Độ dài đường tròn, cung tròn

Độ dài cung tròn \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, \Leftrightarrow \dfrac{{\pi .22.n}}{{180}} = 30,8 \Rightarrow n \approx 80^\circ \).

Độ dài nửa đường tròn đường kính \(AC\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2}\) .

Độ dài nửa đường tròn đường kính \(AB\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{AB}}{2}\) .

Độ dài nửa đường tròn đường kính \(BC\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{BC}}{2}\) .

Mà ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $C$ nằm giữa $A$ và$B$ và \(AB = 3AC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AC + CB = AB\\AB = 3AC\\AB = \dfrac{3}{2}BC\end{array} \right.\)

Do đó \({l_2} = \pi .\dfrac{{AB}}{2} = \pi \left( {\dfrac{{AC}}{2} + \dfrac{{BC}}{2}} \right) = \pi .\dfrac{{AC}}{2} + \pi .\dfrac{{BC}}{2} = {l_1} + {l_3}\) nên C đúng, D sai.

Lại có \(AB = 3AC \Rightarrow {l_2} = \pi \dfrac{{AB}}{2} = \pi \dfrac{{3AC}}{2} = 3.\pi \dfrac{{AC}}{2} = 3{l_1}\)  nên A đúng.

\(AB = \dfrac{3}{2}BC \Rightarrow {l_2} = \pi \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{3}{2}\pi \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2}{l_3}\)  nên B đúng.

+) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 50^\circ \) nên \(\widehat C = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ .\) Do đó A đúng.

+) Vì \(AC \bot AB\) và \(A \in \left( {I;\dfrac{{AB}}{2}} \right)\) nên \(AC\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right) \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat B = 50^\circ \) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) nên C đúng.

+) Vì \(\widehat {DAC} = 50^\circ  \Rightarrow \widehat {BAD} = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ \) suy ra số đo cung \(BD\) nhỏ là \(n^\circ  = 2.40^\circ  = 80^\circ \)

Độ dài cung nhỏ \(BD\) của \(\left( I \right)\) là $l = \dfrac{{\pi .\dfrac{4}{2}.80}}{{180}} = \dfrac{{8\pi }}{9}\,\left( {cm} \right) $ nên phương án B đúng.

+ Số đo cung lớn \(BD\) là \(360^\circ  - 80^\circ  = 280^\circ \)

Độ dài cung lớn \(BD\) là \({l_1} = \dfrac{{\pi \dfrac{4}{2}.280}}{{180}} = 3\pi \)(cm) nên D sai.

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) . Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AO\) vừa là đường cao vừa là phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Suy ra \(\widehat {CAO} = \dfrac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ \) .

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\).  Xét tam giác \(CAI\) có \(AC = 4;\,\widehat {CAI} = 50^\circ \) nên  \(\sin \widehat {CAI} = \dfrac{{CI}}{{AC}} \Leftrightarrow CI = AC.\sin \widehat {CAI} = 4.\sin 50^\circ \) (cm).

Xét tam giác \(OAC\) cân tại \(O\) (vì \(OA = OC\)) có \(\widehat {OCA} = \widehat {OAC} = 50^\circ  \Rightarrow \widehat {AOC} = 180^\circ  - 50^\circ  - 50^\circ  = 80^\circ \)

Xét tam giác \(CIO\) vuông tại \(I\) có \(\sin \widehat {COI} = \dfrac{{CI}}{{OC}} \Rightarrow OC = \dfrac{{IC}}{{\sin \widehat {COI}}} = \dfrac{{4\sin 50^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 3,11\)

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là \(R \approx 3,11\,cm\)

Chu vi đường tròn \(\left( O \right)\) là $C = 2\pi R \approx 6,22\pi \,\,\left( {cm} \right)$

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(BAC\) , suy ra \(O\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) .

Tia \(CO \bot AB\) tại \(D\) thì $D$ là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}CD\)

Xét tam giác vuông \(ADC\) có \(AC = 3\,;\,\widehat {CAD} = 60^\circ  \Rightarrow CD = AC.\sin 60^\circ  = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \) cm

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = \sqrt 3  \Rightarrow C = 2\pi R = 2\pi \sqrt 3 \left( {cm} \right)\) .

Vì độ dài đường tròn là \(6\pi \) nên $6\pi  = 2\pi .R \Rightarrow R = 3\,cm$ (\(R\) là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác \(ABOC\) có hai đường chéo \(AO \bot BC\) tại \(M\) là trung điểm mỗi đường nên tứ giác \(ABOC\) là hình thoi.

