Trên quãng đường \(AB\) dài \(210\) km , tại cùng một thời điểm một xe máy khởi hành từ \(A\) đến \(B\) và một ôt ô khởi hành từ \(B\) đi về \(A\). Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp $4$ giờ nữa thì đến \(B\) và ô tô đi tiếp $2$ giờ $15$ phút nữa thì đến \(A\). Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là

Gọi vận tốc xe máy  là \(x\) (km/h) . Điều kiện \(x > 0\).

Gọi vận tốc ô tô là \(y\) (km/h). Điều kiện \(y > 0\).

Thời gian xe máy dự định đi từ $A$ đến \(B\) là: \(\dfrac{{210}}{x}\) giờ.

Thời gian ô tô dự định đi từ \(B\) đến \(A\) là: \(\dfrac{{210}}{y}\) giờ.

Quãng đường xe máy  đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến \(B\) là : \(4x\) (km).

Quãng đường ô tô  đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến \(A\) là : \(\dfrac{9}{4}y\) (km).

Theo giả thiết ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{210}}{x} - \dfrac{{210}}{y} = 4 - \dfrac{9}{4}\\4x + \dfrac{9}{4}y = 210\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{210}}{x} - \dfrac{{210}}{y} = \dfrac{7}{4}\\4x + \dfrac{9}{4}y = 210\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{x} - \dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{y} = \dfrac{7}{4}\,\,\left( 1 \right)\\4x + \dfrac{9}{4}y = 210\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left( 2 \right)\end{array} \right.$ 

Từ phương trình (1) ta suy ra $\dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{x} - \dfrac{{4x + \dfrac{9}{4}y}}{y} = \dfrac{7}{4} $\( \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{x} + \dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} - \dfrac{{9y}}{{4y}} = \dfrac{7}{4} \)\(\Leftrightarrow 4 + \dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{7}{4}\)$\Leftrightarrow \dfrac{{9y}}{{4x}} - \dfrac{{4x}}{y} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}y$.

Thay vào phương trình (2) ta thu được: $\dfrac{{12}}{4}y + \dfrac{9}{4}y = 210 \Leftrightarrow y = 40$ (TM)

$\Rightarrow  x = 30$ (TM).

Vậy vận tốc xe máy là \(30\) km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.