Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {4;5} \right)$. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn $\left( {A;5} \right)$ và các trục tọa độ.
Vì $A\left( {4;5} \right)$ nên khoảng cách từ $A$ đến trục hoành là ${d_1} = \left| {{y_A}} \right| = 5$, khoảng cách từ $A$ đến trục tung là ${d_2} = \left| {{x_A}} \right| = 4$
Nhận thấy ${d_2} = R\left( { = 5} \right)$ nên trục hoành tiếp xúc với đường tròn $\left( {A;5} \right)$.
Và ${d_2} = 4 < 5 = R$ nên trục tung cắt đường tròn $\left( {A;5} \right)$.
Cho $a,b$ là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng $2,5\,cm$. Lấy điểm $I$ trên $a$ và vẽ đường tròn $\left( {I;2,5cm} \right)$. Khi đó đường tròn với đường thẳng $b$
Vì hai đường thẳng song song $a,b$ cách nhau một khoảng là $2,5\,cm$ mà $I \in a$ nên khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $b$ là $d = 2,5\,cm$.
Suy ra $d = R = 2,5\,cm$ nên đường tròn $\left( {I;2,5cm} \right)$ và đường thẳng $b$ tiếp xúc với nhau.
Cho góc $\widehat {xOy}\,\left( {0 < \widehat {xOy} < 180^\circ } \right)$. Đường tròn $\left( I \right)$ là đường tròn tiếp xúc với cả hai cạnh $Ox;Oy$. Khi đó điểm $I$ chạy trên đường nào?
Kẻ $IA \bot Oy;IB \bot Ox$ tại $A,B$.
Vì $\left( I \right)$ tiếp xúc với cả $Ox;Oy$ nên $IA = IB$ suy ra $I$ thuộc tia phân giác của góc $\widehat {xOy}$ ($I \ne O$)
(tính chất tia phân giác của một góc)
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $3cm$ và một điểm $A$ cách $O$ là $5cm$. Kẻ tiếp tuyến $AB$ với đường tròn ( $B$ là tiếp điểm). Tính độ dài $AB$.
Vì $AB$ là tiếp tuyến và $B$ là tiếp điểm nên $OB = R = 3\,cm$; $AB \bot OB$ tại $B$.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ABO$ vuông tại $B$ ta được $AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\,cm$
Vậy $AB = \,4\,cm$.
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và dây $AB = 1,2R$. Vẽ một tiếp tuyến song song với $AB$, cắt các tia $OA,OB$ lần lượt tại $E$ và $F$. Tính diện tích tam giác $OEF$ theo $R$.
Kẻ $OH \bot EF$ tại $H$ và cắt $AB$ tại $I$ suy ra $OI \bot AB$ ( vì $AB{\rm{//}}EF$)
Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot AB$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của $AB$ (liên hệ giữa đường kính và dây)
$ \Rightarrow IA = IB = \dfrac{{AB}}{2} = 0,6R$. Lại có $OA = R$.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OIA$ ta có $OI = \sqrt {O{A^2} - I{A^2}} = 0,8R$.
Mà $AI\,{\rm{//}}\,EH$ nên $\dfrac{{AI}}{{EH}} = \dfrac{{OI}}{{OH}} = \dfrac{{0,8R}}{R} \Rightarrow EH = \dfrac{{0,6R}}{{0,8}} = 0,75R$
$\Delta OEF$cân tại $O$ (vì $\widehat E = \widehat F = \widehat {BAO} = \widehat {ABO}$) có $OH \bot EF$ nên $H$ là trung điểm của $EF$
$ \Rightarrow EF = 2EH = 1,5R$$ \Rightarrow {S_{EOF}} = \dfrac{{OH.EF}}{2} = 0,75{R^2}$.
