Bài tập hay và khó chương góc với đường tròn

Theo chứng minh ở câu 14 ta có $\Delta ACN = \Delta BCM\,.$Do đó$CN = CM.$

Vì vậy $\Delta CMN$ là tam giác cân tại $C\,\,\left( 1 \right).$

Lại có $\widehat {CMA} = \dfrac{1}{2}sd\,AC = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0} \Rightarrow \widehat {CMN} = {45^0}.$

$\Delta CMN$ là tam giác cân tại $C\,$nên $\widehat {CNM} = \widehat {CMN} = {45^0}.$  Tổng ba góc trong một tam giác bằng ${180^0}.$ Nên $\widehat {CMN} + \widehat {CNM} + \widehat {MCN} = {180^0} \Rightarrow {45^0} + {45^0} + \widehat {MCN} = {180^0}.$

Do đó $\widehat {MCN} = {90^0}\,\,\left( 2 \right).$

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta CMN$ vuông cân tại $C$ .

Xét $\Delta ACN$ và $\Delta BCM$ có:

+ $AC = BC$ (vì $C$ là điểm chính giữa của cung $AB$)

+ $\widehat {CAN} = \widehat {CBN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CM$)

+ Theo giả thiết ta có $AN = BM.$

Do đó  $\Delta ACN = \Delta BCM\,\,\left( {c.g.c} \right).$ Hai tam giác bằng nhau nên diện tích bằng nhau. Do đó ${S_1} = {S_2}.$

Xét $\Delta ACN$ và $\Delta BCM$ có:

+ $AC = BC$ (vì $C$ là điểm chính giữa của cung $AB$)

+ $\widehat {CAN} = \widehat {CBN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CM$)

+ Theo giả thiết ta có $AN = BM.$

Do đó  $\Delta ACN = \Delta BCM\,\,\left( {c.g.c} \right).$ Hai tam giác bằng nhau nên diện tích bằng nhau. Do đó ${S_1} = {S_2}.$

Trong $\Delta AMN$  có: $\widehat {MAN} + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^o}$, mà: $\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^o}$  (theo câu trước)

suy ra: $\widehat {MEN} = \widehat {AMN} + \widehat {ANM}$

Ta lại có: $\widehat {AND} = \widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}\widehat {AC{\rm{D}}},\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABD}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Mà: DABC vuông tại A nên: $\widehat {MEN} = {90^o}$ (không đổi)

Ta có:

$\widehat {DME} = \widehat {DAM}$ ( góc tạo  bởi tia tuyến và dây cung)

$\widehat {DNE} = \widehat {DAN}$ (góc tạo  bởi tia tuyến và dây cung)

Suy ra: $\widehat {DME} + \widehat {DNE} = \widehat {DAM} + \widehat {DAN}$

Trong DMNE có: $\widehat {MEN} + \widehat {EMN} + \widehat {ENM} = {180^o}$ ,

suy ra: $\widehat {MEN} + \widehat {DAM} + \widehat {DAN} = {180^o}$

Hay: $\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^o}$.

Ta có:

$\widehat {DME} = \widehat {DAM}$ ( góc tạo  bởi tia tuyến và dây cung)

$\widehat {DNE} = \widehat {DAN}$ (góc tạo  bởi tia tuyến và dây cung)

Suy ra: $\widehat {DME} + \widehat {DNE} = \widehat {DAM} + \widehat {DAN}$

Trong DMNE có: $\widehat {MEN} + \widehat {EMN} + \widehat {ENM} = {180^o}$ ,

suy ra: $\widehat {MEN} + \widehat {DAM} + \widehat {DAN} = {180^o}$

Hay: $\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^o}$.

Do tứ giác $AECD$ nội tiếp (cmt) nên: $\angle CAE = \angle CDE$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CE$)

Mà $\angle CDE = \angle ABF$ (so le trong)

$\Rightarrow \angle CAE = \angle ABF$.

Mặt khác: $\angle AOF = 2\angle ABF$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung $AF$)

 $\Rightarrow \angle AOF = 2\angle CAE$.

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và nội tiếp $\left( O \right)$ nên $BC$ là đường kính của $\left( O \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\CD//AB\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AC \bot CD$ (từ vuông góc đến song song) $\Rightarrow \angle ACD = {90^0}$.

Xét tứ giác $AECD$ có: $\angle AED = \angle ACD = {90^0}$ $\Rightarrow AECD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD. (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Do tứ giác $AECD$ là tứ giác nội tiếp (cmt) nên: $\angle ACE = \angle ADE$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AE$).

Ta có: $\angle ADE = \angle DBC$ (so le trong do $AD//BC$) $\Rightarrow \angle ACE = \angle DBC$.

