Độ dài đường tròn, cung tròn

Độ dài cung tròn $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, \Leftrightarrow \dfrac{{\pi .22.n}}{{180}} = 30,8 \Rightarrow n \approx 80^\circ$.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2}$ .

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AB$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{AB}}{2}$ .

Độ dài nửa đường tròn đường kính $BC$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{BC}}{2}$ .

Mà ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $C$ nằm giữa $A$ và$B$ và $AB = 3AC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}AC + CB = AB\\AB = 3AC\\AB = \dfrac{3}{2}BC\end{array} \right.$

Do đó ${l_2} = \pi .\dfrac{{AB}}{2} = \pi \left( {\dfrac{{AC}}{2} + \dfrac{{BC}}{2}} \right) = \pi .\dfrac{{AC}}{2} + \pi .\dfrac{{BC}}{2} = {l_1} + {l_3}$ nên C đúng, D sai.

Lại có $AB = 3AC \Rightarrow {l_2} = \pi \dfrac{{AB}}{2} = \pi \dfrac{{3AC}}{2} = 3.\pi \dfrac{{AC}}{2} = 3{l_1}$  nên A đúng.

$AB = \dfrac{3}{2}BC \Rightarrow {l_2} = \pi \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{3}{2}\pi \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2}{l_3}$  nên B đúng.

+) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat B = 50^\circ$ nên $\widehat C = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ .$ Do đó A đúng.

+) Vì $AC \bot AB$ và $A \in \left( {I;\dfrac{{AB}}{2}} \right)$ nên $AC$ là tiếp tuyến của $\left( I \right) \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat B = 50^\circ$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) nên C đúng.

+) Vì $\widehat {DAC} = 50^\circ  \Rightarrow \widehat {BAD} = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ$ suy ra số đo cung $BD$ nhỏ là $n^\circ  = 2.40^\circ  = 80^\circ$

Độ dài cung nhỏ $BD$ của $\left( I \right)$ là $l = \dfrac{{\pi .\dfrac{4}{2}.80}}{{180}} = \dfrac{{8\pi }}{9}\,\left( {cm} \right)$ nên phương án B đúng.

+ Số đo cung lớn $BD$ là $360^\circ  - 80^\circ  = 280^\circ$

Độ dài cung lớn $BD$ là ${l_1} = \dfrac{{\pi \dfrac{4}{2}.280}}{{180}} = 3\pi$(cm) nên D sai.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AO$ vừa là đường cao vừa là phân giác của $\widehat {BAC}$

Suy ra $\widehat {CAO} = \dfrac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ$ .

Gọi $I$ là giao điểm của $AO$ và $BC$.  Xét tam giác $CAI$ có $AC = 4;\,\widehat {CAI} = 50^\circ$ nên  $\sin \widehat {CAI} = \dfrac{{CI}}{{AC}} \Leftrightarrow CI = AC.\sin \widehat {CAI} = 4.\sin 50^\circ$ (cm).

Xét tam giác $OAC$ cân tại $O$ (vì $OA = OC$) có $\widehat {OCA} = \widehat {OAC} = 50^\circ  \Rightarrow \widehat {AOC} = 180^\circ  - 50^\circ  - 50^\circ  = 80^\circ$

Xét tam giác $CIO$ vuông tại $I$ có $\sin \widehat {COI} = \dfrac{{CI}}{{OC}} \Rightarrow OC = \dfrac{{IC}}{{\sin \widehat {COI}}} = \dfrac{{4\sin 50^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 3,11$

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $R \approx 3,11\,cm$

Chu vi đường tròn $\left( O \right)$ là $C = 2\pi R \approx 6,22\pi \,\,\left( {cm} \right)$

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BAC$ , suy ra $O$ cũng là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

Tia $CO \bot AB$ tại $D$ thì $D$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}CD$

Xét tam giác vuông $ADC$ có $AC = 3\,;\,\widehat {CAD} = 60^\circ  \Rightarrow CD = AC.\sin 60^\circ  = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$ cm

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R = \sqrt 3  \Rightarrow C = 2\pi R = 2\pi \sqrt 3 \left( {cm} \right)$ .

Vì độ dài đường tròn là $6\pi$ nên $6\pi  = 2\pi .R \Rightarrow R = 3\,cm$ ($R$ là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác $ABOC$ có hai đường chéo $AO \bot BC$ tại $M$ là trung điểm mỗi đường nên tứ giác $ABOC$ là hình thoi.

