Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = 8x + 2y\\{x^2} - 3{y^2} = 6\end{array} \right.\)

Vì thay \(x = 0\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 - {y^3} = 0 + 2y\\0 - 3{y^2} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} =  - 2\\ - {y^3} = 2y\end{array} \right.\) (vô lý) nên \(x = 0\) không là nghiệm của hệ .

Đặt \(y = tx\),  Khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {t^3}{x^3} + 2tx\\{x^2} - 3 = 3\left( {{t^2}{x^2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 - {t^3}} \right) = 2t + 8\\{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 - {t^3}}}{{1 - 3{t^2}}} = \dfrac{{t + 4}}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {1 - {t^3}} \right) = \left( {t + 4} \right)\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Leftrightarrow 12{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{3}\\t =  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)

* \(t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 3\\y =  \pm 1\end{array} \right.\).

* \(t =  - \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - x}}{4}\\{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}}\\y =  \mp \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}\end{array} \right.\).

Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: \((x;y) = \)\(\left( {3,\,1} \right);\,\left( { - 3,\, - 1} \right);\left( {\dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\,\dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right);\,\left( { - \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\, - \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right)\)