Mà $\angle DBC = \angle FBC = \angle FAC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $FC$)

$\Rightarrow \angle ACE = \angle FAC$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AF//EC$  (dhnb) (1)

Mặt khác: $\angle CFE = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $CF \bot FE$ hay $CF \bot BD$.

Mà $AE \bot BD\,\,\left( {gt} \right)$ nên $AE//CF$ (từ vuông góc đến song song)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $AECF$ là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song).

Gọi $\left\{ T \right\} = AC \cap BD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\AD//BC\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow ABCD$ là hình bình hành (dhnb) $\Rightarrow TA = TC,\,\,TB = TD$ và $AB = CD$ (tính chất).

Xét $\Delta DCT$ vuông tại $C$ có $CF \bot BD\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CF \bot DT$ $\Rightarrow CF$ là đường cao nên:

$C{D^2} = DF.DT$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow 2.C{D^2} = 2.DF.DT = \left( {2.DT} \right).DF = DB.DF$.

Mà $AB = CD$ (cmt).

Vậy $DF.DB = 2A{B^2}$.

Ta có $\angle ABC = \angle AGE\,\,\left( {cmt} \right)$ nên $EBMG$ là tứ  giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

$\Rightarrow$ Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $MBE,MCD$ là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác $GDCM$ và $EBMG$.

Giao của hai tứ giác  $GDCM$ và $EBMG$ là $GM$.

$\Rightarrow$ Đường nối tâm vuông góc với $GM\,\,\left( * \right)$

Gọi $\left\{ F \right\} = AH \cap BC$ $\Rightarrow AF \bot BC \Rightarrow \angle AFB = {90^0}$.

Mà $\angle BDA = {90^0}$ $\Rightarrow ADFB$ nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

$\Rightarrow \angle BAC = \angle DFM$ (1) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà $\angle EDH = \angle EAH$(2) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EH$).

       $\angle HDM = \angle HBM = \angle DBM$ ($DM$ là trung tuyến của $\Delta BDC$ vuông tại $D$ nên $DM = \frac{1}{2}BC = BM$).

       $\angle DBM = \angle HAD$ (Cùng phụ $\angle ACB$)

$\Rightarrow \angle HDM = \angle HAD\,\,\,\left( 3 \right)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra

$\angle EDM = \angle EDH + \angle HDM = \angle EAH + \angle HAD = \angle BAC = \angle DFM = \angle KDM$

Xét $\Delta FDM$ và $\Delta DKM$ có: $\angle KMD$ chung; $\angle DFM = \angle KDM$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta FDM \sim \Delta DKM\,\,\,\left( {g.g} \right)$ $\Rightarrow \frac{{MD}}{{KM}} = \frac{{FM}}{{MD}} \Rightarrow M{D^2} = FM.KM$

Có: $\Delta GCM \sim \Delta CAM\,\,\left( {cmt} \right)$$\Rightarrow \frac{{MC}}{{AM}} = \frac{{GM}}{{MC}} \Rightarrow M{C^2} = MG.MA$

Mà $MD = MC$(cmt) $\Rightarrow FM.KM = MG.MA \Rightarrow \frac{{FM}}{{GM}} = \frac{{MA}}{{MK}}$

$\Rightarrow \Delta FGM \sim \Delta AKM\,\,\,\left( {c.g.c} \right)$$\Rightarrow \angle FGM = \angle AKM$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow AGFK$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

$\Rightarrow \angle AFK = \angle AGK = {90^0}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AK$) $\Rightarrow KG \bot AG$ hay $KG \bot GM$  (**)

Từ (*) và (**) suy ra đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $MBE,MCD$ song song với $KG$.

Ta có $\angle AGD = \angle AED$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AD$)

Mà $\angle AED = \angle ACB$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp $BEDC$)

$\Rightarrow \angle AGD = \angle ACB = \angle DCM$.

Lại có $\angle AGD + \angle DGM = {180^0}$ (kề bù) $\Rightarrow \angle DGM + \angle DCM = {180^0}$.

$\Rightarrow GDCM$ là tứ giác nội tiếp (dhnb) $\Rightarrow \angle MGC = \angle MDC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $MC$).

Lại có $DM = \frac{1}{2}BC = MC$ (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) $\Rightarrow \Delta MCD$ cân tại $M$.

$\Rightarrow \angle MDC = \angle MCD$ (2 góc ở đáy của tam giác cân).

$\Rightarrow \angle MGC = \angle MCD = \angle MCA$.

Xét $\Delta GCM$ và $\Delta CAM$ có: $\angle AMC$ chung ; $\angle MAC = \angle GCM$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta GCM \sim \Delta CAM\,\,\left( {g.g} \right)$ $\Rightarrow \angle MAC = \angle GCM$ (2 góc tương ứng)

Ta có: $\angle AEH = \angle ADH = {90^0} \Rightarrow \angle AEH + \angle ADH = {180^0}$

$\Rightarrow AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ (định nghĩa)

Mà đường tròn đường kính $AH$ cắt $AM$ tại $G$.