Suy ra $OB = OC = AB \Rightarrow \Delta ABO$ đều $\Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ$

Suy ra số đo cung lớn $BC$ là $360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ$

Độ dài cung lớn $BC$ là $l = \dfrac{{\pi .3.240}}{{180}} = 4\pi \,\left( {cm} \right)$

Theo câu trước số đo cung NM bằng $60^0$ nên độ dài cung $NM$ là $l = \dfrac{{\pi R.60}}{{180}} = \dfrac{{\pi R}}{3}.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có tam giác $ABC$ đều nên sđ $\overparen{AB} = sđ\overparen{AC}$$= sđ\overparen{BC} = \dfrac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ$

$\widehat {AMB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$$\Rightarrow \widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AB}$$= \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$

Suy ra $\widehat {KBM} = 90^\circ  - \widehat {KMB}$$= 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ$  suy ra $sđ\overparen{NM} = 2.\widehat {NBM} = 2.30^\circ  = 60^\circ$

$\widehat {NBM} = 30^\circ \left( {cmt} \right)$ và $\widehat {BEM} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BC} - sđ\overparen{NM}} \right)$$= \dfrac{1}{2}\left( {120^\circ  - 60^\circ } \right) = 30^\circ$ nên tam giác $MBE$ cân tại $M.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có tam giác $ABC$ đều nên sđ $\overparen{AB} = sđ\overparen{AC}$$= sđ\overparen{BC} = \dfrac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ$

$\widehat {AMB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$$\Rightarrow \widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AB}$$= \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$

Suy ra $\widehat {KBM} = 90^\circ  - \widehat {KMB}$$= 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ$  suy ra $sđ\overparen{NM} = 2.\widehat {NBM} = 2.30^\circ  = 60^\circ$

$\widehat {NBM} = 30^\circ \left( {cmt} \right)$ và $\widehat {BEM} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BC} - sđ\overparen{NM}} \right)$$= \dfrac{1}{2}\left( {120^\circ  - 60^\circ } \right) = 30^\circ$ nên tam giác $MBE$ cân tại $M.$

Độ dài cung tròn $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, = \dfrac{{\pi .4.30}}{{180}} = \dfrac{{2\pi }}{3} (dm)$.

Chu vi $C = 2\pi R = 2\pi .6 = 12\pi$.

Chu vi $C = \pi d = 48\pi  \Rightarrow d = 48$. Vậy đường kính cần tìm là $48$ .

Độ dài cung tròn $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, = \dfrac{{\pi .5.45}}{{180}} = \dfrac{{5\pi }}{4}$.

Độ dài cung tròn $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, \Leftrightarrow \dfrac{{\pi .16.n}}{{180}} = 40,2 \Rightarrow n = \dfrac{{40,2.180}}{{16.\pi }} \approx 144^\circ$.

Chu vi $C = 2\pi R = 2\pi .9 = 18\pi$.

Chu vi $C = \pi d = 36\pi  \Rightarrow d = 36$. Vậy đường kính cần tìm là $36(cm)$ .

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2}$ .

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AB$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{AB}}{2}$ .

Độ dài nửa đường tròn đường kính $BC$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{BC}}{2}$ .

Mà ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $AB + BC = AC$

Do đó ${l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2} = \pi \left( {\dfrac{{AB}}{2} + \dfrac{{BC}}{2}} \right) = \pi .\dfrac{{AB}}{2} + \pi .\dfrac{{BC}}{2} = {l_2} + {l_3}$

Vậy  độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ .

Gọi $OD \cap BC$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm $BC$ (do $OD \bot BC$ tại $H$ )$\Rightarrow HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác vuông $HOC$ có $\sin \widehat {HOC} = \dfrac{{HC}}{{OC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {HOC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ$

Độ dài cung nhỏ $BC$ là $l = \dfrac{{\pi .R.120}}{{180}} = \dfrac{{2\pi R}}{3}$ $\left( {cm} \right)$ .

+ Vì $AD$ là tia phân giác $\widehat {BAC} \Rightarrow D$ là điểm chính giữa cung $BC$ .

Nên $OD \bot BC$ $\Rightarrow$ phương án D đúng

+ Mà $DE \bot OD$ ($DE$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$) suy ra $BC{\rm{//}}DE$ $\Rightarrow$ phương án A đúng.

+) Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {DAC} = \widehat {DCI}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $DC$ )

Mà $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ ($AD$ là phân giác) nên $\widehat {KAI} = \widehat {KCI}$ nên tứ giác $KICA$ nội tiếp $\Rightarrow$ phương án B đúng.

+ Vì $AD$ là tia phân giác $\widehat {BAC} \Rightarrow D$ là điểm chính giữa cung $BC$ .

Nên $OD \bot BC$ $\Rightarrow$ phương án D đúng

+ Mà $DE \bot OD$ ($DE$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$) suy ra $BC{\rm{//}}DE$ $\Rightarrow$ phương án A đúng.

+) Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {DAC} = \widehat {DCI}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $DC$ )

Mà $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ ($AD$ là phân giác) nên $\widehat {KAI} = \widehat {KCI}$ nên tứ giác $KICA$ nội tiếp $\Rightarrow$ phương án B đúng.