Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

Giả sử hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O)

⇒ O cũng là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông

Gọi H là trung điểm AB ⇒ OH ⊥ AB tại H

Ta có R = OA, r = OH

Vì AO là phân giác của góc BAD nên

$\widehat {HAO} = \dfrac{{\widehat {BAD}}}{2} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Xét tam giác AHO vuông tại H có $\sin \widehat {HAO} = \dfrac{{OH}}{{OA}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{OH}}{{OA}} = \sin {45^0} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$$\Leftrightarrow \dfrac{{OA}}{{OH}} = \sqrt 2$ hay $\dfrac{R}{r} = \sqrt 2 .$                     

Vì ABCDEFGH là bát giác đều nên góc AOB bằng $\dfrac{{360^\circ }}{8} = 45^\circ$ và AE là đường kính của đường tròn (O) ngoại tiếp bát giác.

Vẽ BH ⊥ AO tại H thì tam giác BHO vuông cân tại H (vì có góc BOH bằng $45^0$.

Theo định lý Pytago ta có $B{H^2} + O{H^2} = O{B^2}$$\Leftrightarrow 2B{H^2} = O{B^2}$$\Leftrightarrow BH = \dfrac{{OB}}{{\sqrt 2 }}$

Suy ra

$\begin{array}{l}BH = OH = \dfrac{{OB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\AH = AO - OH = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\AE = 2AO = 2\end{array}$

Vì AE là đường kính của (O) nên ∆ ABE vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{B^2} = AH.AE = \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).2 = 2 - \sqrt 2$

$\Rightarrow AB = \sqrt {2 - \sqrt 2 }$