$\Rightarrow$ Năm điểm $A,E,H,G,D$ cùng thuộc một đường tròn.

$\Rightarrow \angle AGE = \angle ADE$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AE$)

Mà $\angle ABC = \angle ADE$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp $BEDC$)

$\Rightarrow \angle ABC = \angle AGE$.

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta AGE$ có: $\angle ABC = \angle AGE$ (cmt); $\angle BAM$ chung.

$\Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta AGE\,\,\,\left( {g.g} \right)$$\Rightarrow \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AB}}$ (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AE.AB = AG.AM$

Ta có: $BD,\,\,CE$ là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\CE \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \angle BDC = \angle BEC = {90^0}$

$\Rightarrow BEDC$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC (Tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau).

Ta có: $OA = \dfrac{1}{2}BC = OB$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \angle OAB = \angle OBA = \angle ABC = \dfrac{1}{2}\,\,sd\,\,cung\,\,AC$ $\left( 3 \right)$

Lại có: $\angle CKD = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,CD + sd\,\,cng\,\,BF} \right)$$= \dfrac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,CD + sd\,\,cung\,\,AB} \right)$

Vì $OH \bot BD\,\,\left( {gt} \right)$$\Rightarrow cung\,\,AB = cung\,\,AD$

$\Rightarrow \angle CKD = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,CD + \,sd\,\,cung\,\,AD} \right)$$= \dfrac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AC\,\,\,\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ $\Rightarrow \angle OAB = \angle CKD$

$\Rightarrow OKDA$ là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

$\Rightarrow$ Đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKD$ đi qua điểm $O$ cố định.

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta BCI$ có:

Ta có: $BC \bot AF \Rightarrow \,\,cung\,\,AB = cung\,\,FB$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua điểm ở chính giữa của cung căng dây đó).

$\Rightarrow \angle BDF = \angle BCA$ (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau).

Hay $\angle IDK = \angle ICK$

$\Rightarrow CDJK$ là tức giác nội tiếp. (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

$\Rightarrow \angle IKC + \angle IDC = {180^0}$. Mà $\angle IDC = \angle BDC = {90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \angle IKC = {90^0} \Rightarrow IK \bot BC\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta GBC$ có $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BG\\BD \bot CG\\AC \cap BD = \left\{ I \right\}\end{array} \right.$

$\Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta GBC$ $\Rightarrow GI \bot BC\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow G,\,\,I,\,\,K$ thằng hàng.

Xét tứ giác $ABEH$ ta có: $\angle AEB = \angle AHB = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow ABEH$ là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau)

$\Rightarrow \angle BHE = \angle BAE$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BE$)

Mà $\angle BAE = \angle BCA$ (hai góc cùng phụ $\angle ABC$)

$\Rightarrow \angle BHE = \angle BCA = \angle BCI$

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta BCI$ có:

$\angle IBC\,$ chung

$\angle BHE = \angle BCI\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{BE}}{{BI}} = \dfrac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow BE.BC = BH.BI\,$

Ta có: $\angle BAC,$$\angle BDC$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left( O \right)$$\Rightarrow \angle BAC = \angle BDC = {90^0}.$

$\Rightarrow \angle GAI = \angle GDI = {90^0}$

Xét tứ giác $AIDG$ ta có: $\angle GAI + \angle GDI = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Suy ra $AIDG$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $GI$.

Xét $\Delta ACN$ và $\Delta BCM$ có:

+ $AC = BC$ (vì $C$ là điểm chính giữa của cung $AB$)

+ $\widehat {CAN} = \widehat {CBN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CM$)

+ Theo giả thiết ta có $AN = BM.$

Do đó  $\Delta ACN = \Delta BCM\,\,\left( {c.g.c} \right).$ Hai tam giác bằng nhau nên diện tích bằng nhau. Do đó ${S_1} = {S_2}.$

Ta có:

$\widehat {DME} = \widehat {DAM}$ ( góc tạo  bởi tia tuyến và dây cung)

$\widehat {DNE} = \widehat {DAN}$ (góc tạo  bởi tia tuyến và dây cung)

Suy ra: $\widehat {DME} + \widehat {DNE} = \widehat {DAM} + \widehat {DAN}$

Trong DMNE có: $\widehat {MEN} + \widehat {EMN} + \widehat {ENM} = {180^o}$ ,

suy ra: $\widehat {MEN} + \widehat {DAM} + \widehat {DAN} = {180^o}$

Hay: $\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^o}$.