Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.$có bao nhiêu nghiệm?
Trả lời bởi giáo viên
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 5\end{array} \right.\)
+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} + 2S - 15 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\\left[ \begin{array}{l}S = 3\\S = - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S = - 5\\P = 10\end{array} \right.\end{array} \right.\) mà \({S^2} \ge 4P\) nên \(S = 3;P = 2\)
+ Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\x\left( {3 - x} \right) - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = 2;y = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm.
Hướng dẫn giải:
+ Thêm bớt phương trình dưới để xuất hiện tổng \(x + y\) và tích $xy$
+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình ẩn $S,P$
+ Sử dụng phương pháp thế để tìm \(S,P\) . Kiểm tra điều kiện \({S^2} \ge 4P\) sau đó thay trở lại cách đặt để tìm \(x;y\)