Suy ra \(OB = OC = AB \Rightarrow \Delta ABO\) đều \( \Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ \)

Suy ra số đo cung lớn \(BC\) là \(360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ \)

Độ dài cung lớn \(BC\) là \(l = \dfrac{{\pi .3.240}}{{180}} = 4\pi \,\left( {cm} \right)\)

Theo câu trước số đo cung NM bằng \(60^0\) nên độ dài cung \(NM\) là \(l = \dfrac{{\pi R.60}}{{180}} = \dfrac{{\pi R}}{3}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có tam giác \(ABC\) đều nên sđ \(\overparen{AB} = sđ\overparen{AC} \)\(= sđ\overparen{BC} = \dfrac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ \)

\(\widehat {AMB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AB}\)\( = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {KBM} = 90^\circ  - \widehat {KMB}\)\( = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)  suy ra \(sđ\overparen{NM} = 2.\widehat {NBM} = 2.30^\circ  = 60^\circ \)

\(\widehat {NBM} = 30^\circ \left( {cmt} \right)\) và \(\widehat {BEM} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BC} - sđ\overparen{NM}} \right) \)\(= \dfrac{1}{2}\left( {120^\circ  - 60^\circ } \right) = 30^\circ \) nên tam giác \(MBE\) cân tại \(M.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có tam giác \(ABC\) đều nên sđ \(\overparen{AB} = sđ\overparen{AC} \)\(= sđ\overparen{BC} = \dfrac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ \)

\(\widehat {AMB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AB}\)\( = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {KBM} = 90^\circ  - \widehat {KMB}\)\( = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)  suy ra \(sđ\overparen{NM} = 2.\widehat {NBM} = 2.30^\circ  = 60^\circ \)

\(\widehat {NBM} = 30^\circ \left( {cmt} \right)\) và \(\widehat {BEM} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BC} - sđ\overparen{NM}} \right) \)\(= \dfrac{1}{2}\left( {120^\circ  - 60^\circ } \right) = 30^\circ \) nên tam giác \(MBE\) cân tại \(M.\)

Độ dài cung tròn \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, = \dfrac{{\pi .4.30}}{{180}} = \dfrac{{2\pi }}{3} (dm)\).

Chu vi \(C = 2\pi R = 2\pi .6 = 12\pi \).

Chu vi \(C = \pi d = 48\pi  \Rightarrow d = 48\). Vậy đường kính cần tìm là \(48\) .

Độ dài cung tròn \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, = \dfrac{{\pi .5.45}}{{180}} = \dfrac{{5\pi }}{4}\).

Độ dài cung tròn \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, \Leftrightarrow \dfrac{{\pi .16.n}}{{180}} = 40,2 \Rightarrow n = \dfrac{{40,2.180}}{{16.\pi }} \approx 144^\circ \).

Chu vi \(C = 2\pi R = 2\pi .9 = 18\pi \).

Chu vi \(C = \pi d = 36\pi  \Rightarrow d = 36\). Vậy đường kính cần tìm là \(36(cm)\) .

Độ dài nửa đường tròn đường kính \(AC\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2}\) .

Độ dài nửa đường tròn đường kính \(AB\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{AB}}{2}\) .

Độ dài nửa đường tròn đường kính \(BC\) là \({l_1} = \pi .\dfrac{{BC}}{2}\) .

Mà ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên \(AB + BC = AC\)

Do đó \({l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2} = \pi \left( {\dfrac{{AB}}{2} + \dfrac{{BC}}{2}} \right) = \pi .\dfrac{{AB}}{2} + \pi .\dfrac{{BC}}{2} = {l_2} + {l_3}\)

Vậy  độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ .

Gọi \(OD \cap BC\) tại \(H\) thì \(H\) là trung điểm \(BC\) (do \(OD \bot BC\) tại \(H\) )\( \Rightarrow HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác vuông \(HOC\) có \(\sin \widehat {HOC} = \dfrac{{HC}}{{OC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {HOC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ \)

Độ dài cung nhỏ \(BC\) là \(l = \dfrac{{\pi .R.120}}{{180}} = \dfrac{{2\pi R}}{3}\) \(\left( {cm} \right)\) .

+ Vì \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC} \Rightarrow D\) là điểm chính giữa cung \(BC\) .

Nên \(OD \bot BC\) \( \Rightarrow \) phương án D đúng

+ Mà \(DE \bot OD\) (\(DE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) suy ra \(BC{\rm{//}}DE\) \( \Rightarrow \) phương án A đúng.

+) Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {DAC} = \widehat {DCI}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(DC\) )

Mà \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\) ($AD$ là phân giác) nên \(\widehat {KAI} = \widehat {KCI}\) nên tứ giác \(KICA\) nội tiếp \( \Rightarrow \) phương án B đúng.

+ Vì \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC} \Rightarrow D\) là điểm chính giữa cung \(BC\) .

Nên \(OD \bot BC\) \( \Rightarrow \) phương án D đúng

+ Mà \(DE \bot OD\) (\(DE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) suy ra \(BC{\rm{//}}DE\) \( \Rightarrow \) phương án A đúng.

+) Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {DAC} = \widehat {DCI}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(DC\) )

Mà \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\) ($AD$ là phân giác) nên \(\widehat {KAI} = \widehat {KCI}\) nên tứ giác \(KICA\) nội tiếp \( \Rightarrow \) phương án B đúng.