Sự xác định của đường tròn- Tính chất đối xứng của đường tròn

Ta có: \(O{A^2} = {\left| {{x_A}} \right|^2} + {\left| {{y_A}} \right|^2}\) (Định lý Py-ta-go)

\( \Rightarrow OA = \sqrt {{{\left| {{x_a}} \right|}^2} + {{\left| {{y_A}} \right|}^2}}  = \sqrt {{3^3} + {4^2}}  = 5 > 3 = R\)

Do đó \(A\) nằm bên ngoài đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 3cm.\)

Vì \(G\) là giao điểm của hai đường cao\(BM,CN\) nên \(G\) là trực tâm \(\Delta ABC\)

Ta có \(G\) là trực tâm \(\Delta ABC\) nên \(G\) cũng là trọng tâm \(\Delta ABC\) suy ra \(AG = \dfrac{2}{3}AD\).

\(D\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AD \bot BD\); \(DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2}\)

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông \(ADC\) ta có \(AD = \sqrt {B{C^2} - D{C^2}}  = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AG\). Xét tam giác vuông \(ANG\) có \(IN = IA = IG\), xét tam giác vuông \(AMG\) có \(IM = IA = IG\) nên \(IM = IN = IA = IG = \dfrac{{AG}}{2}\)

Hay 4 điểm \(A,N,G,M\) cùng thuộc một đường tròn bán kính \(R = \dfrac{{AG}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại\(A\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền \(BC\), bán kính là \(R = \dfrac{{BC}}{2}\).

Theo định lý Pytago ta có \(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}}  = 13\) nên bán kính \(R = \dfrac{{13}}{2}\).

Gọi \(I\) là giao hai đường chéo, ta có \(IA = IB = IC = ID\) (vì \(BD = AC\) và \(I\) là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm \(A,B,C,D\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R = \dfrac{{AC}}{2}\)

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10\) nên \(R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\,cm\)

Vậy bán kính  cần tìm là \(R = 5\,cm\).

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Nên đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất là tâm của đường tròn.

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

Nên đường tròn có vô số trục đối xứng.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

Cho điểm $M$  và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ ta so sánh khoảng cách $OM$ với bán kính $R$ để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:

Gọi $O$ là giao hai đường chéo của hình vuông $ABCD$. Khi đó theo tình chất của hình vuông ta có $OA = OB = OC = OD$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$, bán kính $R = OA = \dfrac{{AC}}{2}$

Xét tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ ta có $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 $$ \Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ là giao điểm hai đường chéo, bán kính là $R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Xét tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $EI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$ (vì $EI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác $BDC$ vuông tại $D$ có $DI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$ (vì $DI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có $ID = IE = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $DEBC$ và bán kính $R = \dfrac{{BC}}{2}$.

Ta có $OA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt 2  < 2 = R$ nên $A$ nằm trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 2$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại$A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $BC$, bán kính là $R = \dfrac{{BC}}{2}$.

Theo định lý Pytago ta có $BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}}  = 25$ nên bán kính $R = \dfrac{{25}}{2}$.

Gọi $I$ là giao hai đường chéo, ta có $IA = IB = IC = ID$ (vì $BD = AC$ và $I$ là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $R = \dfrac{{AC}}{2}$

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 13$ nên $R = \dfrac{{AC}}{2} = 6,5\,cm$

Vậy bán kính  cần tìm là $R = 6,5\,cm$.

+) Ta có \(\Delta DCN = \Delta CMB\left( {c - g - c} \right) \)

$\Rightarrow\widehat {CDN} = \widehat {ECN}$ nên $\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ $ suy ra $\widehat {CEN} = 90^\circ  \Rightarrow CM \bot DN$

+) Gọi $I$ là trung điểm của $DM$.

Xét tam giác vuông $ADM$ ta có $AI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}$. Xét tam giác vuông $DEM$ ta có $EI = ID = IM = \dfrac{{DM}}{2}$

Nên $EI = ID = IM = IA = \dfrac{{DM}}{2}$

Do đó bốn điểm $A,D,E,M$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $\dfrac{{DM}}{2}$.

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$ nên $AH$ cũng là đường phân giác $ \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {DAB}$

Suy ra $\Delta ACD = \Delta ABD\left( {c - g - c} \right)$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ $.

Lấy $I$ là trung điểm $AD$. Xét hai tam giác vuông $ABD$ và $ACD$ có $IA = ID = IB = IC = \dfrac{{AD}}{2}$

Nên $I$ là điểm cách đều $A,B,D,C$ hay $A,B,D,C$ cùng nằm trên dường tròn tâm $I$ đường kính $AD$.

Từ câu trước ta có bốn điểm $A,B,D,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$ suy ra ta cần tính độ dài $AD$.

Vì $BC = 8\,cm \Rightarrow BH = 4\,cm$. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AHB$ ta được $AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}}  = \sqrt {4 + 16}  = 2\sqrt 5 $

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABD$ ta có $A{B^2} = AH.AD$$\Rightarrow AD = \dfrac{{A{B^2}}}{{AH}} = \dfrac{{20}}{2} = 10$

Vậy đường kính cần tìm là $10\,cm$.

Gọi $D$ là trung điểm $BC$.

Xét hai tam giác vuông $BNC$ và $BMC$ có $ND,MD$ là hai đường trung tuyến

$ \Rightarrow DN = DB = DC = DM = \dfrac{{BC}}{2}$ nên bốn điểm $B,N,M,C$ cùng thuộc đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.