Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết 4h 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Vận tốc của dòng nước là:

Gọi vận tốc thực của thuyền và vận tốc của dòng nước lần lượt là \(x,\,\,\,y\,\,\left( {km/h} \right),\,\,\,\left( {0 < x < y} \right).\)

\( \Rightarrow \) Vận tốc của thuyền khi nước xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là: \(x + y\,\,\,\left( {km/h} \right),\,\,\,\,x - y\,\,\,\left( {km/h} \right).\)

\( \Rightarrow \) Thời gian thuyền đi xuôi dòng và ngược dòng hết \(40km\) lần lượt là: \(\dfrac{{40}}{{x + y\,}}\,\,\,\left( h \right),\,\,\,\,\dfrac{{40}}{{x - y}}\,\,\,\,\left( h \right).\)

Chiếc thuyền đã đi xuôi dòng và ngược dòng khúc sông dài \(40km\) hết  4 giờ 30 phút \( = \dfrac{9}{2}\) giờ nên ta có phương trình: \(\dfrac{{40}}{{x + y}} + \dfrac{{40}}{{x - y}} = \dfrac{9}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\) 

Thời gian thuyền xuôi dòng \(5km\) là: \(\dfrac{5}{{x + y}}\,\,\,\left( h \right).\)

Thời gian thuyền ngược dòng \(4km\) là: \(\dfrac{4}{{x - y}}\,\,\,\left( h \right).\)

Khi đó ta có phương trình: \(\dfrac{5}{{x + y}} = \dfrac{4}{{x - y}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{40}}{{x + y}} + \dfrac{{40}}{{x - y}} = \dfrac{9}{2}\\\dfrac{5}{{x + y}} = \dfrac{4}{{x - y}}\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + y}} = a\\\dfrac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right..\) Khi đó ta có hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = \dfrac{9}{2}\\5a = 4b\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = \dfrac{9}{2}\\50a - 40b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}90a = \dfrac{9}{2}\\b = \dfrac{5}{4}a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{20}}\\b = \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + y}} = \dfrac{1}{{20}}\\\dfrac{1}{{x - y}} = \dfrac{1}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 20\\x - y = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 36\\y = x - 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 18\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy vận tốc của dòng nước là: \(2\,km/h.\)