Tính bán kính đường tròn đi qua bốn điểm \(A,N,G,M\) với \(G\) là giao của \(BM\) và \(CN\)

Vì \(G\) là giao điểm của hai đường cao\(BM,CN\) nên \(G\) là trực tâm \(\Delta ABC\)

Ta có \(G\) là trực tâm \(\Delta ABC\) nên \(G\) cũng là trọng tâm \(\Delta ABC\) suy ra \(AG = \dfrac{2}{3}AD\).

\(D\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AD \bot BD\); \(DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2}\)

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông \(ADC\) ta có \(AD = \sqrt {B{C^2} - D{C^2}}  = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AG\). Xét tam giác vuông \(ANG\) có \(IN = IA = IG\), xét tam giác vuông \(AMG\) có \(IM = IA = IG\) nên \(IM = IN = IA = IG = \dfrac{{AG}}{2}\)

Hay 4 điểm \(A,N,G,M\) cùng thuộc một đường tròn bán kính \(R = \dfrac{{AG}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)