Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 4 - x\) là
\(\sqrt {{x^2} +6x + 9} = 4 - x\)
\(\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 4 - x\)
$ \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = 4 - x \, \,\, ĐK: x \le 4 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 4 - x\\x + 3 = x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\, \, (TM)\\3 = - 4\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{2}$.
Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 6x + 9} }}{{x - 3}}$ với $x < 3$ ta được
Ta có $\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = \left| {x - 3} \right| = 3 - x$ vì $x < 3$.
Nên $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 6x + 9} }}{{x - 3}} = \dfrac{{3 - x}}{{x - 3}} = \dfrac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)}} = - 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} \).
Ta có \(A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} \)\( = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2}} = \left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right|\)
Ta có \(\left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right| = \left| {m + 1} \right| + \left| {4 - m} \right| \ge \left| {m + 1 + 4 - m} \right| = 5\)
Dấu “=” xảy ra khi \(m + 1 = 4 - m \Leftrightarrow 2m = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\)
Suy ra GTNN của \(B\) là \(5 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\) .
Rút gọn \(P = \sqrt {6 + \sqrt 8 + \sqrt {12} + \sqrt {24} } \)
\(\begin{array}{l}P = \sqrt {6 + \sqrt 8 + \sqrt {12} + \sqrt {24} } \\ = \sqrt {6 + \sqrt {4.2} + \sqrt {4.3} + \sqrt {4.6} } \\ = \sqrt {6+ 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } \\ = \sqrt {2 + 3 + 1 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1} \right|\\ = \sqrt 2 + \sqrt 3 + 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1 > 0} \right).\end{array}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 - 2\sqrt {12} } + ... + \sqrt {199 - 2\sqrt {9900} } \) là:
Ta có:
\(A = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 - 2\sqrt {12} } + ... + \sqrt {199 - 2\sqrt {9900} } \)
\( = \sqrt {2 - 2.\sqrt 2 + 1} + \sqrt {3 - 2.\sqrt 3 .\sqrt 2 + 2} + \sqrt {4 - 2.2.\sqrt 3 + 3} + ..... + \sqrt {100 - 2.\sqrt {100.99} + 99} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + .... + \sqrt {{{\left( {\sqrt {100} - \sqrt {99} } \right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt 2 - 1} \right| + \left| {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right| + ... + \left| {10 - \sqrt {99} } \right|\)
\( = \sqrt 2 - 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + ... + 10 - \sqrt {99} \) \(\left( {do\,\,\sqrt 2 - 1 > 0,.....,\,\,10 - \sqrt {99} > 0} \right)\)
\( = 10 - 1 = 9\)
Giá trị nhỏ nhất của \(A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \) là:
Điều kiện: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 10} \end{array}\)
Đặt \({x^2} + 3x = y\)
Khi đó, \(A\) trở thành:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{y^2} + 2y + 10} \\A = \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 9} \ge \sqrt 9 \\ \Rightarrow A \ge 3\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(y = - 1\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}{x^2} + 3x = - 1\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy GTNN của A bằng 3 khi \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
