Biết hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\) có hai nghiệm $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ . Tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng

+ Ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\)

+ Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành:

     \(\left\{ \begin{array}{l}S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 19\\S\left( {8 + P} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\{S^3} - 3\left( {2 - 8S} \right) = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\{S^3} + 24S - 25 = 0\end{array} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\\left( {S - 1} \right)\left( {{S^2} + S + 25} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 1\\P =  - 6\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

+ Suy ra \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - X - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {X - 3} \right)\left( {X + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {X_1} = 3;{X_2} =  - 2\)

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;3} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 2} \right)\)

Từ đó \({x_1} =  - 2;{x_2} = 3 \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 1\)