P = 2;S = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\x\left( {3 - x} \right) - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right).$

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2xy =  - 8\\{x^2} + {y^2} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + 2xy =  - 8\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 10\end{array} \right.$

+ Đặt $S = x + y;P = xy$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}S + 2P =  - 8\\{S^2} - 2P = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S + 2P =  - 8\\{S^2} + S - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S + 2P =  - 8\\\left( {S - 1} \right)\left( {S + 2} \right) = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{ - 8 - S}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}S =  - 2\\S = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S =  - 2\\P =  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S = 1\\P =  - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$  (tm ${S^2} \ge 4P$)

+)  Với $\left\{ \begin{array}{l}S =  - 2\\P =  - 3\end{array} \right.$ thì  $\left\{ \begin{array}{l}xy =  - 3\\x + y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 2 - x\\x\left( { - 2 - x} \right) + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 2 - x\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 2 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y =  - 3\\x =  - 3;y = 1\end{array} \right.$

+)  Với $\left\{ \begin{array}{l}S = 1\\P =  - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.$ thì  $\left\{ \begin{array}{l}xy =  - \dfrac{9}{2}\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\x\left( {1 - x} \right) =  - \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\{x^2} - x - \dfrac{9}{2} = 0\left( * \right)\end{array} \right.$

Nhận thấy phương trình $\left( * \right)$ có $\Delta  = 19 > 0$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{1 - \sqrt {19} }}{2}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {19} }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{2}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm $\left( {1; - 3} \right);\left( { - 3;1} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt {19} }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {19} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{2}} \right)$

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được ${x^2} - {y^2} = 3x + 2y - \left( {3y + 2x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = x - y$

$\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 1 - y\end{array} \right.$

Với $x = y$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} = 3x + 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} - 5x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x\left( {x - 5} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = 5\end{array} \right.$

Với $x = 1 - y$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} = 5y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} = 3y + 2\left( {1 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} - y - 2 = 0\end{array} \right.$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 1\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 1 \Rightarrow x = 2\\y = 2 \Rightarrow x =  - 1\end{array} \right.$

Vậy nghiệm khác $0$ của hệ là $\left( {5;5} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {2; - 1} \right)$ .

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được

$2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + x - y = 0$$\Leftrightarrow 2\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2x + 2y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = \dfrac{{1 - 2y}}{2}\end{array} \right.$

Với $x = y$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} - x - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 4\\x = y =  - \dfrac{7}{2}\end{array} \right.$

Với $x = \dfrac{{1 - 2y}}{2}$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - 2y}}{2}\\2{y^2} + \dfrac{{1 - 2y}}{2} = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - 2y}}{2}\\4{y^2} - 2y - 55 = 0\left( * \right)\end{array} \right.$

Phương trình $\left( * \right)$ có $\Delta ' = 221 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt {221} }}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{1 - \sqrt {221} }}{4}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {221} }}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{1 + \sqrt {221} }}{4}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm $\left( {4;4} \right);\left( { - \dfrac{7}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {221} }}{4};\dfrac{{1 - \sqrt {221} }}{4}} \right);\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {221} }}{4};\dfrac{{1 + \sqrt {221} }}{4}} \right)$

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\{x^2} + {y^2} = 2m + 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 2m + 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\4{m^2} - 2xy = 2m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\xy = {m^2} - m - 1\end{array} \right.$

Điều kiện để hệ trên có nghiệm là $4{m^2} \ge 4\left( {{m^2} - m - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1$

Khi đó thay $x + y = 2m;xy = {m^2} - m - 1$ vào $P$ ta được $P = {m^2} - m - 1 - 3.2m = {m^2} - 7m - 1 = {\left( {m - \dfrac{7}{2}} \right)^2} - \dfrac{{53}}{4} \ge  - \dfrac{{53}}{4}$

Dấu ‘=’ xảy ra khi $m - \dfrac{7}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy ${P_{\min }} =  - \dfrac{{53}}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{2}$

+ Ta có  $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 8\\x + y + 2xy = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 8\\x + y + 2xy = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] = 8\\x + y + 2xy = 2\end{array} \right.$

+ Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.$ điều kiện ${S^2} \ge 4P$ hệ phương trình đã cho trở thành:

     $\left\{ \begin{array}{l}S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 8\\S + 2P = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{2 - S}}{2}\\S\left( {{S^2} - \dfrac{{6 - 3S}}{2}} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{2 - S}}{2}\\2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0\end{array} \right.$

 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{2 - S}}{2}\\\left( {S - 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 2\\P = 0\end{array} \right.$(thỏa mãn)

+ Suy ra $x,y$ là hai nghiệm của phương trình: ${X^2} - 2X = 0 \Leftrightarrow X\left( {X - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {X_1} = 0;{X_2} = 2$

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)$

Từ đó ${x_1} = 2;{x_2} = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 2$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2xy + 3{y^2} = 9\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} - 13xy + 15{y^2} = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Vì thay $x = 0$ vào hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}3{y^2} = 9\\15{y^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 3\\{y^2} = 0\end{array} \right.$ (vô lý) nên $x = 0$ không là nghiệm của hệ .

Với $x \ne 0,$ đặt $y = tx$,  Khi đó phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $2{x^2} - 13x.tx + 15{\left( {tx} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 13t{x^2} + 15{t^2}{x^2} = 0$

$\Leftrightarrow {x^2}\left( {15{t^2} - 13t + 2} \right) = 0 \Rightarrow 15{t^2} - 13t + 2 = 0$ (do $x \ne 0$)

$\Leftrightarrow 15{t^2} - 3t - 10t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3t\left( {5t - 1} \right) - 2\left( {5t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3t - 2} \right)\left( {5t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3}\\t = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.$

* $t = \dfrac{2}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{2x}}{3}$, thay vào phương trình (1) ta được ${x^2} - 2x.\dfrac{{2x}}{3} + 3.{\left( {\dfrac{{2x}}{3}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 1\\x =  - 3 \Rightarrow y =  - 1\end{array} \right.$

* $t = \dfrac{1}{5} \Rightarrow y = \dfrac{x}{5},$ thay vào phương trình (1) ta được ${x^2} - 2x.\dfrac{x}{5} + 3.{\left( {\dfrac{x}{5}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{25}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x =  - \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow y =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$

Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: $(x;y) \in$$\left\{ {\left( {3,\,1} \right);\,\left( { - 3,\, - 1} \right);\left( {\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2},\,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2},\, - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} \right\}$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = 2{m^2} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 2{m^2} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\xy = \dfrac{{ - {m^2} - 2}}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = m\\P = \dfrac{{ - {m^2} - 2}}{2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {S^2} - 4P = {m^2} - 4\dfrac{{ - {m^2} - 2}}{2} = 3{m^2} + 8 > 0;\,\forall m$. Do đó, hệ phương trình có nghiệm với mọi $m.$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.$$\Rightarrow {x^2} - {y^2} = 4x - 4y$$\Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 4\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\y = 4 - x\end{array} \right.$

Khi $x = y$ thì ${x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2$

Khi $y = 4 - x$ thì ${x^2} - 4x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow x = 2$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right)$.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.$$\Rightarrow {x^2} - {y^2} = 4x - 4y$$\Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 4\left( {x - y} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y = 0\\ x + y - 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ y = 4 - x \end{array} \right.$

Khi $x = y$ thì ${x^2} - 2x = 0$. Suy ra hoặc $x = 0\Rightarrow y=0$ hoặc $x = 2\Rightarrow  y=2$

Khi $y = 4 - x$ thì ${x^2} - 4x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow  y=2$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right)$.

Hệ phương trình đối xứng loại 1 với cách đặt  $\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.$ điều kiện ${S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {S^2} - 4P \ge 0$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy - 2xy = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 0\end{array} \right.$

Từ $xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\y = 0 \Rightarrow x = 2\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)$

Từ giả thiết $x > y$ nên $x = 2;y = 0 \Rightarrow xy = 0$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = 11\\xy\left( {x + y} \right) = 30\end{array} \right.$

Đặt $S = x + y;P = xy\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\S.P = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 11 - P\\\left( {11 - P} \right).P = 30\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình $\left( 1 \right):$

 $\,11P - {P^2} - 30 = 0 \Leftrightarrow {P^2} - 11P + 30 = 0 \Leftrightarrow \left( {P - 5} \right)\left( {P - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 5 \Rightarrow S = 6\\P = 6 \Rightarrow S = 5\end{array} \right.$ ( tm ${S^2} \ge 4P$)

