Độ dài đường tròn, cung tròn

+ Vì $AD$ là tia phân giác $\widehat {BAC} \Rightarrow D$ là điểm chính giữa cung $BC$ .

Nên $OD \bot BC$ $\Rightarrow$ phương án D đúng

+ Mà $DE \bot OD$ ($DE$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$) suy ra $BC{\rm{//}}DE$ $\Rightarrow$ phương án A đúng.

+) Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {DAC} = \widehat {DCI}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $DC$ )

Mà $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ ($AD$ là phân giác) nên $\widehat {KAI} = \widehat {KCI}$ nên tứ giác $KICA$ nội tiếp $\Rightarrow$ phương án B đúng.

+ Xét đường tròn $\left( I \right)$ đường kính $AB$ có $\widehat {ADB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $AD \bot BC \Rightarrow$ phương án B đúng.

+) Gọi $K$ là trung điểm của $AC \Rightarrow KA = KC = KD \Rightarrow K$ đường tròn đường kính $AC \Rightarrow$ phương án C đúng.

+) Ta có $\Delta IBD$ cân tại $I$ có $\widehat B = 60^\circ  \Rightarrow \Delta IBD$ đều nên $\widehat {BID} = 60^\circ$

Độ dài cung nhỏ $BD$ của $\left( I \right)$ là $l = \dfrac{{\pi .\dfrac{5}{2}.60}}{{180^\circ }} = \dfrac{{5\pi }}{6}\,\left( {cm} \right) \Rightarrow$ phương án D đúng.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AO$ vừa là đường cao vừa là phân giác của $\widehat {BAC}$

Suy ra $\widehat {CAO} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$ . Xét tam giác $CAO$ có $OA = OC;\widehat {CAO} = 60^\circ  \Rightarrow \Delta CAO$ đều nên $OA = OC = AC = 3\,cm$ .

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $R = 3\,cm$

Chu vi đường tròn $\left( O \right)$ là $C = 2\pi R = 6\pi \,\,\left( {cm} \right)$ 

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BAC$ , suy ra $O$ cũng là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

Tia $CO \bot AB$ tại $D$ thì $D$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}CD$

Xét tam giác vuông $ADC$ có $AC = a\,;\,\widehat {CAD} = 60^\circ  \Rightarrow CD = AC.\sin 60^\circ  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow C = 2\pi R = \dfrac{{2\pi a\sqrt 3 }}{3}$ .

Vì độ dài đường tròn là $4\pi$ nên $4\pi  = 2\pi .R \Rightarrow R = 2\,cm$ ($R$ là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác $ABOC$ có hai đường chéo $AO \bot BC$ tại $M$ là trung điểm mỗi đường nên tứ giác $ABOC$ là hình thoi.

Suy ra $OB = OC = AB \Rightarrow \Delta ABO$ đều $\Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ$

Suy ra số đo cung lớn $BC$ là $360^\circ  - 120^\circ  = 240^\circ$

Độ dài cung lớn $BC$ là $l = \dfrac{{\pi .2.240}}{{180}} = \dfrac{{8\pi }}{3}\,\left( {cm} \right).$ 

+ Vì $AD$ là tia phân giác $\widehat {BAC} \Rightarrow D$ là điểm chính giữa cung $BC$ .

Nên $OD \bot BC$ $\Rightarrow$ phương án D đúng

+ Mà $DE \bot OD$ ($DE$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$) suy ra $BC{\rm{//}}DE$ $\Rightarrow$ phương án A đúng.

+) Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {DAC} = \widehat {DCI}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $DC$ )

Mà $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ ($AD$ là phân giác) nên $\widehat {KAI} = \widehat {KCI}$ nên tứ giác $KICA$ nội tiếp $\Rightarrow$ phương án B đúng.

Gọi $OD \cap BC$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm $BC$ (do $OD \bot BC$ tại $H$ )$\Rightarrow HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác vuông $HOC$ có $\sin \widehat {HOC} = \dfrac{{HC}}{{OC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {HOC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ$

Độ dài cung nhỏ $BC$ là $l = \dfrac{{\pi .R.120}}{{180}} = \dfrac{{2\pi R}}{3}$ $\left( {cm} \right)$ .

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có tam giác $ABC$ đều nên sđ $AB = sd\,AC = sd\,BC = \dfrac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ$

$\widehat {AMB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB \Rightarrow \widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}sd\,AB = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$

Suy ra $\widehat {KBM} = 90^\circ  - \widehat {KMB} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ$  suy ra $sd\,NM = 2.\widehat {NBM} = 2.30^\circ  = 60^\circ$

$\widehat {NBM} = 30^\circ \left( {cmt} \right)$ và $\widehat {BEM} = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,BC - sd\,NM} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {120^\circ  - 60^\circ } \right) = 30^\circ$ nên tam giác $MBE$ cân tại $M.$

Độ dài cung $NM$ là $l = \dfrac{{\pi R.60}}{{180}} = \dfrac{{\pi R}}{3}.$