Biết cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\{x^2} + {y^2} = 2m + 2\end{array} \right.\) . Tìm giá trị của \(m\) để \(P = xy - 3\left( {x + y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\{x^2} + {y^2} = 2m + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 2m + 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\4{m^2} - 2xy = 2m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2m\\xy = {m^2} - m - 1\end{array} \right.\)

Điều kiện để hệ trên có nghiệm là \(4{m^2} \ge 4\left( {{m^2} - m - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1\)

Khi đó thay \(x + y = 2m;xy = {m^2} - m - 1\) vào \(P\) ta được \(P = {m^2} - m - 1 - 3.2m = {m^2} - 7m - 1 = {\left( {m - \dfrac{7}{2}} \right)^2} - \dfrac{{53}}{4} \ge  - \dfrac{{53}}{4}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi \(m - \dfrac{7}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy \({P_{\min }} =  - \dfrac{{53}}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{2}\)