Tìm tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = mx + m + 1\) và  parabol  \(\left( P \right):y = {x^2}\)  cắt nhau tại hai điểm phân biệt có tọa độ \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn \({y_1} + {y_2} > 5\)

Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = mx + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - m - 1 = 0\) có \(\Delta  = {m^2} + 4m + 4 = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0;\forall m\)

Để đường thẳng \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có tọa độ \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} > 0 \)\(\Leftrightarrow m \ne  - 2\)

Ta có \({y_1} = x_1^2;{y_2} = x_2^2\).

Theo hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - m - 1\end{array} \right.\)

Xét \({y_1} + {y_2} > 5\)\( \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 > 5\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} > 5 \)\(\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 - 5 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 > 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\m + 3 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 3 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m >  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m <  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp \(m \ne  - 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m <  - 3\\m > 1\end{array} \right.\) thỏa mãn đề bài.