Biết hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 8\\x + y + 2xy = 2\end{array} \right.\) có hai nghiệm \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) . Tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng

+ Ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 8\\x + y + 2xy = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 8\\x + y + 2xy = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] = 8\\x + y + 2xy = 2\end{array} \right.\)

+ Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành:

     \(\left\{ \begin{array}{l}S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 8\\S + 2P = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{2 - S}}{2}\\S\left( {{S^2} - \dfrac{{6 - 3S}}{2}} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{2 - S}}{2}\\2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0\end{array} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{2 - S}}{2}\\\left( {S - 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 2\\P = 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

+ Suy ra \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - 2X = 0 \Leftrightarrow X\left( {X - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {X_1} = 0;{X_2} = 2\)

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)\)

Từ đó \({x_1} = 2;{x_2} = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 2\)