Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = - \dfrac{1}{2}x + m$ và parabol $\left( P \right):y = - \dfrac{1}{4}{x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn \(3{x_1} + 5{x_2} = 5\)
Trả lời bởi giáo viên
Phương trình hoành độ giao điểm $ - \dfrac{1}{4}{x^2} = - \dfrac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4m = 0$ có $\Delta ' = 1 - 4m$
Để đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thì $\Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{4}$
Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = 4m\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Ta có \(3{x_1} + 5{x_2} = 5\)$ \Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{5 - 5{x_2}}}{3}$ thay vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $\dfrac{{5 - 5{x_2}}}{3} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x_1} = \dfrac{5}{2}$
Thay ${x_2} = - \dfrac{1}{2};{x_1} = \dfrac{5}{2}$ vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được $\left( { - \dfrac{1}{2}} \right).\dfrac{5}{2} = 4m \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{{16}}$ (TM )
Vậy $m = - \dfrac{5}{{16}}$ là giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*)
Bước 2: Tìm điều kiện để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt
Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-et kết hợp với phương trình đã cho để tìm $m$.