Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - y = 28\\2{y^2} - x = 28\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm ?

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được

\(2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + x - y = 0\)\( \Leftrightarrow 2\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2x + 2y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = \dfrac{{1 - 2y}}{2}\end{array} \right.\)

Với \(x = y\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} - x - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 4\\x = y =  - \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\)

Với \(x = \dfrac{{1 - 2y}}{2}\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - 2y}}{2}\\2{y^2} + \dfrac{{1 - 2y}}{2} = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - 2y}}{2}\\4{y^2} - 2y - 55 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( * \right)\) có \(\Delta ' = 221 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt {221} }}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{1 - \sqrt {221} }}{4}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {221} }}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{1 + \sqrt {221} }}{4}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm \(\left( {4;4} \right);\left( { - \dfrac{7}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {221} }}{4};\dfrac{{1 - \sqrt {221} }}{4}} \right);\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {221} }}{4};\dfrac{{1 + \sqrt {221} }}{4}} \right)\)