Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được

\({x^2} - {y^2} + y - x = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 1 - y\end{array} \right.\)

Với $x = y$ ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2\\x = y =  - 3\end{array} \right.\)

Với \(x = 1 - y\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} + 1 - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} - y - 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{21}}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{21}}{4}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\\left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21}  + 1}}{2}\\y = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21}  + 1}}{2}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm \(\left( {2;2} \right);\left( { - 3; - 3} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)