Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng phân biệt \({d_1}:y = \left( {m + 2} \right)x - 3m - 3;{d_2}:y = x + 2\) và \({d_3}:y = mx + 2\) giao nhau tại một điểm?

Để 3 đường thẳng trên là ba đường thẳng phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 1\\m \ne 1\\m \ne m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne  - 1\end{array} \right.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \({d_2}\) và \({d_3}\):

\(x + 2 = mx + 2 \Leftrightarrow x\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\m = 1\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 2\) nên giao điểm của \({d_2},{d_3}\) là \(M\left( {0;2} \right)\)

Để ba đường thẳng trên giao nhau tại 1 điểm thì \(M \in {d_1}\) . Nên \(2 = \left( {m + 2} \right).0 - 3m - 3 \Leftrightarrow 3m =  - 5 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{3}\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m = \dfrac{{ - 5}}{3}\).