Với $P = 5;S = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 5\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\x\left( {6 - x} \right) - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.$

Với $P = 6;S = 5$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 6\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\x\left( {5 - x} \right) - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\{x^2} - 5x + 6 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).$

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được ${x^2} - {y^2} = 5x - 2y - \left( {5y - 2x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 7\left( {x - y} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 7\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 7} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 7 - y\end{array} \right.$

+Với $x = y$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} = 5x - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = 3\end{array} \right.$

+Với $x = 7 - y$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} = 5y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} = 5y - 2\left( {7 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} - 7y + 14 = 0\end{array} \right.$ (*)

Vì ${y^2} - 7y + 14 = {\left( {y - \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0$ nên hệ (*) vô nghiệm.

Vậy nghiệm khác $0$ của hệ là $\left( {3;3} \right)$ .

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được

${x^2} - {y^2} + y - x = 0$$\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 1 - y\end{array} \right.$

Với $x = y$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2\\x = y =  - 3\end{array} \right.$

Với $x = 1 - y$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} + 1 - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} - y - 5 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{21}}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{21}}{4}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\\left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21}  + 1}}{2}\\y = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21}  + 1}}{2}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm $\left( {2;2} \right);\left( { - 3; - 3} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 5\end{array} \right.$

+ Đặt $S = x + y;P = xy$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} + 2S - 15 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\\left[ \begin{array}{l}S = 3\\S =  - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S =  - 5\\P = 10\end{array} \right.\end{array} \right.$  mà ${S^2} \ge 4P$ nên $S = 3;P = 2$

+ Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\x\left( {3 - x} \right) - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = 2;y = 1\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy =  - {m^2} + 6\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{m^2} - 2xy =  - {m^2} + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\xy = {m^2} - 3\end{array} \right.$

Điều kiện để hệ trên có nghiệm là ${m^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 12 - 3{m^2} \ge 0$ $\Leftrightarrow {m^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2$

Khi đó thay $x + y = m;xy = {m^2} - 3$ vào $P$ ta được $P = {m^2} - 3 + 2m = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \ge  - 4$

Dấu ‘=’ xảy ra khi $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1$ (thỏa mãn)

Vậy ${P_{\min }} =  - 4 \Leftrightarrow m =  - 1$

+ Ta có  $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.$

+ Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.$ điều kiện ${S^2} \ge 4P$ hệ phương trình đã cho trở thành:

     $\left\{ \begin{array}{l}S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 19\\S\left( {8 + P} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\{S^3} - 3\left( {2 - 8S} \right) = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\{S^3} + 24S - 25 = 0\end{array} \right.$

 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\\left( {S - 1} \right)\left( {{S^2} + S + 25} \right) = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 1\\P =  - 6\end{array} \right.$(thỏa mãn)

+ Suy ra $x,y$ là hai nghiệm của phương trình: ${X^2} - X - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {X - 3} \right)\left( {X + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {X_1} = 3;{X_2} =  - 2$

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;3} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 2} \right)$

Từ đó ${x_1} =  - 2;{x_2} = 3 \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 1$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = 8x + 2y\\{x^2} - 3{y^2} = 6\end{array} \right.$

Vì thay $x = 0$ vào hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}0 - {y^3} = 0 + 2y\\0 - 3{y^2} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} =  - 2\\ - {y^3} = 2y\end{array} \right.$ (vô lý) nên $x = 0$ không là nghiệm của hệ .

Đặt $y = tx$,  Khi đó ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {t^3}{x^3} + 2tx\\{x^2} - 3 = 3\left( {{t^2}{x^2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 - {t^3}} \right) = 2t + 8\\{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 - {t^3}}}{{1 - 3{t^2}}} = \dfrac{{t + 4}}{3}$

$\Leftrightarrow 3\left( {1 - {t^3}} \right) = \left( {t + 4} \right)\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Leftrightarrow 12{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{3}\\t =  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$

* $t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 3\\y =  \pm 1\end{array} \right.$.

* $t =  - \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - x}}{4}\\{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}}\\y =  \mp \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}\end{array} \right.$.

Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: $(x;y) =$$\left( {3,\,1} \right);\,\left( { - 3,\, - 1} \right);\left( {\dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\,\dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right);\,\left( { - \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\, - \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right)$