Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2xy + 3{y^2} = 9\\2{x^2} - 13xy + 15{y^2} = 0\end{array} \right.\) có nghiệm là?

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2xy + 3{y^2} = 9\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} - 13xy + 15{y^2} = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Vì thay \(x = 0\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3{y^2} = 9\\15{y^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 3\\{y^2} = 0\end{array} \right.\) (vô lý) nên \(x = 0\) không là nghiệm của hệ .

Với \(x \ne 0,\) đặt \(y = tx\),  Khi đó phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành \(2{x^2} - 13x.tx + 15{\left( {tx} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 13t{x^2} + 15{t^2}{x^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {15{t^2} - 13t + 2} \right) = 0 \Rightarrow 15{t^2} - 13t + 2 = 0\) (do \(x \ne 0\))

\( \Leftrightarrow 15{t^2} - 3t - 10t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3t\left( {5t - 1} \right) - 2\left( {5t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3t - 2} \right)\left( {5t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3}\\t = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\)

* \(t = \dfrac{2}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{2x}}{3}\), thay vào phương trình (1) ta được \({x^2} - 2x.\dfrac{{2x}}{3} + 3.{\left( {\dfrac{{2x}}{3}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 1\\x =  - 3 \Rightarrow y =  - 1\end{array} \right.\)

* \(t = \dfrac{1}{5} \Rightarrow y = \dfrac{x}{5},\) thay vào phương trình (1) ta được \({x^2} - 2x.\dfrac{x}{5} + 3.{\left( {\dfrac{x}{5}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{25}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x =  - \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow y =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: \((x;y) \in \)\(\left\{ {\left( {3,\,1} \right);\,\left( { - 3,\, - 1} \right);\left( {\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2},\,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2},\, - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} \right\}\)