Cho đường tròn $(O;R)$. Cát tuyến qua $A$ ở ngoài $(O)$ cắt $(O)$ tại $B$ và $C$. Cho biết $AB = BC$ và kẻ đường kính $COD$. Tính độ dài đoạn thẳng $AD.$
Xét $\left( O \right)$ có $OB = OC = OD$$ \Rightarrow BO = \dfrac{{DC}}{2}$$ \Rightarrow \Delta BDC$ vuông tại $B$ (tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)
Suy ra $BD \bot AC$.
Xét $\Delta ADC$ có $BD$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $\Delta ADC$ cân tại $D \Rightarrow DA = DC = 2R$
Vậy $AD = 2R.$
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau, cách nhau một khoảng là $h$. Một đường tròn $\left( O \right)$ tiếp xúc với $a$ và $b$. Hỏi tâm $O$ di động trên đường nào?
Kẻ đường thẳng $OA \bot a$ tại $A$ cắt $b$ tại $B$ thì $OB \bot b$ tại $B$ vì $a{\rm{//}}b$.
Vì $\left( O \right)$ tiếp xúc với cả $a,b$ nên $OA = OB$. Lại có $AB = h \Rightarrow OA = OB = \dfrac{h}{2}$
Hay tâm $O$ cách $a$ và $b$ một khoảng cùng bằng $\dfrac{h}{2}$
Nên $O$ chạy trên đường thẳng $c$ song song và cách đều $a,b$ một khoảng $\dfrac{h}{2}$.
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tía Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho \(AM.BN = {R^2}.\)
Chọn câu đúng:
Vẽ \(OH \bot MN,{\rm{ }}H \in MN.\;\) Vì \(AM.BN = {R^2}\; = AO.BO\) nên \(\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{AO}}{{BN}}\)
Xét ΔAOM và ΔBNO có: \(\widehat {MAO} = \widehat {NBO} = 90^\circ ;\,\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{AO}}{{BN}}\) \( \Rightarrow \Delta AOM\backsim\Delta BNO{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{O_1}};\,\widehat {{O_2}} = \widehat {{N_2}}\)
Do đó góc MON bằng \({90^0}\)
Ta có: \(\dfrac{{AM}}{{BO}} = \dfrac{{OM}}{{ON}} \) (do \(\Delta AOM\backsim\Delta BNO\)) \(\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{OM}} = \dfrac{{OA}}{{ON}}\)
Do đó \(\Delta AOM\backsim\Delta ONM{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)
\( ΔAOM = ΔHOM\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow AO = OH \Rightarrow OH = R,\) do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tía Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho \(AM.BN = {R^2}.\)
Chọn câu đúng.
Gọi K là trung điểm của MN
Tam giác MON vuông tại O có OK là trung tuyến \( \Rightarrow KM = KN = KO\)
Suy ra: Đường tròn (K; KO) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN.
Ta có OK là đường trung bình của hình thang AMNB nên \(OK // AM\)
\( \Rightarrow OK \bot AB\)
Suy ra OK là tiếp tuyến của đường tròn (K). Vậy đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định là đường thẳng AB.
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho \(AM = AB.\) Các tia BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chọn câu đúng.
Tam giác ABM có \(AB = AM\) nên ΔABM cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {AMB}\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(OA ⊥ BC; OB ⊥ AB\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABM} + \widehat {MBO} = 90^\circ \\\widehat {AMB} + \widehat {MBC} = 90^\circ \end{array} \right.\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {MBO} = \widehat {MBC}\)
Tương tự \(\widehat {BCM} = \widehat {OCM}\)
Điểm M là giao điểm hai đường phân giác của tam giác OBC nên M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC.
Vì tam giác BOD cân tại O \( \Rightarrow \widehat {MBO} = \widehat {MDO}\) mà \(\widehat {MBO} = \widehat {MBC}\) nên \(\widehat {MBC} = \widehat {MDO}\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(OD // BC\)
Chứng minh tương tự, ta có \(OE // BC\)
\( \Rightarrow D,{\rm{ }}O,{\rm{ }}E\) thẳng hàng
Vậy DE là đường kính của đường tròn (O)
